计算机控制技术作业评讲.docx
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计算机控制技术作业评讲
第二章习题P37
1、求下列函数的Z变换
（1）
>>symsanT
>>FZ=（ztrans（1-exp（-a*n*T）））
FZ=z/（z-1）-z/（z-1/exp（T*a））
>>simple（FZ）
>>pretty（FZ）
zz
------------------
z-11
z---------
exp（Ta）
（2）
k>=0
>>symsk
>>FZ=ztrans（（1/4）^k）
FZ=z/（z-1/4）
>>symsanT
>>FZ=ztrans（（1/4）^（n*T））
FZ=z/（z-（1/4）^T）
（3）
方法1（假设采样周期为1）
gs=tf（[6],[120]）
gz=c2d（gs,1,'imp'）
Transferfunction:
2.594z
----------------------
z^2-1.135z+0.1353
Samplingtime:
1
方法2（采用符号计算工具箱，正确）
>>symssnT
>>ft=ilaplace（6/（s*（s+2）））
ft=3-3/exp（2*t）
>>FZ=（ztrans（3-3/exp（2*n*T）））
FZ=（3*z）/（z-1）-（3*z）/（z-exp（-2*T））
>>pretty（FZ）
3z3z
-------------------
z-1z-exp（-2T）
补充：
（1）单位阶跃信号的Z变换
>>f=n/n
f=1
>>ztrans（f）
ans=z/（z-1）
（2）单位速度信号的Z变换
>>f=n
f=n
>>ztrans（f）
ans=z/（z-1）^2%只反映了T=1时的情况
>>symsnT;
>>f=n*T
f=T*n
>>ztrans（f）
ans=（T*z）/（z-1）^2%正确
（3）单位加速度信号的Z变换
>>f=0.5*（n*T）^2
>>ztrans（f）
（4）广义Z变换
延迟0.25T的速度信号的Z变换
>>f=n*T+0.75*T
f=（3*T）/4+T*n
>>ztrans（f）
ans=（3*T*z）/（4*（z-1））+（T*z）/（z-1）^2
该式乘以z^（-1）得到结果。
与教科书P27表上结果相同。
e^（-at）延迟q*T后的Z变换
>>symsanqT
>>FZ=ztrans（exp（-a*（n-q）*T））
>>FZ=ztrans（exp（-a*n*T）*exp（a*q*T））
FZ=（z*exp（T*a*q））/（z-exp（-T*a））
e^（-at）超前b*T后的Z变换
>>symsanqbT
FZ=ztrans（exp（-a*n*T）*exp（-a*b*T））
FZ=（z*exp（-T*a*b））/（z-exp（-T*a））
将此式乘以z^（-1）得到结果。
与教科书P27表上结果相同。
2、求下列函数的初值和终值
（1）：
解：
>>F=10*z^（-1）/（1-z^（-1））^2
F=10/z/（1-1/z）^2
根据初值定理,初值就是当z趋于无穷大时F（Z）的值
symsz
limit（F,z,inf）
ans=0
根据终值定理,终值就是当z趋于1时F（Z）*（z-1）的值
>>limit（F*（z-1）,z,1）
ans=NaN
（2）：
>>F=（1+4*z^（-1）+3*z^（-2））/（1+2*z^（-1）+6*z^（-2）+2.5*z^（-3））
F=（1+4/z+3/z^2）/（1+2/z+6/z^2+5/2/z^3）
>>limit（F,z,inf）
ans=1
>>limit（F*（z-1）,z,1）
ans=0
3、求下列各函数的Z反变换。
（1）：
>>f=z/（z-0.5）;
>>iztrans（f）
ans=（1/2）^n
（2）：
>>f=z^2/（（z-0.8）*（z-0.1））;
>>iztrans（f）
ans=8/7*（4/5）^n-1/7*（1/10）^n
第三章习题P37
习题1、试求如题图3.1所示的采样控制系统在单位阶跃信号作用下的输出响应y
（t）。
设G（s）=
，采样周期T=0.1s。
%先求Z变换，再求闭环传递函数和响应，正确。
gs=tf（[20],[1100]）;
gz=c2d（gs,0.1,'imp'）;
gzb1=gz/（gz+1）;
gzb2=feedback（gz,1）;%两种方式均可
y=step（gzb1）;
step（gzb1,gzb2）;
%方法二，也正确。
gs=tf（[20],[1100]）;
gz=c2d（gs,0.1,'imp'）;
gzb2=feedback（gz,1）;
rz=tf（[10],[1-1],0.1）;%阶跃输入信号的Z变换
