2
所以我们要将数据分成7组，组数和组距分别为7和5.
（3）列频数分布表
（4）画频数分布直方图（如右上图）
第八章认识概率
要点一、确定事件与随机事件
1、确定事件
1）不可能事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件．
2）必然事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的
事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件.
2.随机事件
在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.
3、可能性的大小
（1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.
（2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.
要点二、频率与概率
1.概率
随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率（probability）.如果用字母A表示一个事件，那么P（A）表示事件A发生的概率.
事件A的概率是一个大于等于0,且小于等于1的数，即
'-■-■--，其中P（必然事件）=1,P（不可能事件）=0,0vP（随机事件）v1.
所以有：
P（不可能事件）vP（随机事件）vP（必然事件）.
一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的•概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小.
2.频率
通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.
一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发
生的频率m会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验
n
次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值.
要点诠释：
1概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
2频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等;
3概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二
者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
【典型例题】
类型一、确定事件与随机事件
01.
（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件哪些是必然事件哪些是随机事件
①若a、b、c都是实数，则a（bc）=（ab）c;
②没有空气，动物也能生存下去；
③在标准大气压下，水在90C时沸腾；
4直线y=k（x+1）过定点（-1,0）;
5某一天内电话收到的呼叫次数为0;
6一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从
中任意摸出1个球则为白球.
【思路点拨】结合生活经验和所学知识进行判断.
【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.
【总结升华】要准确掌握不可能事件、必然事件、随机事件的定义.
举一反三
（2015?
南岗区一模）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中的不可能事件是（）
A.点数之和小于4B.点数之和为10
C.点数之和为14D.点数之和大于5且小于9
【答案】C.
解：
因为同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，正方体骰子的点数和应大于或等于2,而小于或等于12.显然，是不可能事件的是点数之和是14.
故选C.
02.在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了•下列事件中，哪些是必然发生的哪些是不可能发生的哪些是可能发生的？
（1）从口袋中任取出一个球，它恰是红球；
⑵从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球;
（3）从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球.
【答案与解析】
（1）可能发生，因为袋中有红球；
（2）可能发生，因为袋中刚好有2个白球；
（3）不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.
【总结升华】要了解并掌握三种事件的区别和联系.
类型二、频率与概率
C>3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）
A.频率等于概率
B.当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C.当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D.实验得到的频率与概率不可能相等
【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变
的，而频率是随着试验次数的变化而变化的.
【答案】B.
【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
04.如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大为什么
【思路点拨】可以采用面积法计算各颜色所占的比例，比例大的,
指针落在该区域的可能性也大.
【答案与解析】落在黄色区域的可能性大
理由如下:
31
由图可知：
黄色占整个转盘面积的一
21
红色占整个转盘面积的-；
蓝色占整个转盘面积的-.
由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较
【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的条件
来确定解法，如面积法、数值法等.
类型三、利用频率估计概率
C>5.（2015春?
江都市期末）“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：
A、“半程马拉松”、B“10公里”、C“迷你马拉松”.小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组.
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为.
（2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查：
调查总人数
50
100
200
500
1000
参加迷你马拉松
人数
21
45
79
200
401
参加迷你马拉松
频率
1请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为.（精
确到）
2若本次参赛选手大约有30000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少
【思路点拨】
（1）利用概率公式直接得出答案；
（2）①利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率；
②利用①中所求，进而得出参加“迷你马拉松”的人数.
【答案与解析】
解：
（1）v小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，
二小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为：
丄；
故答案为：
士；
（2）①由表格中数据可得：
本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为：
；
故答案为：
；
②参加“迷你马拉松”的人数是：
30000X=12000（人）.
【总结升华】此题主要考查了利用频率估计概率：
当大量重复试验时,频率会稳定在概率附近.正确理解频率与概率之间的关系是解题关键.
§图形的旋转
1、旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，就叫做图形的旋转，点0叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
2、旋转的性质
旋转的特征：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
3、利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：
（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹
角等于旋转角；
（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为：
1连：
即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
2转：
即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
3截：
即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点
的对应点；
4接：
即连接到所连接的各点。
§中心对称与中心对称图形
【知识点总结】
1、中心对称的概念
一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。
这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
2、中心对称的性质一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
3、中心对称图形的定义及其性质
把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
例3:
任意一条线段是中心对称图形吗如果是，那么它的对称中心是什么
4、轴对称图形与中心对称图形的对比
轴对称图形
中心对称图形
图形沿对称轴对折（翻折180°）后重合
图形绕对称中心旋转
180°重合
对称点的连线被对称轴垂直平分
对称点的连线经过对称
中心，且别对称中心平分
§平行四边形【知识点总结】
1、平行四边形的概念：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边相等；
（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3、判定平行四边形的条件
（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）
（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形
（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形
4、反证法：
反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。
§矩形、菱形、正方形
知识点总结】1、矩形的概念和性质
有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。
矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：
矩形的对角线相等，四个角都是直角。
2、判定矩形的条件
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）三个角是直角的四边形是矩形
（3）对角线相等的平行四边形是矩形
3、平行线之间的距离及其性质
性质：
两条平行线之间的距离处处相等
4、菱形的概念与性质
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：
菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
5、判定菱形的条件
1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）
2）四边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
6、正方形的概念、性质和判定条件
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。
它具有矩形和菱形的一切性质。
判定正方形的条件：
（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形
（3）有一个角是直角的菱形是正方形
§三角形的中位线
1、三角形中线的概念和性质
连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线平行且等于第三边的一半。
2、三角形的中位线与中线的区别
1）区别：
三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。
（2）联系：
三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。
第10章分式
1.分式的定义：
如果AB表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。
B
2.分式有意义、无意义的条件：
分式有意义的条件：
分式的分母不等于0；
分式无意义的条件：
分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：
当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分
A
式A为0的条件是A=0,且BM0.）
B
（分式的值为0的条件是：
分子等于0,分母不等于0,二者缺一不可。
首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
）
4.分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为AA_CAA_C（C0），其中AB、C是
BBBC
整式
注意：
（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约
条件；
（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避
免犯只乘分子（或分母）的错误；
（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，
要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C;
（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依
据。
5.分式的通分:
和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不
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