学年高中数学第三章概率第1节第1课时随机事件的概率教学案新人教A版必修3.docx
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学年高中数学第三章概率第1节第1课时随机事件的概率教学案新人教A版必修3
第1课时 随机事件的概率
[核心必知]
1.预习教材,问题导入
根据以下提纲,预习教材P108~P112,回答下列问题.
(1)客观世界中,有些事件的发生是偶然的,有些事件的发生是必然的,有些事件可能发生也可能不发生,若把这些事件分类,可分为哪几类?
提示:
根据这些事件可能发生与否,可将事件分为必然事件、不可能事件、随机事件.
(2)教材所做的抛掷一枚硬币的试验中,每个同学所得试验结果是否一致?
提示:
不一致,因为正面朝上这个事件是随机事件,可能发生也可能不发生.
(3)事件A发生的频率fn(A)是不是不变的?
事件A的概率P(A)是不是不变的?
它们之间有什么区别与联系?
提示:
频率是变化的,而概率是不变的,频率因试验的不同而不同,概率则不然,概率是频率的稳定值,是不随着频率的变化而变化的.
2.归纳总结,核心必记
(1)事件的概念与分类
事件
(2)频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=
为事件A出现的频率.
(3)概率
①含义:
概率是度量随机事件发生的可能性大小的量.
②与频率联系:
对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
[问题思考]
(1)事件的分类是确定的吗?
提示:
事件的分类是相对于条件来讲的,在不同的条件下,必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.
(2)频率和概率可以相等吗?
提示:
可以相等.但因为每次实验的频率是多少是不固定,而概率是固定的,故一般是不相等的,但有可能是相等的.
(3)频率与概率有什么区别与联系?
提示:
频率
概率
区别
频率反映了一个随机事件发生的频繁程度,是随机的
概率是一个确定的值,它反映随机事件发生的可能性的大小
联系
频率是概率的估计值,随着试验次数的增加,
频率会越来越接近概率
[课前反思]
通过以上预习,必须掌握的几个知识点:
(1)事件的分类:
;
(2)概率的含义:
;
(3)概率与频率的联系:
.
观察下列几幅图片:
事件一:
常温下石头在一天内能被风化.
事件二:
木柴燃烧产生热量.
事件三:
射击运动员射击一次中十环.
[思考] 以上三个事件一定发生吗?
名师指津:
事件一在常温下不可能发生,是不可能事件;事件二一定发生,是必然事件;事件三可能发生,也可能不发生,是随机事件.
讲一讲
1.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:
(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.
(3)若x∈R,则x2+1≥1.
(4)掷一枚骰子两次,朝上面的数字之和小于2.
[尝试解答] 由题意知
(1)
(2)中事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件;(3)中事件一定会发生,是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1,两次朝上面的数字之和最小是2,不可能小于2,所以(4)中事件不可能发生,是不可能事件.
判断事件类型的步骤
要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的,第二步再看它是一定发生,还是不一定发生,还是一定不发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
练一练
1.(2016·西南师大附中检测)下列事件:
①一个口袋内装有5个红球,从中任取一球是红球;②掷两枚骰子,所得点数之和为9;③x2≥0(x∈R);④方程x2-3x+5=0有两个不相等的实数根;⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军,其中随机事件的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
解析:
选B 在所给条件下,①是必然事件;②是随机事件;③是必然事件;④是不可能事件;⑤是随机事件.
小明抛掷一枚硬币100次,出现正面朝上48次.
[思考1] 你能计算出正面朝上的频率吗?
提示:
正面朝上的频率为0.48.
[思考2] 抛掷一枚硬币一次出现正面朝上的概率是多少?
提示:
正面朝上的概率为0.5.
[思考3] 随机事件的频率与概率之间有什么关系?
名师指津:
辨析频率与概率:
(1)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率可能会不同.比如,全班每个人都做了10次抛掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的.
(2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,如果一枚硬币是质地均匀的,则抛掷硬币一次出现正面朝上的概率是0.5,与做多少次试验无关.
(3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率,在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值.
讲一讲
2.某射击运动员进行飞碟射击训练,七次训练的成绩记录如下:
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数nA
81
95
120
81
119
127
121
(1)求各次击中飞碟的频率.(保留三位小数)
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少?
[尝试解答]
(1)计算
得各次击中飞碟的频率依次约为0.810,0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.
(2)由于这些频率非常地接近0.800,且在它附近摆动,所以运动员击中飞碟的概率约为0.800.