yz=rz*gzb2;
impulse（yz）
%先求闭环传递函数，再求Z变换和响应，错误。
gsb1=feedback（gs,1）;
%gsb1=gs/（gs+1）;
gzb3=c2d（gsb1,0.1,'imp'）;%用冲击响应不变法，实际却是阶跃输入，错误。
gzb4=c2d（gsb1,0.1）;%用阶跃响应不变法，仍然错误。
step（gsb1,gzb2,gzb3,gzb4）
习题2求单位速度作用下的稳态误差
gs=tf（[1],[0.110]）;
T=0.1;
gz=c2d（gs,T,'imp'）;
gzb=feedback（gz,1）;%先求Z变换，再求闭环传递函数和响应，正确
rz=tf（[0.10],[1-21],T）;%单位速度信号
rz1=zpk（[0],[11],T,T）;%效果相同
yz=rz*gzb;
impulse（yz）;
t=[0:
0.1:
10]';%效果相同
ramp=t;
lsim（gzb,ramp,t）
[y,t1]=lsim（gzb,ramp,t）;
ER=ramp-y
plot（ER,t）,grid%误差曲线
gs=tf（[1],[0.110]）;%连续情况，稳态误差为1
gsb=feedback（gs,1）;
rs=tf（[1],[100]）;%单位速度信号
ys=rs*gsb;
t1=0:
0.01:
10;
impulse（ys,t1）;
t=[0:
0.01:
10]';%效果相同
ramp=t;
lsim（gsb,ramp,t）
习题5分析稳定性
gs=tf（[1],[110]）;
T=1;
gz=c2d（gs,T,'imp'）;
gzb=feedback（gz,1）;
pzmap（gzb）
gz1=tf（[1],[45-117-119-39],1）;
pzmap（gz1）
9、一闭环系统如题图3.2所示，设G（s）=
，采样周期T=1s。
试求：
（1）绘制开环系统的幅相频率特性曲线。
（2）绘制开环系统的Bode图。
（3）确定相位裕度和幅值裕度。
（4）求闭环系统的单位阶跃响应。
（5）求闭环（连续）系统的单位阶跃响应。
Gs=tf（[1],[110]）
Gz=c2d（Gs,1）
ltiview
nyquist（Gz）
bode（Gz）
simulinkP57_9
P62例4.1、某控制系统如题图4.1所示，
，T=1s，针对单位速度输入设计有纹波系统的数字控制器。
Gs=tf（[10],[110]）
Gz=c2d（Gs,1）
Transferfunction:
3.679z+2.642
----------------------
z^2-1.368z+0.3679
>>Wez=filt（[1-21],[1],1）
Transferfunction:
1-2z^-1+z^-2
>>Wz=1-Wez
Transferfunction:
2z^-1-z^-2
>>Dz=（1-Wez）/Wez/Gz
Transferfunction:
2-3.736z^-1+2.104z^-2-0.3679z^-3
--------------------------------------------
3.679-4.715z^-1-1.606z^-2+2.642z^-3
>>Rz=filt（[0T],[1-21],-1）
Transferfunction:
z^-1
-----------------
1-2z^-1+z^-2
方法1
>>Yz=Rz*Wz
Transferfunction:
2z^-2-z^-3
-----------------
1-2z^-1+z^-2
Samplingtime:
1
>>impulse（Yz）
方法2
t=[0:
1:
100]'
ramp=t
lsim（Wz,ramp,t）
有纹波simulinkP62_4_1
Gz1=d2d（Gz,0.2）；%改变采样周期，结果不稳定
Dz1=d2d（Dz,0.2,'tustin'）；
Wz1=feedback（（Dz1*Gz1）,1）；
t1=[0:
0.2:
100]';
ramp1=t1;
lsim（Wz1,ramp1,t1）
对上题，针对单位速度输入设计快速无波纹系统的数字控制器P73
>>pole（Gz）
ans=
1.0000
0.3679
>>zero（Gz）
ans=
-0.7183
需要手算系数方程，见P72
P92习题2
>>den=conv（[10],conv（[0.11],[0.051]））
den=0.00500.15001.00000
>>Gs=tf（[1],den）
>>Gz=c2d（Gs,0.1）
其余步骤同上题
6、某控制系统如图4.1所示，已知被控对象的传递函数为
，设采样周期为0.1试设计数字控制器D（z），使系统对等速输入响应在采样带你上无稳态误差，同时对阶跃响应的超调量和调整时间均有所折中，并画出所选阻尼因子所对应的阶跃响应和等速响应的曲线。
