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描述性统计学公式

统计学公式汇总表

一、组限和组中值

1当两组间的相邻组限重合时：

组距=本组上限-本组下限组中值=（上限+下限）/2

或=下限+组距/2

或=上限-组距/2

2当两组间的相邻组限不重合时：

组距=下组下限-本组下限或=本组上限-上组上限组中值=（本组下限+下组下限）/2或=本组下限+组距/2或=下组下限-组距/2

3组距式分组中的“开口”情况：

组中值=上限—邻组组距/2

或=下限+邻组组距/2

-、相对指标的种类和计算方法

（一）计划完成相对数

1计划完成相对数的基本计算公式

2计划完成相对数的派生公式:

（1）对于产量、产值增长百分数:

（3）计划执行进度相对数的计算方法:

本期计划数

计划执行进度=计划期内某月止累计完成数*100%

例：

某公司2005年计划完成商品销售额1500万元，1—9月累计实际完成1125万元。

则：

（二）结构相对数

市名

人口数（万人）

国内生产总值（亿元）

人均国内生产总值（元从）

甲

725

280

3862

乙

340

192

5647

比较相对数

（以乙市为100）

213.24

145.83

68.39

例：

2005年某省两个市有关资料如表所示。

例：

某地区国内生产总值

动态相对数

2004年为2097.77亿元，2005年为2383.07亿元。

则:

2383.07

=*100%=113.6%

2097.77

（三）比例相对数

（四）比较相对数

、、，甲地区（单位）某指标数值比较相对数=乙地区（单位）同一指标数值*100%

（五）动态相对数

动态相对数=报告期数值丿相」数基期数值

（六）强度相对数

强度相对数

=某一指标数值

另一有联系的指标数值

例：

某地区2005年零售商业网点为50000个，年平均人口为800万人，则:

零售商业网密度=50000个=62.5（个/万人）

800万人

三、平均指标

（一）算数平均数

1简单算数平均数:

-X1X2

x=—

n

32,则这10个工人日平均加工零件数为:

2加权算术平均数：

①根据单项数列计算加权算术平均数:

n

Xifi

i1

零件数（件）Xi

工人数（人）fi

产量*工人数Xifi

30

20

600

32

50

1600

34

76

2584

35

40

1400

36

14

504

合计

200

6688

nfi

i1

例：

某车间有200名职工，他们每月加工的零件数如表所示:

职工平均加工零件数=30*2032*5034*7635*4036*14=33.44（件）

2050764014

②根据组距数列计算加权算术平均数

Xifi

x=

=—（Xi为组中值）

fi

i1

例：

某食品厂上月有员工300人，其糖果产量资料如表所示:

产量（千克）

员工人数（人）fi

组中值Xi

总产量（千克）Xifi

400以下

22

350

7700

400~500

50

450

22500

500~600

66

550

36300

600~700

76

650

49400

700~800

56

750

42000

800以上

30

850

25500

合计

300

一

183400

n

_Xifi

1十+

X=n=611.33（千克）

fi

i1

（二）调和平均数

1简单调和平均数：

H=—（H代表调和平均数，Xi代表各单位标志值，n代表标志值的项数）n1

i1xi

100千米，返回时逆水行舟,

例：

轮船从甲地开往乙地，去时顺水行舟，船速为每小时船速为每小时80千米，求轮船的平均时速。

H=1=88.89（千米/时）

11

10080

2

2加权调和平均数:

H=

mi

i1

mi

i1Xi

例：

红星制造厂本月购进甲种原材料三批，每批采购价格和采购金额如表所示，求本月购

进甲种原材料的平均价格。

价格（元/千克）Xi

采购金额（元）

mi

采购量（千克）

mi

Xi

第一批

50

25000

500

第二批

55

44000

800

第三批

60

18000

300

合计

一

87000

1600

n

mi

ii87000,

原材料的平均价格：

H=——==54.38（元/千克）

nmi1600

i1Xi

（三）几何平均数

1简单几何平均数：

G=VX1*X2*X3**Xn二Xi（G代表几何平均数，Xi代表各单位标志

值，n代表标志值的项数，n连乘符号）

例：

某地区上个五年期间，经济的发展速度如表所示：

时间

第一年

第二年

第三年

第四年

第五年

发展速度（%）

104.1

107.7

110.5

114.0

118.0

则平均发展速度G=nXi=51.041*1.077*1.105*1.14*1.18=1.1075

2加权几何平均数：

n一n

fi

G=iVx1f1*X2f2*X3f3*

*Xnfn:

