高中数学经典三角函数的诱导公式重难点题型举一反三.docx
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高中数学经典三角函数的诱导公式重难点题型举一反三
【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】
三角函数的诱导公式
【知识点1诱导公式】
【知识点2诱导公式的记忆】
记忆11诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角k-90±a（k为常整数）的三角函数值：
当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视Q为锐角时原函数值的符号.
【考点1利用诱导公式求值】
【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值.
【例1】（2018秋•道里区校级期末）已知点P（l,l）在角Q的终边上，求下列各式的值.
T、cos（λ^+α）sin（^∙-a）
（I）；
tan（∕r+α）+sin2（彳-a）
sin（-+α）cos（-一a）
（II）、2、——召——
cos^a-sm^a+tan（;T-a）
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得smα,cosα,Sna的值，再利用诱导公式即可求得要求式子的值.
【答案】解：
∙.∙角α终边上有一点P（l,l）,
.x=l,y=l,r=|OPI=√7,
SillCL=—=_,COSCt=—=—,tanCt—--=It
r2r2X
（[）cos（∕r+α）sin（%-α）
、-、，兀、
tan（^∙+α）+sιn^（―一a）
./3∕r3π
（[[）SInq-+q）cos（t_q）_（γosα）（-smα）cos2a-sin2a+tan（∕r-a）cos2a-sin2a一tana
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思
想，属于基础题.
【变式1-1】（2019春•龙潭区校级月考）己知tan（^+«）=-!
求下列各式的值:
（]）2cos（λ∙-α）-3sin（∕r+α）
4cos（α-2πy）+sin（4∕r-a）
（2）siιι（α-7π）cos（a+5π）.
【分析】
（1）由诱导公式化简后，原式分子分母除以cosα,利用同角三角函数间的基本关系化简，将tana
的值代入计算即可求出值；
（2）由诱导公式化简后，原式分母“1”化为sin2a+∞s2a,然后分子分母除以∞s2a,利用同角三角函
数间的基本关系化简，>'jtana的值代入计算即可求出值.
【答案】解：
∙.∙tan（∕r+a）=tana=-扌,
【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基本知识的
考查.
【变式1-21（2018春•陆川县校级月考）若COSa=-,a是第四象限角，求sm（d_2”）+sin（--3∕τ）cos（-3”）3COS（龙-a）-cos（-λ∙-a）COS（a-4π）
的值.
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.
【答案】解：
∙.∙cosa=扌，a是第四象限角，--sina=一JI-COS订=_£,
Sin（Q-2π）+siιι（-a-3π）cos（a-3π）_Sillcr+Siila・（一COSa）_Sina（l-COSa）_33_∙√5
cos（∕r—a）-cos（-x-a）cos（a-4;F）—CoSa+cosa∙cosaCOSa（COSa—1）亠（一1）2
【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，属于基础题.
【变式1-3】（2019春•沈阳校级月考）己知SlnQ是方程5√-7x-6=0的根，求
的值.
sin（-a-—龙）∙sin（-π一a）∙tan2（2π-a）
「•原式=
∞sα∙（-COSα）∙tan^a
Sinα∙（-Sina）∙cos2a
sin2a
COSa•（—COSα）•—
COS-CL
Sillα∙（-Sillα）∙cos2a
1
cos2a
=sec^a=l+tail"α=l+—=—
1616
【点睛】此题要求学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解这道题的思路是利用
已知求出正切函数的平方，所求的式子也要化为关于正切函数平方的关系式.
【考点2利用诱导公式化简】
【方法点拨】灵活应用诱导公式，应用的原则是：
负化正，大化小，化到锐角就终了
taιι（Λ∙-α）cos（2∕τ—α）sin（-α+—）
【例2】（2019秋•颍泉区校级期中）化简：
—.
cos（-α-π）sm（-∕r-a）
【分析】由已知利用诱导公式即可化简得解.
tan（∕r—α）cos（2∕r-α）sin（-α+—）
【答案］解：
一一
cos（_a一π）sιn（-π一a）
（一tana）COS◎（一COSa）_=—1.
（一COSa）SiiIa
【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.
【变式2-1]
（2019春•兰考县校级期末）化简:
sιn（4—⑵CoS（I■+◎）tan（5一Q）
+a）cos（2λ,-a）sin（3τr—a）sin（-+O）
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.
