第十四章整式的乘法与因式分解教案1.docx

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第十四章整式的乘法与因式分解教案1

14.1.1同底数幂的乘法

教学目标

（一）知识与技能

1．理解同底数幂的乘法法则．

2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．

（二）过程与方法

1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．

2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．

（三）情感与态度

体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．

教学重点正确理解同底数幂的乘法法则．

教学难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．

教学方法

透思探究教学法：

利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．

教具准备投影片（或多媒体课件）．

教学过程

一．提出问题，创设情境

复习an的意义：

an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．

提出问题：

（出示投影片）

问题：

一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？

[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．

二．导入新课

1．做一做

出示投影片：

计算下列各式：

（1）25×22

（2）a3·a2

（3）5m·5n（m、n都是正整数）

你发现了什么？

注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．

[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．

让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．

[生]我们可以发现下列规律：

（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．

（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．

2．议一议

出示投影片

[师生共析]

am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：

am·an=

·

=

=am+n

于是有am·an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：

“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．

[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．

3．例题讲解

[例1]计算：

（1）x2·x5

（2）a·a6（3）2×24×23（4）xm·x3m+1

[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？

三．随堂练习

1．课本练习

四．课时小结

[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？

五．课后作业

　　课题：

14.1.2幂的乘方

【教学目标】：

知识与技能目标：

１、了解幂的乘方的运算性质，会进行幂的乘方运算;

2、能利用幂的乘方的性质解决一些实际问题。

过程与分析目标：

经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。

【教学重点】：

了解幂的乘方的运算性质，会进行幂的乘方、积的乘方运算

【教学难点】：

幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质区别，发展推理能力和有条理的表达能力。

关键是利用教材内容安排的特点，把幂的乘方的学习与同底数幂的乘法紧密结合起来。

【教学过程】：

一、回顾

1、什么叫做乘方？

什么叫幂？

2、口述幂的乘法法则

二、计算观察，探索规律

做一做：

提出问题：

（1）同学们通过上述这几道题的计算？

观察一下，这几道题目有什么共同特点？

（2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？

提出问题：

根据上述的探索所得的规律，完成下面的填空：

=

概括

（am）n＝

＝a

=a

有

（m、n为正整数）

教师活动：

提出问题，引导、启发。

学生活动：

自主探索、讨论、回答。

教学方法：

合作交流。

点评：

通过问题的提出，再依据“做一做”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动构建，获得新的知识：

幂的乘方，底数不变，指数相篛。

三、举例应用：

例2计算：

（1）（103）5

（2）（b3）4

四、随堂练习，巩固新知

1、练习1、2题。

补充练习：

五、作业布置：

习题14.1第2、3题。

六、小结幂的乘方

（m、n为正整数）使用范围是：

幂的乘方。

方法：

底数不变，指数相乘。

知识拓展：

这里的底数、指数可以是数，也可以是字母，也可以是单项式和多项式。

幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，一个是“指数相加”。

14.1.3积的乘方

教学目标

（一）教学知识点

1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．

2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．

（二）能力训练要求

1．在探究积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力．

2．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．

（三）情感与价值观要求

在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美．

重　点积的乘方运算法则及其应用．

难　点幂的运算法则的灵活运用．

教学过程

一、顾与思考

口述同底数幂的运算法则。

口述幂的乘方运算法则。

计算：

（1）

（2）a

（3）

二、计算观察，探索规律

做一做：

（1）

=（ab）·（ab）=（aa）·（bb）=

（2）

===

（3）

===

提出问题：

（1）同学们通过上述这几道题的计算、观察一下，你能得到什么规律？

（2）如果设n为正整数，将上述的指数改成n即：

其结果是什么呢？

教师活动：

提出问题，引导，启发。

学生活动：

计算、观察、讨论、回答。

教学方法与媒体：

投影显示问题，学生自主探索，讨论交流。

三、举例应用

例3计算：

（1）（2b）3；

（2）（2×a3）2（3）（－a）3；（4）（－3x）4

四、随堂练习，巩固提高：

练习1、2题。

五、作业习题14.1第4、5题。

六、全课小结,提高认识

1、积的乘方（ab）n＝anbn（n为正整数），使用范围：

底数是积的乘方。

方法：

把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

2、在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数也可以整式，对三个以上因式的积也适用。

3、要注意运算过程，注意每一步的依据，还应防止符号上的错误。

4、在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别与联系。

14.1.4单项式与单项式相乘

【教学目标】：

知识与技能目标：

学生能理解并掌握单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算;正确区别各单项式中的系数，同底数的幂和不同底数幂的因式。

