九年级数学上册244解直角三角形专项练习2新版华东师大版.docx

九年级数学上册244解直角三角形专项练习2新版华东师大版.docx

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九年级数学上册244解直角三角形专项练习2新版华东师大版

2019-2020年九年级数学上册24.4解直角三角形专项练习2新版华东师大版

解答题

A组

1.（2011年黄冈中考调研六）池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为，测得碑顶在水中倒影的俯角为（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，）.

解：

如图，DE表示水面，A表示观测点，

B为碑顶，在水中的倒影，由题意：

设,则

在Rt△ABC中，

在Rt△AC中，

由

、

得

米

答：

水面到碑顶的高度4.41米.

2.（2011年江苏盐都中考模拟）（本题10分）青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援.如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西26°方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄C在北偏西52°方向.

（1）求B处到村庄C的距离；

（2）求村庄C到该公路的距离.（结果精确到0.1km）

（参考数据：

，，

，）

解：

过作，交于.

（1），，，，即处到村庄的距离为70km.（4分）

（2）在中，

（5分）.

即村庄到该公路的距离约为55.2km.（1分）

3.（2011年北京四中中考模拟18）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.

（1）该城市是否会受到这次台风的影响?

请说明理由.

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?

解：

（1）如图，由点A作AD⊥BC，垂足为D.∵AB＝220，∠B＝30°∴AD＝110（千米）.由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.

（2）由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.则AE＝AF＝160.当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得：

.∴EF＝60（千米）.∵该台风中心以15千米／时的速度移动.∴这次台风影响该城市的持续时间为（小时）.

（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－＝6.5（级）.

4.（2011年浙江省杭州市模拟23）

为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛北偏西并距该岛海里的处待命.位于该岛正西方向处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰（如图9所示），便发出紧急求救信号.我护航舰接警后，立即沿航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置处？

（结果精确到个位.参考数据：

）

答案：

解：

由图可知，

2分

作于（如图），

在中，

∴

4分

在中，

∴

6分

∴8分

∴（分钟）9分

答：

我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置10分

5.（2011年北京四中模拟26）

如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到C处后，又测得该灯塔在北偏东30°方向，渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁危险？

请通过计算说明理由（参考数据1.732）.

答案：

作AD⊥BC交BC延长线于D，设AD=，在Rt△ACD中，

∠CAD=30°∴CD=.在Rt△ABD中，∠ABD=30°

∴BD=∵BC=8

∴有触礁危险.

6.（北京四中模拟）

李攀家居住在某居民小区，在距他房前24米的地方有一幢26层的电梯公寓，刘卉家就住在这幢公寓里，刘卉的奶奶每天上午都能在她家的阳台上晒到太阳.已知太阳光与水平线的夹角为32°，李攀家所住的楼高40米，电梯公寓每层高2.5米，问刘卉家住的楼层至少是几楼？

（计算结果保留整数，参考数据

）

解：

过E作EF⊥AB于F∵AB⊥BC，DC⊥BC∴四边形BCEF是矩形，EF=BC=24，∠AEF=32°∵tan∠AEF=∴AF=EFtan∠AEF=24×=15

∴EC=BF=40-15=25，25÷25=10，故刘卉家住的楼层至少是10层.

7.（2011湖北省天门市一模）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.

（参考数据：

）

∵OD⊥AD

∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90°

∵∠OAC=32°，∠AOD=40°

∴∠CAD=18°

∴i==tan18°=1：

3

在Rt△OAB中，=tan32°

∴OB=AB·tan32°=2×=1.24

∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04（m）

8.（2011年江苏连云港）（本小题满分8分）

如图，大楼的高为16米，远处有一塔，小李在楼底处测得塔顶处的仰角为，在楼顶处测得塔顶处的仰角为.其中两点分别位于两点正下方，且两点在同一水平线上，求塔的高度.

解：

作于，

可得和矩形，

则有

，………………………………（2分）

在中，

…………………（4分）

在中，

，……………（5分）

，解得：

……………（7分）

所以塔的高度为米.……………8分

9.（2011年浙江仙居）（10分）如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到滨海路的距离.（结果保留根号）

解：

过点P作PC⊥AB，垂足为C.……………1分

由题意,得∠PAB＝30°，∠PBC＝60°.