fi

_i1fi

-Xi

利用对数计算，则计算公式为：

f1lgX1f2lgX2lgG=n

fnlgXn

n

filgXi

i1

n

i1i1

例：

某地区20年来的经济发展速度如表所示，要求计算20年中经济平均发展速度。

发展速度（%）Xi

年数（次数）fi

lgxi

filgxi

102

1

2.0086

2.0086

105

5

2.0212

10.106

107

10

2.0294

20.2940

110

4

2.0414

8.1656

合计

20

一

40.5742

fIgx

i1

nfi

i1

G=106.83%

四、众数和中位数

（一）众数：

1

下限公式：

M0=L+*i

12

2

上限公式：

M0=U-*i

12

公式中：

L代表众数组的下限值；

U代表众数组的上限值；

△1代表众数组次数与前一组次数之差；

△2代表众数组次数与后一组次数之差；

i代表众数组的组距。

例：

现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，的资料如表所示。

耐用时间（小时）

产品个数（个）

600以下

84

600~800

161

800~1000

244

1000~1200

157

1200~1400

36

1400以上

18

合计

700

易知众数落在第二组，则:

L=800，1=244—161=83，2=244—157=87，i=200

人胆-183

众数M0=L+*i=800+*200=897.65（小时）

128387

（二）中位数

1由未分组资料确定中位数：

n1、一

Om=（n代表单位标志值的项数）

2

例：

某生产小组7人日产量（件），由低到高排列为：

9，10,12，13,14,15,16，求中位数。

n171

中位数所在位置Om===4

22

2由单项数列确定中位数：

Om=

例：

某车间56个工人的日产量资料如表所示，求车间工人日产量的中位数。

日产量（件）

工人数（人）

累计次数

10

8

8

15

12

20

18

20

40

20

10

50

22

6

56

合计

56

一

n

fi

i156

Om=口==28,对应在第三组。

22

所以Me=18

3由组距数列确定中位数

中位数所在位置

fi

i1

n

i1Sm1

下限公式：

Me=L+—2*i

fm

n

上限公式：

口Sm1

2

Me=U—*i

fm

公式中：

L为中位数所在组的下限值;U为中位数所在组的上限值;

fm为中位数所在组的次数；

Sm-1为中位数所在组前面各组的累计次数;

Sm+1为中位数所在组后面各组的累计次数;i代表中位数所在组的组距。

耐用时间（小时）

产品个数（个）

累计次数

以下累计

以上累计

600以下

84

84

700

600~800

161

245

616

800~1000

244

489

455

1000~1200

157

646

211

1200~1400

36

682

54

1400以上

18

700

18

合计

700

一

一

说明中位数在第三组，即在800-1000小时之间。

五、几种平均数的关系

1算数平均数、众数和中位数的关系：

当X=Me=M0时，分布曲线为正态分布；

当x>Me>M0时，分布曲线右偏；

当X

2算数平均数、调和平均数和几何平均数的关系:

H

六、变异度指标

（一）变异度指标的计算

1全距：

R=Xmax-Xmin

例：

某车间5个工人日产量分别为5,15,20,30,50，求工人产量全距。

R=50—5=45（件）

2四分位差：

Q°=Xmin；Q4=Xmax；Q2=Me

四分位差的计算公式为：

Q=Q3一Q1

（n1）

公式中：

Q3为第三个四分位数，Q3的位置=Y

4

n1

Q1为第一个四分位数，Q1的位置=——

4

例：

某车间有12个工人，其日产量按数量由小到大依次排列如下：

10,20,22,24,25,26,27,28,30,32,34,35，求其四分位差。

24—22

=22.5（件）

4

Qi的位置=口=^=3.25，则Qi=22+

44

所以Q=Q3—Qi=31.2—22.5=9（件）

3平均差

1

简单平均差：

n

X

丄=24（件）

n

2

加权平均差:

i1

例：

某车间100个工人的日产量资料如表所示:

日产量（件）

工人数（人）fi

组中值Xi

Xifi

|Xi—X|

|Xi—X|fi

10以下

10

5

50

18.8

188

10~20

24

15

360

8.8

211

20~30

40

25

1000

1.2

48

30~40

20

35

700

11.2

224

40以上

6

45

270

21.2

127.2

合计

100

一

2380

一

798.4

4标准差和方差

①简单平均法

n_

（Xix）2

2i1

=6.8=2.61（件）

②加权平均法：

n_

（XX）2fi

2=jlJ

n

fi

i1

=13600=116.62（千克）

3交替标志的标准差:

例：

某车间生产300件产品其中合格品为270件，不合格品30件试计算这批产品的平均合格率及标准差。

合格率:

P=270=90%

300

p=P（1—P）=0.9（1—0.9）=30%

4总方差、组间方差和平均组内方差

5

总方差:

组间方差:

表总体平均数，ni表示第i组的总体单位数，n表示总体单位数）平均组内方差：

（XiXi）2

2i1

i=

n

2

ini

2

公式中：

i代表第i组的组内方差,

体单位数，n表示总体单位数例：

某班组9个工人，日产量分别为

2代表各组组内方差的平均数，，ni表示第i组的总

2,4，4，6，7，8，9，11,12，根据资料计算总平均数

Xi63

-=63=7（件）i9

（xx）

i1

2

90

—=—=10（件）

9

2

将上述资料整理成组距数列并计算组间方差，计算过程如表所示:

