不规则图形的面积.docx

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不规则图形的面积

4-2-6.不规则图形的面积

例题精讲

本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力.

【例1】你有什么好的方法计算所给图形的面积呢?

（单位：

厘米）

4

9

9

4

3

图1

99

n

99

3

44

图2图3

3

【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积（单位：

米）

【巩固】

如右图所示，图中的ABEFGD是由一个长方形所示（单位：

厘米），求ABEFGD的周长和面积.

ABCD及一个正方形

CEFG拼成的，线段的长度如图

【巩固】求图中五边形的面积.

3

【例2】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20厘米•问，此楼梯截面的面积是多少？

【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是

20厘米•这楼梯的截面积是多少平方厘米?

【例3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽多少？

2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是

2米

16米

8米

十米

将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖

【例4】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片,住的桌面的面积是多少平方厘米？

【例5】下图（单位：

厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积

【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示（单位：

厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积

【例6】如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长2

米的正方形区域，他从图中的A点出发，沿最短路线（图中虚线）走，走过88米到达B点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？

B

6厘米

【例8】右图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9平方厘米，求ED的长.

【巩固】如图所示，CA二AB=4厘米，△ABE比厶CDE的面积小2平方厘米，求CD的长为多少厘米?

【巩固】如图，平行四边形ABCD种，BC=10cm，直角三角形ECB的边EC=8cm，已知阴影部分的总面

积比三角形EFG的面积大10cm2，求平行四边形ABCD的面积.

D

【例9】如图，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长方形，求|_BCO与LEFO的面积差.

【例10】有一个长方形菜园，如果把宽改成

50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为

60

米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米?

50

680平方米

2720平方米

60

【巩固】有一个长方形，如果宽减少

2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积?

3

【例11】一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？

【例12】一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？

【巩固】一块长方形纸片，在长边剪去5cm，宽边剪去2cm后（如图），得到的正方形面积比原长方形面积少

2

31cm•求原长方形纸片的面积.

【巩固】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原

正方形大120平方厘米.求原正方形的面积？

6厘米

【例13】一块正方形的钢板，先截去一个宽

5分米的长方形，又截去一个宽8分米的长方形（如图），面积

就比原来正方形减少181平方分米•原正方形的边长是多少分米?

【巩固】一张长方形纸片，先把长剪去8厘米，这时面积减少了72平方厘米，又把宽剪去5厘米，这时面积

又减少了60平方厘米，原来这张长方形纸片的面积是多少平方厘米？

【巩固】如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形，再截去宽

7分米的长方形，所得图形的面

积比原正方形减少301平方分米•原正方形的边长是

【例14】如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大

34平方厘米，求阴影部分的面积.

18cm

【例15】一张长方形纸片，把它的右上角往下折叠（如图甲），阴影部分面积占原纸片面积的；再把左下

7

角往上折叠（如图乙），乙图中阴影部分面积占原纸片面积的（答案用分数表示）•

【巩固】折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的1.5倍.已知阴影部分面积之和为1,则重叠部分（即

空白部分）的面积是多少？

【巩固】如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米•把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未

盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？

7

【例16】如图，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分,

再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？

【例17】如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积?

6

4

【例18】一个边长为20厘米的正方形,

依次连接四边中点得到第二个正方形,

这样继续下去可得到第三个、

第四个、第五个正方形•求第五个正方形的面积?

【巩固】如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形（阴影部分）的周长是8，那么最大

的正方形的边长是

【巩固】图中有6个正方形，较小的正方形都由较大的正方形的4边中点连接而成.已知最大的正方形的边

长为16厘米，那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米？

【例19】已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米?

【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是10cm，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面

积为26cm2，最小的正方形的边长为多少厘米？

【例20】有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形•求图中阴影部分的面积？

【例21】如图，边长为10的正方形中有一等宽的十字，其面积（阴影部分）为36，则十字中央的小正方形

面积为•

第2题

【例22】下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少?

（单位：

厘米）

6

【巩固】如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是

5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少?

