第十四章整式的乘法与因式分解能力培优.docx
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第十四章整式的乘法与因式分解能力培优
第十四章整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
专题一幂的性质
1．【2012·湛江】下列运算中，正确的是（ ）
A．3a2－a2＝2B．（a2）3＝a9C．a3•a6＝a9D．（2a2）2＝2a4
2．【2012·泰州】下列计算正确的是（ ）
A．
·
B．
·
C．
D．
3．【2012·衢州】下列计算正确的是（ ）
A．2a2＋a2＝3a4B．a6÷a2＝a3C．a6·a2＝a12D．（－a6）2＝a12
专题二幂的性质的逆用
4．若2a=3，2b=4，则23a+2b等于（ ）
A．7B．12C．432D．108
5．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值．
6．计算：
（1）（－0.125）2014×（－2）2014×（－4）2015；
（2）（－
）2015×811007．
专题三整式的乘法
7．下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若（3x2－2x+1）（x+b）中不含x2项，求b的值，并求（3x2－2x+1）（x+b）的值．
9．先阅读，再填空解题：
（x+5）（x+6）=x2+11x+30；
（x－5）（x－6）=x2－11x+30；
（x－5）（x+6）=x2+x－30；
（x+5）（x－6）=x2－x－30．
（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
答：
________．
（2）根据以上的规律，用公式表示出来：
________．
（3）根据规律，直接写出下列各式的结果：
（a+99）（a－100）=________；（y－80）（y－81）=________．
专题四整式的除法
10．计算：
（3x3y－18x2y2+x2y）÷（－6x2y）=________．
11．计算：
．
12．计算：
（a－b）3÷（b－a）2+（－a－b）5÷（a+b）4．
状元笔记
【知识要点】
1．幂的性质
（1）同底数幂的乘法：
（m，n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（2）幂的乘方：
（m，n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（3）积的乘方：
（n都是正整数），即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．整式的乘法
（1）单项式与单项式相乘：
把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式与多项式相乘：
就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加．
（3）多项式与多项式相乘：
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．整式的除法
（1）同底数幂相除：
（m，n都是正整数，并且m＞n），即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
（2）
（a≠0），即任何不等于0的数的0次幂都等于1．
（3）单项式除以单项式：
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
（4）多项式除以单项式：
先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【温馨提示】
1．同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法则是“系数相加，字母及字母的指数不变”．
2．同底数幂相乘与幂的乘方相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”．
3．运用同底数幂的乘法（除法）法则时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算．
4．在单项式（多项式）除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．
【方法技巧】
1．在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式．
2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．
3．单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．
参考答案:
1．C解读：
A中，3a2与－a2是同类项，可以合并，3a2―a2＝2a2，故A错误；B中，（a2）3＝a2×3=a6，故B错误；C中，a3•a6＝a3+6＝a9，故C正确；D中，（2a2）2＝22（a2）2＝4a4，故D错误．故选C．
2．C解读：
·
，选项A错误；
·
，选项B错误；
，选项C正确；
，选项D错误.故选C．
3．D解读：
A中，
，故A错误；B中，
，故B错误；C中，
，故C错误.故选D．
4．C解读：
23a+2b=23a×22b=（2a）3×（2b）2=33×42=432．故选C．
5．解：
23ｍ+2ｎ=23ｍ·22ｎ=（2ｍ）3·（2ｎ）2=53·32=1125.
6．解：
（1）原式=（0.125×2×4）2014×（－4）=12014×（－4）=－4．
（2）原式=（－
）2015×92014=（
×9）2014×（－
）=－
．
7．B解读：
A中，由合并同类项的法则可得3a+2a=5a，故A错误；B中，由多项式与多项式相乘的法则可得
=
，故B正确；C中，由单项式与单项式相乘的法则可得
=
，故C错误；D中，由多项式与多项式相乘的法则可得
，故D错误.综上所述，选B．
8．解：
原式=3x3+（3b－2）x2+（－2b+1）x+b，
∵不含x2项，
∴3b－2=0，得b=
．
∴（3x2－2x+1）（x+
）
=3x3－2x2+x+2x2－
x+
=3x3－
x+
．
9．解：
（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是：
一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；
（2）根据以上的规律，用公式表示出来：
（a+b）（a+c）=a2+（b+c）a+bc；
（3）根据
（2）中得出的公式得：
（a+99）（a－100）=a2－a－9900；（y－80）（y－81）=y2－161y+6480．
10．－
x+3y－
解读：
（3x3y－18x2y2+x2y）÷（－6x2y）=（3x3y）÷（－6x2y）－18x2y2÷（－6x2y）+x2y÷（－6x2y）=－
x+3y－
．
11．解：
原式
12．解：
（a－b）3÷（b－a）2+（－a－b）5÷（a+b）4，
=（a－b）3÷（a－b）2－（a+b）5÷（a+b）4，
=（a－b）－（a+b），
=a－b－a－b，
=－2b．
14.2乘法公式
专题一乘法公式
1．下列各式中运算错误的是（）
A．a2+b2=（a+b）2－2abB．（a－b）2=（a+b）2－4ab
C．（a+b）（－a+b）=－a2+b2D．（a+b）（－a－b）=－a2－b2
2．代数式（x+1）（x－1）（x2+1）的计算结果正确的是（）
A．x4－1B．x4+1C．（x－1）4D．（x+1）4
3．计算：
（2x+y）（2x－y）+（x+y）2－2（2x2－xy）（其中x=2，y=3）．
专题二乘法公式的几何背景
4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（ ）
