七年级下册数学三角形全等动点问题.docx

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七年级下册数学三角形全等动点问题

初一数学

全等三角形之动点问题专题（B 类）

一、考点、热点回顾

动点型问题是近年来中考的一个热点问题。

动态几何问题就是以几何知识和

具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的

平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行

探究。

动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵

活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力 ,综合分

析能力。

《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三

角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点

运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线

上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。

本设计是以等边三角形

为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，

抓住图形中“变”和“不变” 以“不变的”来解决“变” 以达到“以静制动”，

变“动态问题”为“静态问题”来解。

对学生分析问题的能力，对图形的想象能

力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从

给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动

等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，

还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。

二、典型例题

1、单动点问题

A

引例：

已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形.

动点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动.

设点 P 的运动时间为（s），那么 t=____时，△PBC 是直角

P

三角形？

B

C

2、双动点问题

引例：

已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形. 动点 P 从点 A 出发，

沿 AB 向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 向点 C 运动，如果动点 P、Q 都以

1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为 t（s），那么 t 为何值时，△PBQ 是直角

三角形?

A

P

B

Q        C

巩固练习，拓展思维

已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形. 动点 P 从点 A 出发，沿 AB 向点 B

运动，动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动. 连接 PQ 交 AC 于 D. 如果动点 P、

Q 都以 1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为 t（s），那么 当 t 为何值时，△DCQ

是等腰三角形?

A

P

D

B

C   Q

变式练习：

1、已知，如图△ABC 是边长 3cm 的等边三角形.动点 P 从点 A 出发，

沿 AB 向点 B 运动，动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动. 连接 PQ 交 AC 于

D. 如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为 t（s），连接 PC.

请探究：

在点 P、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？

A

P

D

B

C  Q

变式练习：

、已知等边三角形ABC，

（1）动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向

点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 向点 C 运动，连接 CP、AQ 交于 M，

如果动点 P、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。

（2）若动点 P、Q 继续运动，分别沿射线 AB、BC 方向运动，.∠AMP=60°的结

论还成立吗？

A

A

P

M

CQ

BQC

P

二、实战训练

、如图，在等腰ACB 中，AC＝BC＝5，AB＝8，D 为底边 AB 上一动点（不

与点 A， 重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为 E， ，则 DE＋DF＝．

C

E

F

A

D        B

2、如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB，F 是 AB 边上的中点，

点 D、E 分别在 AC、BC 边上运动，且始终保持 AD=CE．连接 DE、DF、EF．

（

）求证：

ADF≌△CEF

（

）试证明DFE 是等腰直角三角形

3、如图，在等边 ∆ABC 的顶点 A、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以

每分钟 1 各单位的速度油 A 向 B 和由 C 向 A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，

另一只也停止运动，经过 t 分钟后，它们分别爬行到 D,E 处，请问

（1）在爬行过程中，CD 和 BE 始终相等吗？

（2）若蜗牛沿着 AB 和 CA 的延长线爬行，EB 与 CD 交于点 Q，其他条件不变，

如图

（2）所示，蜗牛爬行过程中 ∠CQE 的大小条件不变，求证：

 ∠CQE = 60︒

（3）如果将原题中“由 C 向 A 爬行”改为“沿着 BC 的延长线爬行，连接 DE

交 AC 于 F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于 EF 是否正确

4、如图 1

ABC 

ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：

CD=BE

AMN 是等边三角形．

（1）当把△ ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？

若成

立请证明，若不成立请说明理由；

（2

ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，△ AMN 是否还是等边三角形？

若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，△ ADE 

ABC 

 AMN 的面积之

比；若不是，请说明理由．

图 1图 2图 3

、如图，已知ABC 中， AB = AC = 10 厘米， BC = 8 厘米，点 D 为 AB 的中点．

（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点Q

在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动．

①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，△BPD 与 △CQP 是

否全等，请说明理由；

②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，

能够使 △BPD 与 △CQP 全等？

（2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同

时出发，都逆时针沿 △ ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在

△ ABC 的哪条边上相遇？

A

D

Q

B

P

C

6、（2009 年本溪）在△ ABC 中， AB = AC ，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C

重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧作 △ADE ，使 AD = AE，∠DAE = ∠BAC ，连

接 CE ．

（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果 ∠BAC = 90°，则 ∠BCE =度；

（2）设 ∠BAC = α ， ∠BCE = β ．

①如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则 α， β 之间有怎样的数量关系？

请说明理

由；

②当点 D 在直线 BC 上移动，则 α， β 之间有怎样的数量关系？

请直接写出你的

结论．

A

A

E

C

DD

图 1图 2

AA

E

BCBC

备用图备用图

7、 如图 a，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF

和 BE.