过程与分析目标：

让学生感知单项式乘法法则对两个以上单项式相乘同样成立，知道单项式乘法的结果仍是单项式;经历探索乘法运算法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力。

情感与态度目标：

注意培养学生的归纳、概括能力以及运算能力，充分调动学生的积极性，主动性。

【教学重点】：

对单项式运算法则的理解和应用

【教学难点】：

尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律。

【教学过程】：

一、思考口述幂的运算的三个法则。

幂的运算的三个法则的区别与联系。

提问：

（1）

=

（2）

=（3）

=

二、计算观察，探索规律

计算：

（1）

（2）

通过两式计算，可以引导学生归纳出：

1、系数相乘作为积的系数。

2、相同字母的因式，应用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相乘。

3、只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式。

4、单项式与单项式的积仍是单项式。

三、举例应用

例1计算：

3x2y•（－2xy3）；（－5a2b3）•（－4b2c）

例2：

卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103米/秒，则卫星运

行3×102秒所走的路程约是多少？

四、创设问题情境加深理解

问题讨论：

1、

可以看作是边长为a的正方形的面积，则

又怎样理解呢？

2、想一想，你会说明

，3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗？

五、随堂练习

练习1、2、3.

六、作业：

习题14.21、2题。

七、全课小结，提高认识

1、本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上，请问：

你能归纳出单项式乘以单项式的运算法则吗？

2、在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意什么？

14.1.5单项式与多项式相乘

【教学目标】：

知识与技能目标：

在具体情况中，了解单项式乘以多项式的意义，理解单项式与多项式的乘法法则，会进行单项式与多项式的乘法运算？

过程与分析目标：

（1）经历探索乘法运算法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力；

（2）体会乘法分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力。

情感与态度目标：

充分调动学生学习的积极性、主动性

【教学重点】：

单项式与多项式的乘法运算【教学难点】：

推测整式乘法的运算法则。

【教学过程】：

一情境导入

教师引导学业生复习单项式×单项式法则

整式的乘法实际上就是

单项式×单项式　　单项式×多项式　　多项式×多项式

（点评：

培养学生前后知识的连续性）

前面我们已经学过单项式乘以单项式，今天我们来学习单项式×多项式

教师演示宣传画的面积问题。

二、探索法则与应用

1、方案1：

学生独立思考并回答问题

方案2：

分组讨论、分组交流

2、在学生发言的基础上，教师总结单项式×多项式的乘法法则并板书法则。

单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加。

根据所得法则，验证画面面积问题。

3、例题讲解：

例1：

（1）

（2）

点评：

强调法则的运用，学生刚接触，故要求学生按步骤解题，且提醒学生不能漏项。

三、巩固练习

四、小结

1、指导学生总结本节课的知识点，学习过程等的自我评价。

2、多项式×单项式的积的项数、符号（结合去括号法则）及不能漏乘等注意事项给予强调。

3、要善于在图形变化中发现规律，能熟练地对整式加减进行运算。

五、作业布置：

教材习题14.2中第3、4题。

14.1.6多项式与多项式相乘

【教学目标】：

知识与技能目标：

经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则；灵活运用多项式乘以多项式的运算法则。

过程与分析目标：

经历探索乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证的能力；体会乘法分配律的作用与转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力。

情感与态度目标：

充分调动学生学习的积极性、主动性及与他人沟通交往的能力。

【教学重点】：

多项式乘法的运算

【教学难点】：

探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“符号”的问题。

【教学过程】：

一情境导入

教师引导学业生复习单项式×多项式运算法则

整式的乘法实际上就是

单项式×单项式单项式×多项式多项式×多项式

组织讨论：

如图，计算此长方形的面积有几种方法？

如何计算？

小组讨论，你从计算中发现了什么？

由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一个量，故有

即有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb

二探索法则与应用。

根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：

（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb

在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法则并板书法则。

让学生体会法则的理论依据：

乘法对加法的分配律。

多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

例题讲解巩固练习

作业布置：

教材80页习题14.2中第5、6、7题。

课堂总结

指导学生总结本节课的知识点，学习过程等的自我评价。

主要针对以下方面：

1、多项式×多项式

2、整式的乘法

用一个多项式中的每一项乘遍另一个多项式的每一项，不要漏乘。

在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是这两个多项式项数之积。

14.1.7同底数幂的除法

教学目标

（一）教学知识点

1．同底数幂的除法的运算法则及其应用．

2．同底数幂的除法的运算算理．

（二）能力训练要求

1．经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，会进行同底数幂的除法运算．

2．理解同底数幂的除法的运算算理，发展有条理的思考及表达能力．

（三）情感与价值观要求

1．经历探索同底数幂的除法运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验．

2．渗透数学公式的简洁美与和谐美．

教学重点准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．

教学难点根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．

教学方法

探索讨论、归纳总结的方法．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]出示投影片

1．叙述同底数幂的乘法运算法则．

2．问题：

一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

[生]1．同底数幂相乘，指数相加，底数不变．即：

am·an=am+n（m、n是正整数）．

2．移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为26×210=216K．所以它能存储这种数码照片的数量为216÷28．