A．（a+b）（a－b）=a2－b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a－b）2=a2－2ab+b2D．（a+b）2=a2+ab+b2
5．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
A．a2－b2=（a+b）（a－b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a－b）2=a2－2ab+b2D．a（a+b）=a2+ab
6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：
（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？
状元笔记
【知识要点】
1．平方差公式
（a+b）（a－b）=a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
2．完全平方公式
（a±b）2=a2±2ab+b2，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
【温馨提示】
1．不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同．
2．完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点．
【方法技巧】
1．公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式．只要符合公式的结构特征，就可以利用公式．
2．有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解．如：
位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等．
参考答案:
1．D解读：
A中，由完全平方公式可得（a+b）2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b2，故A正确；B中，由完全平方公式可得（a－b）2=a2－2ab+b2，（a+b）2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B正确；C中，由平方差公式可得（a+b）（－a+b）=（a+b）（b－a）=b2－a2=－a2+b2，故C正确；D中，（a+b）（－a－b）=－（a+b）2=－a2－2ab－b2，故D错误．
2．A解读：
原式=（x2－1）（x2+1）=（x2）2－1=x4－1．
3．解：
原式=4x2－y2+x2+2xy+y2－4x2+2xy=x2+4xy，
当x=2，y=3时，原式=22+4×2×3=4+24=28．
4．B解读：
这个图形的整体面积为（a+b）2；各部分的面积的和为a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2．故选B．
5．C解读：
从图中可知：
阴影部分的面积是（a－b）2和b2，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）2，∴（a－b）2=a2－2ab+b2，故选C．
6．解：
（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：
（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
14.3因式分解
专题一因式分解
1．【2012·西宁】下列分解因式正确的是（ ）
A．3x2－6x=x（x－6）B．－a2+b2=（b+a）（b－a）
C．4x2－y2=（4x－y）（4x+y）D．4x2－2xy+y2=（2x－y）2
2．【2012·广元】分解因式：
3m3－18m2n+27mn2=____________．
3．分解因式：
（2a+b）2－8ab=____________．
专题二在实数范围内分解因式
4．在实数范围内因式分解x4－4=____________．
5．把下列各式因式分解（在实数范围内）
（1）3x2－16；
（2）x4－10x2+25．
6．在实数范围内分解因式：
（1）x3－2x；
（2）x4－6x2+9．
专题三因式分解的应用
7．如果m－n=－5，mn=6，则m2n－mn2的值是（ ）
A．30B．－30C．11D．－11
8．利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________．
9．在下列三个不为零的式子：
x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中，
（1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解；
（2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集．
状元笔记
【知识要点】
1．因式分解
我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2．因式分解的方法
（1）提公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法．
（2）将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
（3）平方差公式：
a2－b2=（a+b）（a－b），两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
（4）完全平方公式：
a2±2ab+b2=（a±b）2，两个数的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
【温馨提示】
1．分解因式的对象必须是多项式，如把
分解成
就不是分解因式，因为
不是多项式．
2．分解因式的结果必须是积的形式，如
就不是分解因式，因为结果
不是积的形式．
【方法技巧】
1．若首项系数为负时，一般要提出“—”号，使括号内首项系数为正，但要注意，此时括号内的各项都应变号，如
．
2．有些多项式的特点与公式相比，只是某些项的符号不符，这时就需要先对符号进行变化，使之符合公式的特点．
参考答案:
1．B解读：
A中，3x2－6x=3x（x－2），故A错误；B中，－a2+b2=－（a－b）（a+b）=（b+a）（b－a），故B正确；C中，4x2－y2=（2x）2－（2y）2=（2x－y）（2x+y），故C错误；D中，4x2－2xy+y2的中间项不是2×2x×y，故不能因式分解，故D错误．综上所述，选B．
2．3m（m－3n）2解读：
3m3－18m2n+27mn2=3m（m2－6mn+9n2）=3m（m－3n）2．
3．（2a－b）2解读：
（2a+b）2－8ab=4a2+4ab+b2－8ab=4a2－4ab+b2=（2a－b）2．
4．（x2+2）（x+
）（x－
）解读：
x4－4=（x2+2）（x2－2）=（x2+2）（x+
）（x－
）．
5．解：
（1）3x2－16=（
x+4）（
x－4）；
（2）x4－10x2+25=（x2－5）2=（x+
）2（x－
）2．
6．解：
（1）x3－2x=x（x2－2）=x（x+
）（x－
）；
（2）x4－6x2+9=（x2－3）2=（x+
）2（x－
）2．
7．B解读：
∵m－n=－5，mn=6，∴m2n－mn2=mn（m－n）=6×（－5）=－30，故选B．
8．2013解读：
32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×（0.32+0.54+0.14）=2013×1=2013．
9．解：
（1）答案不唯一，如：
（x2－4x）+（x2+2x）=2x2－2x=2x（x－1）．
（2）答案不唯一，如：
x2－4x＞x2+2x，
合并同类项，得－6x＞0，
解得x＜0．
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