（1）线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系?

请证明你的结论；

（2）将图 a 中的△CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，

（1）中的结论还成立吗?

作出判

断并说明理由；

（3）若将图 a 中的△ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c（草图即

可），

（1）中的结论还成立吗?

作出判断不必说明理由.

8、已知，如图①所示，在 △ ABC 和 △ ADE 中，AB = AC ，AD = AE ，∠ BAC = ∠ DAE ，

且点 B，A，D 在一条直线上，连接 BE， CD， M ， N 分别为 BE，CD 的中点．

（1）求证：

① BE = CD ；② AM = AN ；

（2）在图①的基础上，将 △ ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 180 o，其他条件不变，得到

图②所示的图形．请直接写出

（1）中的两个结论是否仍然成立.

C

C

N

M

N

E

B

D

A

B

A

D

M

E

图①

图②

9 、 直 线 CD 经 过 ∠BCA 的 顶 点 C ， CA=CB． E 、 F 分 别 是 直 线 CD 上 两 点 ， 且

∠BEC = ∠CFA = ∠α ．

（1）若直线 CD 经过 ∠BCA 的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：

①如图 1，若 ∠BCA = 90o, ∠α = 90o ，则 EFBE - AF （填“ > ”， < ”或“ = ”

号）；

②如图 2，若 0o < ∠BCA < 180o ，若使①中的结论仍然成立，则 ∠ α 与 ∠BCA 应满足的关

系是；

（2）如图 3，若直线 CD 经过 ∠BCA 的外部， ∠α = ∠BCA ，请探究 EF、与 BE、AF 三条

线段的数量关系，并给予证明．

B

B

B

D

C

F

图 1                 图 2                    图 3

10、 如图1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE ， GC .

（1）试猜想 AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使 E 点落在 BC 边上，如图2，连接 AE

和 GC .你认为

（1）中的结论是否还成立？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

附加题之等腰三角形（中考重难点之一）

考点 1：

等腰三角形性质的应用

1. 如图， ∆ABC 中， AB = AC ， ∠BAC = 90︒ ， D 是 BC 中点， ED ⊥ FD ， ED 与 AB 交于

E ， FD 与 AC 交于 F ．求证：

 BE = AF ， AE = CF ．

A

F

E

BDC

2. 两个全等的含 30o ，60o 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，E, A, C 三点在

一条直线上，连结 BD ，取 BD 的中点 M ， 连结 ME, MC ．试判断 ∆EMC 的形状，并说

明理由．

M

B

D

E

A      C

考点 2：

等腰直角三角形（45 度的联想）

1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边

经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与∠CBM

的平分线 BF 相交于点 F.

⑴ 如图 14―1，当点 E 在 AB 边的中点位置时：

① 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是；

② 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是；

③ 请证明你的上述两猜想.

⑵ 如图 14―2，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N,

使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明

2. 在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D 是 AC 的中点，DG⊥AC 交 AB 于点 G.

（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF 与 CF，过点

F 作 FH⊥FC，交直线 AB 于点 H．

①求证：

DG=DC

②判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明．

（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点F 在射线 DG 上，

（1）中的其他条件不变，借

助图 2 画出图形。

在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在

（1）中得出的结论是否

发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）

BB

H

G

F

AD

G

E     C                      A      D     C   E

图图

同类变式：

 已知：

△ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边

经过点 A，且 60º角的顶点 E 在 BC 上滑动，（点 E 不与点 B、C 重合），斜边与∠ACM 的平分

线 CF 交于点 F

（1）如图

（1）当点 E 在 BC 边得中点位置时

 猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是

.

 连结点 E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是

.

 请证明你的上述猜想；

（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和 EF 有怎样的数量关系，并说明

你的理由？

A

A

N

F

F

B

图

（1）

C             M      B

E

图

（2）

C

M

四、课后反馈

教学进度：

学生掌握情况：

存在问题及改进措施：

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