日产量（件）Xi

工人数（人）fi

组平均数（件）X；

（Xi—X）2fi

2~5

3

3.33

40.41

6~9

4

7.50

1.00

10~12

2

11.5

40.5

合计

9

一

81.91

n__

（xix）2fi

i1

n

fi

i1

81.91

9

=9.1

根据资料计算各组内方差

2

i以及平均组内方差i2，计算过程见下列各表:

第一组方差计算表

日产量（件）Xi

（Xi—X1）2X1=3.33

2

1.77

4

0.45

计算组内平均数

5变异系数:

4

0.45

合计

2.67

Va=—*100%

例：

某农科所对其培育的甲、

得平均收获率资料和资料和

收获率标准差，如表所示:

甲品种

乙品种

平均公顷产量（千克）

12000

14250

标准差（千克）

570

630

X

乙两种农作物良种进行播种试验,

n

2

ini

i1

n

0.89*31.25*40.25*2

9

8.17

9

=0.9

日产量（件）

工人数fi

组中值Xi

Xifi

（习—X）2fi

累计次数

50以下

11

45

495

9900

11

50~60

13

55

715

5200

24

60~70

70

65

4550

7000

94

70~80

120

75

9000

0

214

80~90

50

85

4250

5000

264

90~100

30

95

2850

12000

294

甲

570

标准差系数：

V甲=

*100%=

*100%=

=4.75%

—

12000

X甲

乙

630

V乙=

*100%=

*100%:

=4.42%

—

14250

X乙

（二）偏度与峰度（不需要背公式，只需要理解公式的意义和作用）

1偏度的测量（下面的计算都不需要掌握，只要能看懂即可。

）

偏度=算数平均数一众数=X—M0

xM0

偏态系数：

SKp=

例：

甲车间300工人日产量资料如表所示:

100~110

5

105

525

4500

299

110以上

1

115

115

1600

300

合计

300

一

22500

45200

一

Xifix=i1

2250O=75（件）

300

=12.27（件）

n

2动差法

n

Xifi_

一阶原点动差M1=——=X

fi

i1

2rXifi

M3=

i1

n

fi

三阶原点动差

n

Xi3fi

i1

n

4rXifi

M4=

i1

n

四阶原点动差

动差法偏态系数:

m3

m3

a=3

或3

-m2

K阶原点动差

xkfi

fi

i1

（Xi—X）2fi

n

fi

1

n

fi

i1

当a=0时，表明分布数列是对称分布。

当a>0时，表明分布数列是正向偏态（右偏）当a<0时，表明分布数列是负向偏态（左偏）例：

日产量（件）

工人数fi

组中值Xi

Xi—X

（Xi—X）fi

（Xi—X）4fi

50以下

11

45

-30

-297000

8910000

50~60

13

55

-20

-104000

2080000

60~70

70

65

-10

-70000

700000

70~80

120

75

0

0

0

80~90

50

85

10

50000

500000

90~100

30

95

20

240000

4800000

100~110

5

105

30

135000

4050000

110以上

1

115

40

64000

2560000

合计

300

一

一

18000

23600000

3=12.273=1847.28

所以a:

-3=0.032

3峰度

峰度得测定是以四阶中心动差（m4）为基础，计算相对数指标，计算公式为:

m4m4&人、

3=4或=2（理解含义）

m2

下面的内容是重点：

3=3时，次数分布曲线为标准正态分布曲线；

3>3时，次数分布曲线为尖顶峰曲线，说明总体次数分布集中趋势明显，标志值变异程度

小;

3<3时，次数分布曲线为平顶峰曲线，说明总体各单位标志值集中趋势不明显，标志值变异程度大。

23600000

=78666.67

300

fi

i1

日产量（件）

工人数fi

组中值Xi

xi—X

（Xi—X）3fi

（Xi—X）4fi

50以下

11

45

-30

-297000

8910000

50~60

13

55

-20

-104000

2080000

60~70

70

65

-10

-70000

700000

70~80

120

75

0

0

0

80~90

50

85

10

50000

500000

90~100

30

95

20

240000

4800000

100~110

5

105

30

135000

4050000

110以上

1

115

40

64000

2560000

合计

300

一

一

18000

23600000

例：

如下表资料所示，测定该车间工人日产量分布数列的峰度系数。

（峰度的计算不作要求）

n_

（X—X）°fi

i1m°=n

44

=12.27=22666.18

3=m°=3.47>3

计算结果表明，工人日产量的分布曲线呈现尖顶峰的分布趋势，说明工人日产量间的差异程度较小，平均数x=75件的代表性较强。