小学奥数盈亏问题精讲.docx

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小学奥数盈亏问题精讲

盈亏问题

“老猴子给小猴子分梨。

每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。

有几只小猴子和多少个梨？

”

这道应用题是已知两种分配的方法，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的数量及被分配的总量。

这样的应用题，通常叫做盈亏问题（有余时称盈，不足时称亏）。

解盈亏问题，常常采用比较的方法。

典型例题

例【1】老猴子给小猴子分梨。

每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。

有几只小猴子和多少个梨？

分析每只小猴子分6个梨则多12个梨；每只小猴子分7个梨就少11个梨，这说明小猴子的总只数为：

12＋11＝23（只），也就是说：

不足的个数＋多余的个数＝小猴子的只数

解小猴子的只数为：

12＋11＝23（只）

梨子的个数为：

23×6＋12＝150（个）或：

23×7－11＝150（个）

答：

有23只小猴子，150个梨。

例【2】丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。

如果每人分3个，多16个；如果每人分5个，那么就差4个。

有多少个小朋友？

有多少个苹果？

分析先比较两种分法中各个量之间的关系：

每人分3个，余16个苹果。

每人分5个，还差4个苹果。

这两次分苹果，每人相差的个数为：

5－3＝2（个）。

第1次余16个，第2次少4个，那么第2次与第1次总共相差苹果的个数为：

4＋16＝20（个）。

每人相差2个，结果总数就相差20个。

解有小朋友的人数为：

20÷2＝10（人）

有苹果的个数为：

3×10＋16＝46（个）或5×10－4＝46（个）

综合算式：

（4＋16）÷（5－3）＝10（人）

3×10＋16＝46（个）

答：

这个幼儿园有10位小朋友，苹果的总数是46个。

例【3】北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。

如果没车坐65人，则有15人不能乘车。

如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。

一共有几辆汽车？

有多少学生？

分析每车多坐5人，也就是每车坐70人，恰好多余了一辆车，也就是还差一辆车的人，即70人。

因此，问题转化为：

如果每车坐65人，则有15人不能乘车。

如果每车坐70人，则还差70人。

求有多少人和多少辆汽车。

解（15＋70）÷（70－65）＝17（辆）

65×17＋15＝1120（人）

答：

一共有17辆汽车，1120位学生。

例【4】小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。

如果小明和小妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨。

如果小明1人分6个梨，其余每人分4个梨，又差12个梨。

小明家有多少人？

这筐梨子有多少个？

分析第一种分法是小明、小妹各4个梨，其余每人2个梨，多余4个梨。

假设小明、小妹也分2个梨，那么会多多少个梨呢？

很容易想，多出：

2×2＋4＝8（各）。

第二种分法是小明一人得6个梨，其余每人4个梨，差12个梨。

假设小明也只分4个，那么就只差：

12－2＝10（个）。

解小明家的人数为：

2×2＋4＋（12－2）＝18（个）

18÷2＝9（人）

梨子的个数为：

4×2＋2×（9－2）＋4＝26（个）

或：

6＋4×（9－1）－12－26（个）

答：

小明家有9个人，这筐梨有26个。

例【5】同学们暑假前到图书馆借书，如果每人借4本，则最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，这些图书恰好借完，书的总数是多少？

解第二种借法中如果每人借3本，则余下：

（8－3）×2＝10（本）；

两种借法每人相差：

4－3＝1（本）；

两种借法相差本数：

10＋2＝12（本）

借书的总人数：

12÷1＝12（人）；

书的总数：

4×12－2＝46（本）

小结通过以上例题的分析解答，我们不难看出：

一般地，在盈亏问题中：

（盈数＋亏数）÷两次差＝参加分配的数

总份数=总差÷个差

（1）一盈一亏:

总差=盈+亏

（2）两盈:

总差=大盈-小盈

（3）两亏:

总差=大亏-小亏

（4）一盈一正好:

总差=盈

（5）一亏一正好:

总差=亏

练习（附答案）

1三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？

要搬的砖共有多少块？

　　分析比较两种搬砖法中各个量之间的关系：

　　每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5-4=1（块）。

　　第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：

7+2=9（块）

　　每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）。

　　共有砖：

4×9＋7＝43（块）。

　　解：

（7+2）÷（5-4）=9（人）

　　4×9+7=43（块）或5×9-2=43（块）

　　答：

共有少先队员9人，砖的总数是43块。

　　如果把例1中的“少2块砖”改为“多1块砖”，你能计算出有多少少先队员，有多少块砖吗？

　　由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不同搬法产生的总差数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对这题来说就是搬砖的人数.

　　2妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？

计划吃多少天？

　　分析题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。

　　解：

（48+8）÷（6-4）

　　=56÷2

　　=28（天）

　　6×28-8=160（个）或4×28＋48=160（个） 

　　答：

妈妈买回苹果160个，计划吃28天。

　　如果条件“每天吃4个，多出48个”不变，另一条件改为“每天吃6个，则还多出8个”，问苹果应该有多少个，计划吃多少天？

　　分析改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃2个条件没变，苹果总数由原来多出48个变为多出8个.那么所需苹果总数要相差：

48-8=40（个）

　　解：

（48-8）÷（6-4）

　　=40÷2

　　＝20（天）

　　4×20＋48=128（个）或6×20＋8=128（个）

　　答：

有苹果128个，计划吃20天.

　　3学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？

由家到学校的路程是多少？

　　分析小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10=600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50×8=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50＝10（米），就可以多走600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间。

　　解：

①10分种走多少米？

60×10＝600（米）

　　②8分种走多少米？

50×8＝400（米）

　　③需要多长时间？

　　（600+400）÷（60-50）=20（分钟）

　　④由家到校的路程：

　　60×（20-10）=600（米）

　　或：

50×（20-8）=600（米）

　　答：

小明7点40分离家去上学刚好8时到校；小明的家离校有600米。

　　4学校为新生分配宿舍.每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间.问宿舍有多少间？

新生有多少人？

　　分析每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是5×3＝15（人）.由此可见，每一个房间增加5-3=2（人）.两次安排人数总共相差23+15＝38（人），因此，房间总数是：

　　38÷2=19（间），学生总数是：

3×19+23＝80（人），或者5×19-5×3=80（人）。

　　解：

（23+5×3）÷（5-3）

　　＝（23＋15）÷2

　　＝38÷2

　　＝19（间）

　　3×19+23=80（人）或5×19-5×3＝80（人）。

　　答：

有19间宿舍，新生有80人。

　　5少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？

　　分析这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：

如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵。

如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6-4）×2＝4（棵）.因此，原问题就转化为：

如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？

　　解：

[3+（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人）

　　5×7+3＝38（棵）

　　或6×7-4＝38（棵）

　　答：

有7个少先队员，一共种38棵树。

　　6红山小学学生乘汽车到香山春游.如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？

　　分析每车多坐5人，实际是每车可坐5+65＝70（人），恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人.因而原问题转化为：

如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？

　　解：

（5+5+65）÷5=15（辆）

　　65×15＋5=980（人）

　　或（5＋65）×（15-1）=980（人）

　　答：

一共有15辆汽车，980名学生。