利用频率估计概率的步骤
(1)依次计算各个频率值;
(2)观察各个频率值的稳定值即为概率的估计值,有时也可用各个频率的中位数来作为概率的估计值.
练一练
2.国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测,结果如表所示:
抽取球数目
50
100
200
500
1000
2000
优等品数目
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
(1)计算表中优等品的各个频率.
(2)从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是多少?
解:
(1)如下表
抽取球数目
50
100
200
500
1000
2000
优等品数目
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
(2)根据频率与概率的关系,可以认为从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是0.95.
讲一讲
3.某人做试验,从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取两个小球,每次取一个,先取的小球的标号为x,后取的小球的标号为y,这样构成有序实数对(x,y).
(1)写出这个试验的所有结果;
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
[思路点拨] 根据日常生活的经验按一定的顺序逐个列出全部结果.
[尝试解答]
(1)当x=1时,y=2,3,4;当x=2时,y=1,3,4;当x=3时,y=1,2,4;当x=4时,y=1,2,3.
因此,这个试验的所有结果是(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
列举试验所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的,要弄清试验的结果,必须首先明确试验中的条件;
(2)根据日常生活经验,按照一定的顺序列举出所有可能的结果,可应用画树形图、列表等方法解决.
练一练
3.袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球,分别写出以下随机试验的条件和结果.
(1)从中任取1球;
(2)从中任取2球.
解:
(1)条件为:
从袋中任取1球.结果为:
红、白、黄、黑4种.
(2)条件为:
从袋中任取2球.若记(红,白)表示一次试验中,取出的是红球与白球,结果为:
(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)6种.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1.本节课的重点是了解概率的含义,了解频率与概率的区别与联系,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,难点是能列出一些简单试验的所有可能结果.
2.本节课要重点掌握的规律方法
(1)会判断事件的类型,见讲1.
(2)掌握利用频率估计概率的步骤,见讲2.
(3)会列举试验所有结果的方法,见讲3.
3.本节课的易错点有两个:
(1)混淆频率与概率概念,如讲2.
(2)列举试验结果时易出现重复或遗漏,如讲3.
课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组1 事件的分类
1.下列事件中,是随机事件的有( )
①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;
②若a为整数,则a+1为整数;
③发射一颗炮弹,命中目标;
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析:
选C 当a为整数时,a+1一定为整数,是必然事件,其余3个为随机事件.
2.从12个同类产品(其中10个是正品,2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是( )
A.3个都是正品B.至少有1个是次品
C.3个都是次品D.至少有1个是正品
解析:
选D 任意抽取3件的可能情况是:
3个正品;2个正品1个次品;1个正品2个次品.由于只有2个次品,不会有3个次品的情况.3种可能的结果中,都至少有1个正品,所以至少有1个是正品是必然发生的,即必然事件应该是“至少有1个是正品”.
3.在下列事件中,哪些是必然事件?
哪些是不可能事件?
哪些是随机事件?
①如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;
②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张,得到4号签;
③没有水分,种子发芽;
④某电话总机在60秒内接到15次传呼;
⑤在标准大气压下,水的温度达到50℃时沸腾;
⑥同性电荷,相互排斥.
解:
由实数运算性质知①恒成立,是必然事件;⑥由物理知识知同性电荷相斥是必然事件,①⑥是必然事件.没有水分,种子不会发芽;标准大气压下,水的温度达到50℃时不沸腾,③⑤是不可能事件.从1~6中取一张可能取出4,也可能取不到4;电话总机在60秒内可能接到15次传呼也可能不是15次.②④是随机事件.
题组2 随机事件的频率与概率
4.(2016·洛阳检测)下列说法正确的是( )
A.任何事件的概率总是在(0,1]之间
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,事件发生的频率一般会稳定于概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
解析:
选C 由概率与频率的有关概念知,C正确.
5.给出下列3种说法:
①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品;②作7次抛掷硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是
=
;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确说法的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解析:
选A 由频率与概率之间的联系与区别知,①②③均不正确.
6.从存放号码分别为1,2,3,…,10的卡片的盒里,有放回地取100次,每次取一张卡片,并记下号码,统计结果如下:
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到次数
17
8
5
7
6
9
18
9
12
9
取到号码为奇数的频率为________.
解析:
取到奇数号码的次数为58,故取到号码为奇数的频率为
=0.58.
