初一数学 第15讲角的概念及计算教案.docx

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初一数学第15讲角的概念及计算教案

角的概念及计算

适用学科

初中数学

适用年级

初中一年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

120

知识点

1、角的计算2、余角、补角

3、方位角

教学目标

1、掌握角的两种定义形式和表示方法．

2、认识度、分、秒，会进行度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算．

3、在具体情境中了解余角与补角．懂得等角的余角相等，等角的补角相等．

教学重点

认识度、分、秒，会进行度、分、秒间单位互化及角的和、差、倍、分计算．

教学难点

角的计算综合题解答

教学过程

一、课堂导入

问题：

观察时钟的两个指针及其它图形涂红色的部分所形成的图形，思考有什么共同的特点。

二、复习预习

直线射线线段的表示

（1）直线、射线、线段的表示方法

①直线：

用一个小写字母表示，如：

直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB．

②射线：

是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：

射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：

射线OA．注意：

用两个字母表示时，端点的字母放在前边．

③线段：

线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：

线段AB（或线段BA）．

（2）点与直线的位置关系：

①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外.

三、知识讲解

考点1

角

（1）角的定义：

有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．

（2）角的表示方法：

角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．

（3）平角、周角：

角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．

（4）角的度量：

度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．

考点2

钟面角

（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．

（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．

（3）钟面上的路程问题分针：

60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：

360°÷60=6°

时针：

12小时转一圈，每分钟转动的角度为：

360°÷12÷60=0.5°．

考点3

方向角

（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．

（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）

（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．

考点4

角的计算

（1）角的和差倍分

①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：

∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：

∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．

（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．

（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：

度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：

度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．

考点5

余角和补角

（1）余角：

如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．

（2）补角：

如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．

（3）性质：

等角的补角相等．等角的余角相等．

（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．

四、例题精析

例1

【题干】上午9时30分，时钟的时针和分针所成的角为（）

A.90°

B.100°

C.105°

D.120°

【答案】C

【解析】解：

时针每分钟旋转

°，分针每分钟旋转6°．

在9时，时针和分针相差270°，时针在分针前，从9时到9时30分，时针共旋转30×

=15°，分针共旋转30×6°=180°，则在9时30分，时针在分针前270°+15°-180°=105°．

故选C．

例2

【题干】∠AOB=45°，∠BOC=75°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，则∠DOE=（）

A.60°

B.75°

C.60°或15°

D.70°或15°

【答案】C

【解析】此题要分两种情况①∠AOB在∠BOC内部，②①∠AOB在∠BOC外部．

解：

如图1，

∵∠AOB=45°，

∴∠BOD=22.5°，

∵∠BOC=75°，

∴∠BOE=37.5°，

∴∠DOE=22.5°+37.5°=60°；

如图2，∵∠AOB=45°，

∴∠BOD=22.5°，

∵∠BOC=75°，

∴∠BOE=37.5°，

∴∠DOE=37.5°-22.5°=15°．

故选：

C．

例3

【题干】如图所示，设相邻两个角∠AOB，∠BOC的平分线分别为OE，OF，且∠EOF是直角，你能说明OA，OC为什么成一条直线吗？

试试看吧!

【答案】解：

∵OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，且∠EOF是直角，

∴∠AOE=∠BOE，∠COF=∠BOF，∠EOF=90°，

∴（∠AOE+∠EOB）+（∠COF+∠BOF）=2×90°=180°，

即∠AOB+∠BOC=180°，

∴∠AOC=180°，

∴AO、OC成一直线（即A，O，C三点共线）．  

【解析】判断OA，OC是否成一条直线，只要求∠AOC，看是否是180°．

例4

【题干】如图，A岛在B岛的北偏东30°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，从A岛看B、C两岛的视角∠BAC=70°，那么A岛在C岛的什么方向上？

【答案】解：

由题意可知∠DBC=80°，∠DBA=30°，

∴∠ABC=50°，

∵∠BAC=70°，

∴∠ACB=180°-50°-70°=60°，

又∵DB∥EC，

∴∠ECB=180°-∠DBC=100°，

∴∠ACE=∠ECB-∠ACB=100°-60°=40°．

即A岛在C岛的北偏西40°方向．  

【解析】根据方位角的概念，结合三角形的内角和定理和平行线的性质求解．

例5

【题干】如图，直线AB、CD、EF交于点O，∠DOB是它的余角的2倍，∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，求∠EOG的度数．

【答案】解：

设∠DOB=x，则其余角为：

x，∴x+

x=90°，解得：

x=60°，

根据∠AOE=2∠DOF，∵∠AOE=∠BOF（对顶角相等），∴3∠DOF=∠DOB=60°，

故∠DOF=20°，∠BOF=40°，

∵有OG⊥OA，

∴∠EOG=90°-∠BOF=50°．

故∠EOG的度数是50°． 

【解析】设∠DOB=x，则其余角为：

x，先解出x，然后根据∠AOE=2∠DOF，且有OG⊥OA，表示出∠EOG即可求解．

例6

【题干】一个角比它的余角大18°22′46″，则这个角的补角的度数为（）

A.35°48′37″

B.144°11′23″

C.125°48′37″

D.36°11′23″

【答案】C

【解析】解：

设这个角为x，

则x-（90°-x）=18°22′46″，

解得x=54°11′23″，

这个角的补角的度数为180°-54°11′23″=125°48′37″．

故选：

C

例7

【题干】下列说法错误的是（）

A.角的大小与角的边的长短无关

B.角的大小和它们的度数大小是一致的

C.角的平分线是一条直线

D.如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB的内部

【答案】C

【解析】根据角的有关内容（角的大小和角的两边的长短无关，只和角的度数有关，角的平分线是从角的顶点出发的一条射线）判断即可．

解：

A、角的大小与角的边的长短无关，正确，故本选项错误；

B、角的大小和它们的度数大小是一致的，正确，故本选项错误；

C、角的平分线是从角的顶点出发的一条射线，错误，故本选项正确；

D、如果C点在∠AOB的内部，那么射线OC上所有的点都在∠AOB的内部，正确，故本选项错误；

故选C．

课程小结

1.角的定义：

有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。

2.角的表示方法：

角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示。

3.平角、周角的定义：

角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角。

4.角的度量：

度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″。