【答案】解
sin（4Λ∙-α）cos（-÷α）_tan（5Λ∙-a）_sin（-αχ-Sina）_-tana_SinZa十1I-SinZa
Sm（爭+a）cos0-a）sm（3^-a）sin（^÷a）"<-cosa>cos<-a>SInaCoS八CoSF品-cos2
【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力.
sin（8-5λ∙）cos（θ）cos（lπ一θ）
【变式2・2】（2019春•东莞市校级期末）化简F
sin（8-#）sin（-3^∙-θ）
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果.
【答案】
解:
sin（8—5π）cos（-壬一&）cos（7∕r—θ）Sin（^-π>cos（y+&）・cos（/r-θ）
Sin（O-夢）sin（-3;T—6）-Sin（^-—8）∙sin（∕r-θ）
-siu8»（-sin&）・（一cos8）.
；=—Slnσ•COS8∙sinθ
【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于
基础题.
【变式2-3】（2019春•西安月考）化简：
血Sr）SIn（-2—&）CoS（6”也cos（8-π）siιι（5Λ∙+θ）
【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果.
rMtan（2∕r-8）sin（-2広一&）COS（6兀一&）-tan0∙（-Sill^）∙cosθsin8
L⅛杀JW•===t∩ιιθ‘
COS（O-π）sin（5∕r+θ）-COS8・（一Smθ）COSθ
【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题.
【考点3诱导公式在函数中的应用】
cos（-+x）cos（-x）siιι（--x）
【例3】（2019春•怀化期末）已知/（X）=一2——
sm（-Λ--X）CoS（2/T-x）
（I）化简/（x）；
（II）若X是第三象限角，且tmιx=2,求/⑴的值.
【分析】（【）由己知利用诱导公式即可化简得解；
（II）由tanx=2,可得SinX=2cosx,根据角的范围利用同角三角函数基本关系式即可求解.
【答案】解：
（[）∕α）=Eτ∙（⅜χ.
SillACOSX
（II）∙.∙ta∏Λ=2,..sinx=2cosλ'»代Asinx+cos2x=l,得：
5cos2x=l,
∙.∙x是第三彖限角，
.■-/（X）=COSX=--Y.
【点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化
思想，属于基础题.
【变式3-1】（2019春•大武口区校级期末）己知./（«）=—）su,cos（";）_sin（-^--a）cos（y+a）sin（-+a）
（1）化简/（«）：
（2）若/（a）=*,求3sin2α-4siιιαcosof+5cos2a的值.
【分析】
（1）直接利用诱导公式化简求解即可.
（2）求出正切函数值，利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可.
【答案】解：
（1）弘）=一Smgm"（Yθsα）=toιm
-COSa∙（-SmQXOSa
r.“°3siιFα—4sinαcosα+5cos%3tan2α-4taιια+5
3SIn-α-4sιnαCOSa+Scos~a=；；=；,
siιι^a+cos~ataιι^α+l
将tanα=丄代入，
3
Jg
得3siιι2α-4siιιαCOSa+5cos1a=一•
5
【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查转化思想以及计算能力•
【变式3-2】（2018秋•红塔区校级期末）己知/（α）=泅（2兀一Q）述S+?
COS（FF）
cos（∕r-a）tan（3;T-a）
（1）将/（◎）化为最简形式；
（2）f（a）-f（rγ+α）=»且Qe（O,兀），求tana的值.
【分析】
（1）由题意利用诱导公式，化简所给的式子，可得结果.
（2）由题意可得Sina+cosa的值,再利用同角三角函数的基本关系，求得Sina-CoSa的值，可得Sina的
COSa的值，从而求得tana的值.
【答案】解：
（1）由题意可得，f（a）=（~SmQf）tanQfeCOSQf）=Sinα.（-cosα）（-taιια）
（2）f（a）-f（rγ+Qf）=Sina-Sm（^+α）=Sinα+COSa=4©»
]24
平方可得1+2SinaCOSQ=..2siιιαcosα=-一<0,
2525
π497
因为αe（0,兀），所以α∈（-,λ-）∙SinQ-COSa>0,（Sina-COSa）2=1-2SmaCOSa=—,所以SinQ-COSQ=E
②，由①②可得：
Sma=—,cosα=--,
55
结果.