答案:
0.58
7.一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下:
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数n
5544
9607
13520
17190
男婴数nA
2883
4970
6994
8892
(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数);
(2)这一地区男婴出生的频率是否稳定在一个常数上?
解:
(1)男婴出生的频率依次约为:
0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.
(2)各个频率均稳定在常数0.5173上.
8.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布:
成绩
人数
90分以上
43
80分~89分
182
70分~79分
260
60分~69分
90
50分~59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):
(1)90分以上;
(2)60分~69分;(3)60分以下.
解:
总人数为43+182+260+90+62+8=645.
修李老师的高等数学课的学生考试成绩在90分以上,
60分~69分,60分以下的频率分别为:
≈0.067,
≈0.140,
≈0.109.
∴用以上信息可以估计出王小慧得分的概率情况:
(1)“得90分以上”记为事件A,则P(A)=0.067.
(2)“得60分~69分”记为事件B,则P(B)=0.140.
(3)得“60分以下”记为事件C,则P(C)=0.109.
题组3 试验结果分析
9.从含有两个正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.
(1)写出这个试验的所有可能结果;
(2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”,写出事件A对应的结果.
解:
(1)试验所有结果:
a1,a2;a1,b1;a2,b1;a2,a1;b1,a1;b1,a2.共6种.
(2)事件A对应的结果为:
a1,b1;a2,b1;b1,a1;b1,a2.
10.指出下列试验的结果:
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球;
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差.
解:
(1)结果:
红球,白球;红球,黑球;白球,黑球.
(2)结果:
1-3=-2,3-1=2,1-6=-5,6-1=5,
1-10=-9,10-1=9,3-6=-3,6-3=3,
3-10=-7,10-3=7,6-10=-4,10-6=4.
即试验的结果为:
-2,2,-5,5,-9,9,-3,3,-7,7,-4,4.
[能力提升综合练]
1.根据山东省教育研究机构的统计资料,今在校中学生近视率约为37.4%,某眼镜商要到一中学给学生配镜,若已知该校学生总数为600人,则该眼镜商应带眼镜的数目为( )
A.374副B.224.4副
C.不少于225副D.不多于225副
解析:
选C 根据概率相关知识,该校近视生人数约为600×37.4%=224.4,结合实际情况,眼镜商应带眼镜数不少于225副,选C.
2.某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的( )
A.概率为
B.频率为
C.频率为6D.概率接近0.6
解析:
选B 事件A={正面朝上}的概率为
,因为试验的次数较少,所以事件的频率为
,与概率值相差太大,并不接近.故选B.
3.(2016·深圳调研)“一名同学一次掷出3枚骰子,3枚全是6点”的事件是( )
A.不可能事件
B.必然事件
C.可能性较大的随机事件
D.可能性较小的随机事件
解析:
选D 掷出的3枚骰子全是6点,可能发生,但发生的可能性较小.
4.“连续掷两枚质地均匀的骰子,记录朝上的点数”,该试验的结果共有( )
A.6种B.12种
C.24种D.36种
解析:
选D 试验的全部结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3)(6,4),(6,5),(6,6),共36种.
5.(2016·济南检测)如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同),从中任取一球,取了10次有9个白球,估计袋中数量多的是________.
解析:
取了10次有9个白球,则取出白球的频率是
,估计其概率约是
,那么取出黑球的概率约是
,因为取出白球的概率大于取出黑球的概率,所以估计袋中数量多的是白球.
答案:
白球
6.在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据,将数据分组如下表:
分组
频数
[1.30,1.34)
4
[1.34,1.38)
25
[1.38,1.42)
30
[1.42,1.46)
29
[1.46,1.50)
10
[1.50,1.54]
2
合计
100
(1)请作出频率分布表,并画出频率分布直方图;
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少?
解:
(1)频率分布表如下表.
分组
频数
频率
[1.30,1.34)
4
0.04
[1.34,1.38)
25
0.25
[1.38,1.42)
30
0.30
[1.42,1.46)
29
0.29
[1.46,1.50)
10
0.10
[1.50,1.54]
2
0.02
合计
100
1.00
频率分布直方图如图所示.
(2)纤度落在[1.38,1.50)中的频数是30+29+10=69,
则纤度落在[1.38,1.50)中的频率是
=0.69,
所以估计纤度落在[1.38,1.50)中的概率为0.69.
纤度小于1.40的频数是4+25+
×30=44,
则纤度小于1.40的频率是
=0.44,
所以估计纤度小于1.40的概率是0.44.