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相交线垂直.docx

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相交线垂直

相交线

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

●掌握两条直线相交的情形，了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握“对顶角相等”的结论；

●理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，理解并能运用“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论，理解点到直线的距离的概念；

●了解两条直线被第三条直线所截的情形，掌握同位角、内错角、同旁内角的概念。

重点难点：

●重点：

垂线的概念，理解与相交线、平行线有关的角的知识，因为直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的．

●难点：

推理能力的培养，在本章，不仅要求通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，还要求“说理”和“简单推理”，把它作为探究结论的自然延续。

学习策略：

●通过动手观察、操作、推断、交流等数学活动，了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角，理解对顶角相等，并能运用它解决一些问题。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）角的定义：

有　　　　　　　的两条　　　　　　　组成的图形叫做角.

（二）1平角＝　　　°，1周角＝　　　°

（三）如果两个角的和等于　　角，那么这两个角互为　　　角，即其中一个角是另一个角的余角。

如果两个角和等于

　　　　　角，那么这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的　　　　　。

（四）等角的补角　　　　　；等角的余角　　　　　。

（五）当两条不同的直线只有一个公共点时，我们就称这两条直线　　　　　，这个公共点叫做它们的　　　　　。

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID：

#tbjx5#225135。

知识点一：

对顶角、邻补角概念及性质

（一）对顶角的概念

定义1：

两条直线相交所构成的　　　个角中，有　　　　　　但没有　　　

　　　的两个角是对顶角。

如图1，∠1的两边是　　　和　　　，∠2的两边是　　

　和　　　，所以∠1和∠2是　　　　　　，∠1和∠3有一边　　　是公共的，所以∠1和∠3不是对顶角。

定义2：

一个角的两边分别是另一个角的两边的　　　　　　　　　，这两个角是对顶角，如图1，∠1的两边OA和OC分别是∠2的两边　　　和　　　的反向延长线，所以∠1和∠2是　　　　　　。

要点诠释：

（1）判定两个角是否是对顶角，不但要看这两个角是否是两条直线　　　　　所得到的，还要看这两个角是不是有而没有，符合这两条件时，才能确定这两个角是对顶角，对顶角是的，是具有特殊位置关系的两个角。

（2）两条直线相交所构成的四个角中，共有对对顶角，如图1中，∠1和、∠3和。

（二）邻补角的概念

定义1：

两条直线相交所构成的四个角中，有且有的两个角是邻补角。

如图2，∠1与∠2有公共顶点，有一条公共边，所以∠1和

是邻补角。

定义2：

邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条组成的两个角，如图2中的∠1和。

要点诠释：

（1）邻补角的“邻”就是“相邻”，就是它们有一条“”，“补”就是“”，就是这两角的另一条边在共同一条上。

（2）判定两个角是否是邻补角，关键要看这两个角的，其中一边是，另外两边互为，如图2，∠1和∠2公共边是，OA和互为反向延长线。

（3）邻补角是的，是具有特殊位置关系的两个的角。

也就是说，邻补角一定是的两个角，互补的两个角是邻补角。

（4）两条直线相交所构成的四个角中，有对邻补角。

如图1，∠1和，∠1和，∠3和∠2，∠2和。

（三）对顶角、邻补角的性质

邻补角的性质：

邻补角；对顶角的性质：

对顶角。

要点诠释：

如图1，∠1与∠3互补且∠1与∠3是邻补角，所以得到邻补角的性质：

邻补角。

如图1，∠1与∠3，∠2与∠3，即∠3的补角是与，根据“同角的补角相等”可得出，这样得到对顶角的性质：

对顶角。

上面这个结论，用推理格式可写成：

∵∠1与∠3互补，∠2与∠3互补（），

∴∠1＝∠2（）

（四）归纳小结

角的名称

特征

性质

相同点

不同点

对顶角

①两条直线相交形成的角

②有一；

③没有

对顶角

①都是两条直线相交而成的；

②都有一；

③都是出现的

①有无公共边

②两直线相交时，对顶角只有对;邻补角有　_____个

邻补角

①两条直线相交而成；

②有一个；

③有一条

邻补角

知识点二：

垂直及相关概念

（一）垂线的概念

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做。

如图3，直线AB、CD互相垂直，记作或，读作“AB垂直于CD”。

若垂足为O，记作“AB⊥CD，垂足为O”。

要点诠释：

（1）两条直线互相垂直是两条直线的特殊情况，特殊在交角都为______，垂线是其中一条直线对另一条直线的称呼，如图3，AB的垂线是CD，反之CD的垂线是______。