∵∠PBC是△APB的一个外角，∴∠APB＝∠PBC-∠PAB=30°.…………………3分

∴∠PAB＝∠APB.…………………4分

故AB=PB=400米.…………………………6分

在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，∠PBC＝60°，PB=400，

∴PC=PB…………………………8分

=400×=（米）.…………………10分

B组

1.（2011浙江慈吉模拟）在数学活动课上，九年级

（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：

（1）在大树前的平地上选择一点，测得由点A看大树顶端的仰角为35°；

（2）在点和大树之间选择一点（、、在同一直线上），测得由点

看大树顶端的仰角恰好为45°；

（3）量出、两点间的距离为4.5米.

请你根据以上数据求出大树的高度.（结果保留3个有效数字）

答案：

∠CDB=90°,∠CBD=45°

CD=BD

AB=4.5

AD=BD+4.5

设高CD=

则BD=，AD=+4.5

∠CAD=35°

tan∠CAD=tan35°=

整理后得≈10.5

故大树CD的高约为10.5米

2.（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度.

答案：

解：

过点A作直线BC的垂线，垂足为D.

则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米

在Rt△ACD中，tan∠CAD=，

∴AD=

在Rt△ABD中，tan∠BAD=，

∴BD=AD·tan30°=80

∴BC=CD－BD=240－80=160

答：

这栋大楼的高为160米.

3.（2011年杭州市西湖区模拟）（本题6分）如图，在梯形中，∥，

，,，，求梯形的面积.

答案：

（本题6分）

在梯形ABCD中，AB∥CD，

∴∠1＝∠2.

∵∠ACB＝∠D＝90°.

∴∠3＝∠B.

∴……………………………………………1分

在Rt△ACD中，CD＝4，

∴………………………………………………………………3分

∴

.在Rt△ACB中，，

∴，∴……………………………………………5分

∴

………………………………………6分

4.（2011年安徽省巢湖市七中模拟）.下图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？

（参考数据：

≈1.414，≈1.732）

解：

在Rt中，∵，，∴AB==10（米）…2分

在Rt中，∵∴=米……4分

则DA=DB-AB=≈10×1.732=7.32米.……5分

∵3+DA，所以离原坡角10米的建筑物应拆除.……6分

答：

离原坡角10米的建筑物应拆除.……7分

5.（2011安徽中考模拟）某风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为m（BC所在地面为水平面）.

（1）改善后的台阶坡面会加长多少？

（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？

（结果精确到，参考数据：

，）

解：

（1）如图，在中，

（m）.……2分

在中，

（m），……………4分

m.………………………………5分

即改善后的台阶坡面会加长m.

（2）如图，在中，

（m）.………6分

在中，

（m），……………………………8分

（m）.………………………9分

即改善后的台阶多占.长的一段水平地面.……………………10分

6.（浙江杭州金山学校2011模拟）（8分）（根据九年级数学一诊试题改编）

如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60°方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45°方向上的B处.求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）.

解：

过点P作PC⊥AB，垂足为C.∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=60……2分

在Rt△APC中，cos∠APC=，

PC=PA·cos∠APC=30…………………………………2分

在Rt△PCB中，………………………1分

……………………………2分

答：

当渔船位于P南偏东45°方向时，渔船与P的距离是30海里.

7.路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌.

有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶

端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，

而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），

已知BC=5米，正方形边长为3米，DE=4米.

（1）求电线杆落在广告牌上的影长；

（2）求电线杆的高度（精确到0.1米）.

解：

（1）电线杆落在广告牌上的影长为3+1.5=4.5（米）…………（2分）

（2）作GH⊥AB于H，依题意得：

HG=BC+0.5CD=5+1.5=6.5…………（3分）

因为：

DF=3,DE=4.…………（4分）

所以：

AH==4.875…………（5分）

所以：

电线杆的高度为:

AB=AH+BH=AH+DF=3+4.875=7.875≈7.9.…………（6分）

答：

（1）广告牌上的影长为4.5米；

（2）电线杆的高度为7.9米.…………（7分）

2019-2020年九年级数学上册24.4解直角三角形坡度坡角同步练习新版华东师大版

◆随堂检测

1、某斜坡的坡度为i=1：

，则该斜坡的坡角为______度．

2、以下对坡度的描述正确的是（）．

A．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数;

B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比;

C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比;

D．坡度是指倾斜角的度数

3、某人沿坡度为i=1：

的山路行了20m，则该人升高了（）．

A．20mB．

m

4、斜坡长为100m，它的垂直高度为60m，则坡度i等于（）．

A．B．C．1：

D．1：

0.75

5、在坡度为1：

1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（）．

A．4mB．2mC．3mD．4m

◆典例分析

水库拦水坝的横断面为梯形ABCD，背水坡CD的坡比i=1：

，已知背水坡的坡长CD=24m，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度．

解：

过D作DE⊥BC于E．

∵该斜边的坡度为1：

，

则tanα=，∴α=30°，

在Rt△DCE中，DE⊥BC，DC=24m．

∴∠DCE=30°，∴DE=12（m）．

故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m．

点评：

本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：

坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可.