【例23】甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一

个顶点在乙的中心上.这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？

【巩固】将20张边长为10厘米的正方形纸片，按顺序一张一张地摆放在地板上，摆的时候，要求后摆的纸

片必须有一个顶点与前一张的中心重合，且每一张只与其前一张和后一张有重合部分（右图表示已经

摆好的5张）•地板被这20张纸片所覆盖部分的面积是多少？

【例24】有2个大小不同的正方形A和B.如下左图所示的那样，在将

B正方形的对角线的交点与A正方

形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为A正方形面积的

按下右图那样，将A和B反向重叠的话，所重叠部分的面积是

-.求A与B的边长之比.如果当

9

B的几分之几？

【例25】有一个正方形水池（图中阴影部分），在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方

米，求水池的边长？

【巩固】一块长方形草坪（图中阴影部分）长是宽的2倍，它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路.求草坪的面积是多少平方米？

【例26】如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池.水池长8米、宽3米.水池周围用边长

为1米的方砖一圈一圈地向外铺.恰好铺了若干圈，共用了152块方砖，那么共铺了圈.

水池

【例27】用四个相同的长方形拼成一个面积为

100cm2的大正方形，每个长方形的周长是多少平方厘米?

大正方形的面积是100平方分米,

【巩固】如图所示，4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大的正方形，小正方形的面积是36平方分米，求一个小长方形的面积及周长.

【例28】四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是100平方分米，小正方形的面积是16平方分

米，求每个长方形的面积是多少？

长方形的短边是多少分米？

已知其中小正方形的面积为4平方厘米,

【巩固】如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形,

大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形的长为厘米，宽厘米.

第19题

【例29】街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道（如图），如果甬道的面积是12平方米,

那么中间花坛的面积是多少平方米？

【巩固】在一个正方形的小花园周围，环绕着宽积是多少平方米？

5米的水池，水池面积为300平方米，那么正方形花园的面

【巩固】有大、小两个长方形

（如图），对应边的距离均为1cm，已知两个长方形之间部分的面积是

2

16cm,

且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积.

【例30】已知大正方形比小正方形边长多

正方形面积各是多少？

4厘米，大正方形面积比小正方形面积大96平方厘米.问大、小

【巩固】两个正方形的面积相差

2

9cm，边长相差1cm.求两个正方形的面积和.

C

B

A

■

【巩固】有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米.小正方形的面积是多少

平方厘米？

【例31】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形（如图），如果两个正方形的周

长相差16厘米，面积相差96平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？

【例32】用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形,

平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？

长方形纸片面积分别为44平方厘米与28

【例33】计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上建这个花坛需要占地多少平方米？

3米宽的草坪，草坪的面积为300平方米，那么修

【巩固】有大、小两个长方形（右图），对应边的距离均为1厘米，已知两个长方形之间部分的面积是16平方

厘米，且小长方形的长是宽的

2倍，求大长方形的面积.

【巩固】一块长方形的草坪（见图中阴影部分），长是宽的2倍，它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路，求草坪的总面积是多少平方米？

【例34】一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加

9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？

【例35】从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米,

请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？

0.5

【巩固】从一个正方形的木板上锯下宽

木条面积是多少？

1m的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为

2

6m，问锯下的长方形

Im

【巩固】从一块正方形木板锯下宽为

少平方米？

-米的一个木条以后,

2

剩下的面积是色平方米.

18

问锯下的木条面积是多

【例36】图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40平方厘米.求乙

正方形的面积.

【例37】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差

40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验

田的面积是多少平方米?

【例

38】

如图，边长是整数的四边形AFED的面积是48平方厘米,面积是平方厘米.

FB为8厘米.那么，正方形ABCD的

【例39】如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是1平方米、1平方米、卫平方米和Z

105105

平方米•已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？

■*1

T」

•1

——7'.