（2）如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互相。

（3）根据两条直线互相垂直的定义可知，两条直线互相垂直，则四个交角为直角，反之，若两条直线交角为直角，则这两条直线，这个推理过程可以写成（如图3）：

∵AB⊥CD

∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠DOA＝90°

反之，∵∠AOC＝90°，

∴AB⊥CD（垂直的定义）。

（二）垂线的画法

过一点画已知直线的垂线，让直角三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的。

要点诠释：

（1）过直线上一点或直线外一点能画已知直线的，并且只能画出条垂线。

（2）如过一点画射线或线段的垂线时，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线反向延长线上或在线段的延长线上，如图4。

（三）垂线的性质

性质1：

过一点有且只有条直线与已知直线垂直。

性质2：

直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，最短。

简称：

。

垂线段的定义：

如图5，P为直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，线段PO叫做

，A、B为直线l上的两点，线段与叫做斜线段。

要点诠释：

（1）画已知直线的垂线可以画出条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出条。

（2）直线外一点到这条直线的垂线段只有条，而斜线段有条。

知识点三：

点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的的长度，叫做点到直线的距离，如图5，线段PO的长度，叫做点P到直线l的距离。

要点诠释：

垂线是，垂线段特指一条，点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，是有单位的。

知识点四：

同位角、内错角、同旁内角

如图6，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成个角，简称为“_____”。

（1）∠1与∠5，这两个角分别在AB、CD的上方，并且在EF的右侧，像这样位置相同的一对角叫做。

例如，∠2与，∠3与，∠4与都是同位角。

（2）∠3与∠5，这两个角都在AB、CD之间，并且∠3在EF的左侧，∠5在EF的右侧，像这样的一对角叫做。

例如，∠4与是内错角。

（3）∠3和∠6在直线AB、CD之间，并且在EF的同一旁，像这样的一对角叫做。

例如，∠4与是同旁内角。

要点诠释：

（1）同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的个角，是出现的。

（2）这三类角必须是由两条直线被第三条直线所截形成的。

（3）同位角特征：

截线旁；被截两线的同方向。

内错角特征：

截线旁；被截两线之间。

同旁内角特征：

截线旁；被截两线之间。

（4）这三类角是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，即∠1、∠2、∠3、∠4中一个与∠5、∠6、∠7、∠8中一个，它们有可能成为同位角、内错角和同旁内角。

（5）两条直线被第三条直线截成的八个角中共有对同位角，对内错角，

对同旁内角。

（6）如何巧妙识别三线八角，下面介绍几种方法：

①巧记口诀来识别

可按以下口诀来识别：

“一看三线，二找截线，三查位置来分辨”。

所谓“看三线”：

因为这三种角是由两条直线被第三条直线所截而成的，所以，一组同位角（或内错解、或同旁内角）的四条边应分别在这三条直线上，否则就一定不是这三种角。

所谓“找截线”：

既然一对角的四条边分别在这三条直线上，因此必定各有一条边共线，这条直线就是截线。

“再以位置来分辨”：

同位角一定在截线的“同旁”，被截线的“同侧”；内错角一定在两条被截线的“内部”，在截线的“异侧”；而同旁内角一定在截线的“同旁”，两条被截线的“内部。

”

②借助方位来识别

根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别。

如图7，在这个图形中，具有“左上”、“左下”、“右上”或“右下”这样关系的一组角是“同位角”；具有“左下”和“右上”或具有“右下”或“左上”关系的一组解是“内错角”；具有“左下”和“左上”或具有“右下”和“右上”的一组关系的角是“同旁内角”。