[生]216、28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？

[师]这正是我们这节课要探究的问题．

Ⅱ．导入新课

[师]请同学们做如下运算：

1．

（1）28×28

（2）52×53（3）102×105（4）a3·a3

2．填空：

（1）（）·28=216

（2）（）·53=55（3）（）·105=107（4）（）·a3=a6

2．除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，所以这四个小题等价于：

（1）216÷28=（）

（2）55÷53=（（3）107÷105=（）（4）a6÷a3=（）

例题讲解：

（出示投影片）

1．计算：

（1）x8÷x2

（2）a4÷a（3）（ab）5÷（ab）2

2．先分别利用除法的意义填空，再利用am÷an=am-n的方法计算，你能得出什么结论？

（1）32÷32=（）

（2）103÷103=（）

（3）am÷an=（）（a≠0）

这样可以总结得a0=1（a≠0）

于是规定：

a0=1（a≠0）即：

任何不等于0的数的0次幂都等于1．

[生]这样的话，我们学习的同底数幂的除法的运算法则就可以扩展到：

am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整数，且m≥n）．

[师]说得有理．下面请同学们完成一组闯关训练，看哪一组完成得最出色．

Ⅲ．随堂练习

课本练习．

让学生独立运算，然后交流计算心得，从而达到熟悉运算法则的目的．

Ⅳ．课时小结

这节课大家利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幂的除法的运算规律，并能运用运算法则解决简单的计算问题，积累了一定的数学经验．

Ⅴ．课后作业

1．课本习题1、5题．

14.1.8单项式除以单项式

教学目标：

　一．知识与技能：

　　　　1、掌握单项式除以单项式的运算法则，会进行简单的整式除法运算；

　　　　2、理解整式除法运算的算理，熟练进行单项式除法算。

　二．过程与方法：

　　　通过学习单项式除以单项式运算法则的过程，熟练掌握运用法则进行有关计算。

　三．情感态度与价值观：

　　　培养学生抽象概括能力、运算能力、发展有条理的思考及表达能力。

教学重点：

可以通过单项式与单项式的乘法来理解单项式的除法

教学难点：

确实弄清单项式除法的含义，会进行单项式除法运算．

教学过程：

　　探索练习，计算下列各题，并说明你的理由．

（1）

（2）

（3）

提醒：

可以用类似于分数约分的方法来计算．

讨论：

通过上面的计算，该如何进行单项式除以单项式的运算？

结论：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．

例题讲解：

例1计算:

（1）24a3b2÷3ab2,

（2）-21a2b3c÷3ab,（3）（6xy2）2÷3xy.

例2计算:

（1）12（a-b）5÷3（a-b）2,

（2）（3y-x）3÷（x-3y）2,（3）（2a2）4÷（a3）2

例3.地球的质量约为5.98×1024千克,木星的质量约为1.9×1027千克.问木星的质量约是地球的多少倍?

（结果保留三个有效数字）

课堂练习：

（1）

（2）

（3）

（４）

课堂小结：

布置作业

１４．１．９多项式除以单项式

教学目标　

　一．知识与技能

要求学生能够进行多项式除以单项式的运算，并且理解除法运算的算理，发展思维能力和表达能力．

　二．过程与方法

　　利用整式除法的逆运算或者约分的方法推理出多项式除以单项式的运算法则，掌握整式除法的运算．

　三．情感、态度与价值观

　　通过分组讨论学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性，培养学生的团结协作精神，使学生获得合作交流的学习方式．