5

30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形•已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？

【例40】长方形ABCD的周长是

z

k

二

□

a

□

Ai

EiDiCi

【巩固】如图，长方形ABCD的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为边长的正方形,四个正方形的面积和是68平方厘米，

求长方形ABCD的面积？

已知这

—

—

二

二

B

-

C

F

E

IHG

【例41】一条白色的正方形手帕，它的边长是条手帕白色部分的面积是多少？

18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是

2厘米，这

【例42】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，

果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖,

两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示.如那么白色瓷砖用了多少块？

图1图2

【例43】7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米?

【巩固】如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米?

【例44】如右图所示，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形面积是

（尺寸如图），图中阴影部分的

【例45】若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形•已知小纸片的宽是总面积是多少平方厘米？

12厘米，问阴影部分的

r-

詁-

【例46】一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形.下面一个长方形是由9

个小正方形组成的完美长方形.图中正方形A和B的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美

长方形的面积分别是多少平方厘米？

A

B

D

E

F

C

A

B

G

H

【巩固】如图：

有一个矩形可以被分割为个矩形之面积为多少平方厘米?

11个正方形，其中最小的正方形（阴影部分）面积为81cm2，请问这

i

j

g

f

h

e

'

c

ab

d

第2题

【巩固】图中的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积是1平方厘米，求原来长方形的面积.

【巩固】9个边长分别为1、4、7、&9、10、14、15、18的正方形拼成一个长方形，问这个长方形的长和宽是多少？

并请画出这个长方形的拼接图.

1

14

【例47】图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是

12

15

/

（单位：

平方厘米），问大

【例48】如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示矩形的面积是多少平方厘米？

36

16

C

20

B

E

30

12

G

F

D

36

16C

20

S2B

E30

12

S3

G

F

D

【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形，如图所示•现在知道其中三块长方形的面积分别

为48平方厘米、24平方厘米、

30平方厘米，那么，阴影部分的面积是多少?

48

24

30

【巩固】如图，矩形

ABCD被分割成

9个小矩形.其中有

5个小矩形的面积如图所示•矩形

ABCD的面积

|1.

2

□

□

2

4

□

—

16

【例49】有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合（见

20，黄色面积是14，绿色面积是10•求正方形盒底

下图）•已知露在外面的部分中，红色面积是的面积.

【例50】如图所示，在正方形ABCD内，红色、绿色正方形的面积分别是48和12，且红、绿两个正方形有

一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点•那么黄色正方形的面积是

12

3

【巩固】如图所示，在正方形ABCD中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有

一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方

形两条对角线的交点，求黄色正方形面积.

【例51】如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形的重叠部分，CDE

是空出的部分，每一部分都是矩形，它们的面积比是A:

B:

C:

DE=1:

2:

3:

4:

5，那么这个长

方形的长与宽之比是.

r

5

J

2

4

A

c

F5/

X.

4XD

A

b

【例52】如图如果长方形的面积为

56平方厘米，且MD=2厘米、QC=3厘米、CP=5厘米、BN=6厘米,

那么请你求出四边形MNPQ的面积是多少厘米?

【巩固】长方形的广告牌长为

10米，宽为8米，A，B，C，D分别在四条边上，并且

C比A低5米，D在

B的左边2米，四边形ABCD的面积是平方米.

【例53】直角三角形PQR的直角边为5厘米,

9厘米，问：

图中三个正方形的面积之和比

4个三角形的面积

之和大多少?

5

9

F

5

G

9

H

【例54】如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH，中间阴影为正方形•已知甲、乙、

丙、丁四个长方形面积的和是32cm2,四边形ABCD的面积是20cm2.⑴求正方形EFGH的边长?

⑵求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和？

【例

A

E

B

F

ah

de

图3

55】如图，平面上CDEF是正方形,三角形ADE的面积.

ABCD是等腰梯形，它的上底

AD=23厘米,

下底BC=35厘米.求

【例56】右图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：

这个六边形

【例57】把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形•再将这个六角形的六个”角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正

三角形，这样就得到如右图所示的图形•如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如

图中整个图形的面积.

【例58】如图，长方形的面积是小于

长方形长的—，正方形①的边长是长方形宽的

100的数.它的内部有三个边长是整数的正方形.正方形②的边长是

-•那么，图中阴影部分的面积是

8