◆课下作业

●拓展提高

1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）．（可能用到的数据≈1.41，≈1.73）

1题图2题图

2、如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：

2，则斜坡AB的长为_______米．

3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）．

3题图4题图

4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：

3，坡高BC为2米，则斜坡AB的长是（）

A．2米B．2米C．4米D．6米

5、为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：

0.6的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加了0.6m，如图所示，求：

（1）渠面宽EF；

（2）修400m长的渠道需挖的土方数．

6、一勘测人员从A点出发，沿坡角为30°的坡面以5km/h的速度行到点D，用了10min，然后沿坡角为45°的坡面以2.5km/h的速度到达山顶C，用了12min，求山高及A，B两点间的距离（精确到0.1km）．

7、某村计划开挖一条长为1600m的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8m，下底宽1.2m，坡度为1：

1．实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土方20m3，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米．（精确到0.1m3）

●体验中考

1、（xx年衢州）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据（单位：

米），则该坡道倾斜角α的正切值是（）

A．B．4

C．D．

2、（xx年台州市）如图，有一段斜坡长为10米，坡角，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．

（1）求坡高;

（2）求斜坡新起点与原起点的距离（精确到0.1米）．

3、（xx年山西省）有一水库大坝的横截面是梯形，为水库的水面，点在上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡的长为12米，迎水坡上的长为2米，

求水深．（精确到0.1米，）

参考答案

1．30°点拨：

坡度是斜边铅直高度与水平宽度的比，坡角的正切值等于坡度．

2．B点拨：

理解概念很关键．

3．C点拨：

tanα=

=．

∴∠α=60°，∴h=20×sin60°=10m．

4．C点拨：

由题意可知，该坡的水平宽度为80，

∴tanα==．

5．B点拨：

坡度是指铅直高度与水平宽度的比

拓展提高：

1、2.3

2、6

3、5.5

4、B

5、

（1）过B作BM⊥AD．

∵i=1：

0.6，BM=1.2m，

∴AM=0.72m．

再过A作AN⊥EF，同理得EN=0.36m．

∴EF=2+2×0.72+2×0.36=4.16m．

（2）根据题意V土=（AD+BC）×BM×400=（2+3.44）×1.2×400=1305.6m3．

故渠面宽EF为4.16m，修400m长的渠道需挖1305.6m3的土．

6、过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，

由题意可知，AD≈0.83km，

在Rt△ADE中，

AD=0.83km，∠DAE=30°，

∴AE=0.415km，DE=0.415km．

在Rt△DCF中，DC=0.5km，

∠CDF=45°，∴DF=CF=0.25≈0.35km，

∴AB=AE+EB=AE+DF=0.415+0.35≈1.1km，

BC=CF+BF=CF+DE=0.35+0.415≈0.8km，

故山高为0.8km，A，B两点之间的距离为1.1km．

7、如图．

过A作AM⊥CD，垂足为M．

∵坡度为1：

1，渠道深为0.8m．

∴DM=0.8m，即CD=1.2+2×0.8=2.8m．

挖渠道共挖出的土方数为（AB+CD）·AM×1600=2560m3．

设原计划每天挖xm3的土，则实际每天挖（x+20）m3，

根据题意得+4．

解得x≈103.5m3，x≈-123.5m3（不符合题意，舍去）．

经检验x=103.5m3是原方程的根．

故原计划每天挖土约103.5m3．

体验中考：

1、A

2、解：

（1）在中，

（米）．

（2）在中，

（米）；

在中，（米），

（米）．

答：

坡高2.1米，斜坡新起点与原起点的距离为13.5米

3、解：

分别过作于于过作于则四边形为矩形．

∴

在中，

∴

在中，

∴

答：

水深约为6.7米．