分析：
根据最少拍原则设计，对单位速度输入无稳态误差的最少拍系统的闭环误差Z传递函数为：
闭环传递函数为
引入阻尼因子的闭环误差传递函数为
，增加阻尼因子项后的闭环Z传递函数为
Gs=tf（[5],[110]）
Gz=c2d（Gs,0.1）
>>Wez=filt（[1-21],[1],0.1）
Transferfunction:
1-2z^-1+z^-2
c=0.2
Cz=filt（[1-c],[1],0.1）
Wez1=Wez/Cz
Wz1=1-Wez1
Rz=filt（[00.1],[1-21],0.1）
subplot（2,1,1）;impulse（Rz*Wz1）%等速响应
subplot（2,1,2）;step（Wz1）
Wz1
第六章离散系统状态空间分析（P157）
2、设某系统的Z传递函数为
，求状态空间表达式。
>>Gz=tf（[1-0.4],[1-0.70.06],1）
Transferfunction:
z-0.4
------------------
z^2-0.7z+0.06
Samplingtime:
1
>>sys1=ss（Gz）
a=
x1x2
x10.7-0.24
x20.250
b=
u1
x12
x20
c=
x1x2
y10.5-0.8
d=
u1
y10
Samplingtime:
1
Discrete-timemodel.
传递函数的最小实现方法
>>sys2=ss（Gz,'minimal'）
结果相同
3.求离散化状态空间方程
sys=ss（[01;0-2],[0;1],[10],0）
dss=c2d（sys,1）
4.求传递函数和特征值
sys=ss（[0.60;0.20.1],[1;1],[01],0,-1）
求传递函数
方法1
GZ=tf（sys）
Transferfunction:
z-0.4
------------------
z^2-0.7z+0.06
Samplingtime:
unspecified
方法2采用符号运算工具
symsz
GZ=sys.c*inv（z*[10;01]-sys.a）*sys.b
simple（GZ）
或者
Y=eye
GZ=sys.c*inv（z*Y-sys.a）*sys.b
求特征值
方法1
pole（sys）
ans=
0.1000
0.6000
方法2
eig（sys.a）%效果相同
方法3
GZ=tf（sys）
pole（GZ）%若不是完全可控和可观测（有零极点对消）这效果不相同
6.设离散系统的系数矩阵为A=[
]，试根据系统稳定的充要条件确定该系统的稳定性。
>>A=[01;-1-2]
A=
01
-1-2
>>eig（A）
ans=
-1
-1
线性离散系统稳定的充要条件是系统的全部特征值位于单位圆内，由上结果知系统矩阵的特征值为-1、-1。
故系统是临界稳定。
7.设离散系统的系数矩阵为
A=[
]试用Liapunov法确定该系统的稳定性。
>>A=[0.41;00.6]
A=
0.40001.0000
00.6000
>>Q=eye
（2）
Q=
10
01
>>P=dlyap（A,Q）
P=
4.22541.2336
1.23361.5625
正定矩阵Q可以得到一个正定实对称矩阵P，所以系统是稳定的
8.试确定下列离散系统的可控性
（1）A=
，B=
>>A=[12;31]
>>B=[0;1]
>>Tc=ctrb（A,B）
Tc=
02
11
>>rank（Tc）
ans=2
能控阵的秩为2，等于系统的阶次，所以系统是完全可控的。
10.试确定下列离散系统状态的可测性。
（1）A=
，C=
>>A=[21;03]
>>C=[10]
>>To=obsv（A,C）
To=
10
21
>>rank（To）
ans=2
能观阵的秩为2，等于系统的阶次，所以系统是完全可观的。
第七章离散系统状态空间设计（P218）
8.设被控对象的状态空间方程为
X（k+1）=[
]x（k）+[
]u（k）
y（k）=[
1]x（k）
试用极点配置法确定状态反馈矩阵K，使状态反馈闭环系统的特征值为0.4和0.7，并画出状态反馈系统方块图
>>P=[0.40.7]
P=
0.40000.7000
>>A=[3-2;10]
>>B=[1;2]
>>K=place（A,B,P）
K=
-2.02001.9600
补充
P141例6.15
sys=ss（[0.6320.632;-0.6320.368],[0.368;0.632],[10;01],0,-1）
[y,t]=step（sys）
step（sys）
参见p135例6.11，其中x1相当于输出，x2是x1的微分。
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