教学重点：

多项式除以单项式的运算法则的推导，以及法则的正确使用．

教学难点：

多项式除以单项式的运算法则的熟练应用．

教学过程：

一．复习提问：

如何用式子表示分配律？

同底数幂的性质是什么？

用式子如何表示？

单项式除以单项式的法则是什么？

引导性材料：

我们学习了被除式和除式都是单项式的除法，如果被除式是多项式，除式是单项式怎样计算呢？

即如何计算

？

我们在前面学习单项式与多项式相乘时，是把它转化为单项式与单项式相乘来进行的，多项式除以单项式也可类似的转化为单项式与单项式相除来进行。

新课讲解：

由学生总结出多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

例计算：

（1）

；

（2）

课堂练习：

课本第1（3）、（4），第2题

课堂小结：

多项式除以单项式的法则是什么？

导出多项式除以单项式法则的基本思路是什么？

进行多项式除以单项式运算的基本思路是什么？

作业：

课本习题第3题

14．２．１　　平方差公式

教学目标：

知识技能　　

1.理解平方差公式．

　　2.能应用平方差公式进行化简和计算．

过程与方法　　

1.通过学习知道如何用几何拼图的方式验证平方差公式.

　　2.通过学习应用平方差公式.，发展符号感及抽象思维能力．

情感态度

　培养合作意识.交流中体会数学来源于总结，归纳，积累.

教学重点：

（1）理解平方差公式；

（2）用平方差公式进行化简和计算．

教学难点：

（1）平方差公式的几何拼图验证；

（2）用平方差公式进行化简和计算．

一、导入新课：

1.探究：

计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

（1）（

）（

）=　

（2）（

）（

）=　（3）（

）（

）=

学生小组讨论，交流问题，并发表见解.

2.补问：

他们的说法正确吗？

如果不正确，请给出正确的规律．同学们可以互相议论一下．

教师深入小组参与活动，倾听学生交流，并对学生的交流，给予肯定和鼓励.

二、探索新知

1.小组内代表举出能用平方差公式计算的例子，其他组同学计算．

〖设计说明〗进一步巩固和理解平方差公式的运用条件以及如何应用平方差公式化简或计算．

2.计算（

）（

）

总结归纳：

_________________________________．

3..揭示课题：

平方差公式

教师注意观察一部分学生的结果，及时给学生发表意见的机会.

〖设计说明〗让学生体会知识的形成过程．进一步培养学生分析问题解决问题的能力，让学生勇于发表自己的观点.使学生在老师的带领下渐渐拥有总结数学知识的能力.

4.验证、理解“平方差公式”．

（1）思考：

边长为x的正方形纸缺了一个边长为b的正方形角，请你动手剪成两部分后再拼成一个长方形．

教师巡视学生绘制的图形.指导绘图的注意点，关键点，以及数学知识的应用.

①两个二项式相乘时，有一项相同，另一项符号相反（互为相反数），积等于相同项的平方减去相反数项的平方．

②公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．

注：

必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式!

三、布置学生自学：

1．学生自主探究题：

抢答：

试一试，判断下列式子是否可用平方差公式．

（1）（-x+b）（x+b）

（2）（-2x+b）（-2x-b）

（3）（-x+b）（x-b）（4）（x+b）（x-c）

2.小组合作探究题：

（1）运用平方差公式计算：

①（

）（

）②（

）（

）

③（

）（

）④（x+

）（x－

）（x2＋

）

（2）计算：

①102×98②（

）（

）－（

）（

）

四．教师精讲点拨：

1．知识点辨析：

（1）两个二项式相乘时，有一项相同，另一项符号相反（互为相反数），积等于相同项的平方减去相反数项的平方．

（2）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．（例：

计算（2x+y+3）（2x+y-3））

注：

必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式!

2．探究题评析：

进一步培养学生数形结合的思想．

3．规律总结：

平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．（a+b）（a-b）=a2-b2．

4．方法指导．整体思想和划归的数学思想．

五、课堂反馈训练：

14．２．１完全平方公式

教学目标：

知识技能

1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征．　

2．熟练运用公式进行计算．　

3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．　　

4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．

过程与方法：

通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．熟练运用公式进行计算．

情感态度

1．通过小组合作研究，培养学生合作交流意识和探索精神．

2．培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣．

教学重点：

（1）体会完全平方公式的发现和推导过程；

（2）掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．

教学难点：

准确判别要计算的代数式是哪两个数的和（或差）的平方,综合运用完全平方公式进行计算．

教学过程：

一、导入新课：

提出问题，学生自学

1．问题：

根据乘方的定义，我们知道：

a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？

（a+b）2的运算结果有什么规律？

计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；

（m+2）2=_______；

（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；

（m-2）2=_______；

二．探索新知：

1．问题：

一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。

（如图）

ab

（1）四块面积分别为：

、、、;

b

（2）两种形式表示实验田的总面积：

①