同学们可以认真结合图形揣摩体会一下。

经典例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

若有其它补充可填在右栏空白处。

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类型一：

概念辨析

例1．下列语句：

①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。

②一条直线的垂线有无数条。

③在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。

④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。

其中正确的是　　　　　　　　　　。

思路点拨：

解此题必须严格按照垂线的定义“___________________”及垂线的性质“过平面内任意一点，即过直线上或直线外任意一点，____________________”来作判断。

答案：

总结升华：

举一反三：

【变式1】判断正误：

（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角。

（）

（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。

（）

（3）有一条公共边的两个角是邻补角。

（）

（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补。

（）

（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角。

（）

（6）两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直。

（）

（7）若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直。

（）

（8）一条直线的垂线只能画一条。

（）

（9）平面内，过线段AB外一点有且只有一条直线与AB垂直。

（）

（10）点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离。

（）

解析：

【变式2】下列各说法中正确的是（　　）

（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；

（2）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；

（3）两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；

（4）两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直。

A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个

答案：

例2．如图9，找出图中的同位角、内错角、同旁内角。

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式】如图10，直线AB、CD、EF相交于点O，写出∠AOC、∠EOB的邻补角。

解析：

类型二：

对顶角、邻补角的有关计算

例3．如图11,直线a、b相交，∠1=2∠2，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数。

思路点拨：

本题考查邻补角和对顶角的计算，要运用邻补角和对顶角的和

　　　　。

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式】若∠α的邻补角为70°，则∠α等于（　　）

A．20°　B．30°　C．110°　　D．130°

答案：

例4．如图12，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，

求∠BOE与∠AOC的度数。

思路点拨：

利用的定义，及同一条直线上的三点组成一个平角可以帮助我们求解图中某些角的大小。

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】如图13。

AO⊥OC。

BO⊥DO。

∠BOC＝30°，求∠AOD的度数。

解析：

【变式2】如图14，从钝角∠AOB的顶点引射线OP⊥OA。

若∠BOP∶∠AOP＝2∶3，求∠AOB的度数。

解析：

类型三：

几何作图问题

例5．如图15，∠BAC为钝角，

（1）过点C画出AB的垂线；

（2）过点A画BC的垂线；（3）过点B画AC的垂线。

思路点拨：

（1）过点C画AB的垂线，垂足在上；过点B画AC的垂线，垂足在上，

（2）要利用三角板上的直角正确地画出图形；（3）画垂直时，要在垂足处标上垂直符号“　”

解答：

举一反三：

【变式】画图并回答：

（1）如图17，点P在∠AOC的边OA上,①过点P画OA的垂线交OC于点B;

②画点P到OB的垂线段PM.

（2）指出上述作图中哪一条线段的长度表示P点到OB边的距离

（3）比较PM与OP的大小并说明理由。

解析：

类型四：

综合提高

☆☆例6．观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．

（1）如图1，图中共有对对顶角；

（2）如图2，图中共有对对顶角；

（3）如图3，图中共有对对顶角；

（4）研究

（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角；

（5）若有180条直线相交于一点，则可形成对对顶角．

思路点拨：

此题为找规律的题目，从2条直线相交形成的对顶角的对数为2对，3条直线交于一点的图形可以看成是“3个”两条直线相交于一点的图形，为此对顶角的对数是（个）；4条直线交于一点的图形可以看成是“6个”两条直线相交于一点的图形，为此对顶角的对数是（个）．从下表中发现：

直线条

数

…

对顶角个数

解：

总结升华：

☆例7．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线。

思路点拨：

要得出OM和ON成一条直线，就要说明∠MON是，从图中

可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分，所以只要证明它们的非公共部

分相等，即和相等。

因为已知OM和ON分别是∠AOC和∠BOD

的平分线，所以∠AOM=

，

，只要，

本题得证。

解：

总结升华：

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！

课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

总结规律和方法——强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。