（2）利用诱导公式化简要求的式子为sin&-cos0>0,再计算（Sin^-CoS^）2的值，可得要求式子的值.
1+cos（-x）1+cosx
【答案】解：
（I）函数fg=（SE•+迓哄E=SIn“OS"S1∏Λ∙=
sin8cos8tan82
若f（0）×siιι--COSθ=sin&・--COSe=0•则tan。
=2，
.■-SiilCcosθ=——；—=——；=—
sm^θ+COS-θtaιι^0+15
（2）∙.∙/（&）•COSe=Sin8cos0=£,且扌v&v普,
.∙.f（2Q19π-θ）-cos（2018^∙-θ）=sin（2019;T-θ）-cos（2018τr-θ）=sin8—COS8>O,
即/（2019λ--θ）-∞s（2018λ--Θ）=^~.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，诱导公式的应用，属于基础题.
【考点4分类讨论思想】
【例4】化简：
siιι（-_-斤一α）+cos（4""π-α）（"∈Z）.
44
【分析】对n=2R与n=2k+l（keZ）讨论，利用诱导公式化简求值即可.
【答案】解：
sinj；1π-a）+cos（°‘：
】π-a）=sin（yυr—彳一α）+Cos（Wr，
当“=2k（kWZ）时，-siιι（-+α）+cos（--CC）=-siιι[--α）]+cos（-一α）=O：
44244
n≈2k+l（k∈Z）时，上式
【分析】利用诱导公式化简.应分当“为偶数时和为奇数时两种情况.因为这两种情况正余函数的正负值不
同.
⑵求/（盏心鵲）的值•
【分析】
（1）看“为奇数和偶数时，分别根据诱导公式化简整理，最后综合町得答案.
.∙.f（x）=sin2X；
-*>TC∙*>z∕ΓTC、・rJT,>ZTt、、
=Sm・+suf（__）=SHr+∞s^（）=1
20102201020102010
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系和诱导公式化简求值.在利用诱导公式时注意根据角的
范围，确定三角函数的正负.
【考点5利用诱导公式进行证明】
【例5】（2019春•凉州区校级月考）证明下列等式:
cos（α-—）
（1）∙sin（α-2λ∙）∙cos（2λ∙-a）≈sin2a
sm（--+a）
Slng+¥）・c°sg+¥）
（£）tan（2^∙-α）∙siιι（-2^-a）∙cos（6π~ex）__iana
【分析】
（1）利用诱导公式对等号左边分子和分母进行化简，最后约分即可求得答案.
（2）利用诱导公式对等号左边分子和分母进行化简，注意符号的判断.
COS（Q一—）
【答案】证明：
（1）:
∙sin（α-2λ-）∙cos（2λ∙-（X）=SIuCi»sinα∙cosa=sin2α=¾^i⅛.
-,j7Γ、COSa
sιn（-+a）
（O）厂功_ta∏（2∕r-a）sin（-2;T-a）cos（6π-a）taila（-Sma）COSa_J力
-COSOfSma
【点睛】本题主要考查了诱导公式的化简求值.可采用“奇变偶不变，正负看彖限”的【I诀记忆.
【变式5-1】（2019秋•岳池县校级月考）求证：
（］）2sin（Λ∙+^）∙cos^-1_tan（9π+θ）+l
I-2siιrθtan（∕r+&）-1
（2）tail8・sinθ_COS8∙（tan&+sin8）tail-siιιsiιι2θ
【分析】
（1）原式左边利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简，右边利用诱导公式化简，得到两
结果相等，即可得证;
（2）原式左边与右边分别利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后得到两结果相等，即可得证.
【答案】证明：
（1）左边
-2Sill^COS^-I-（Sine+cos0）'（sin8+cos0）tan0+1-Sm^-COS&-tan&-1tan^+1
coszθ-sinzθ（Smθ+COS^）COS^-Sin^）（Sm^-COStan0-1COS^-Sm^l-tan^tan^-1
彳.j力_taιι（8^∙+λ∙++1_taιι^+1
tan^-1ta∩8-I
左=右，得证；
Sino.C
SIn^.2q心
（2）cos&—Sm8—SInQ
-sin0血0sin&（I-CoSe）1-COSθCOS&
λSin^.“、
右边严&・（两+smθ）s11冈+遇&）
sin2θI-COS2θ
sin8
I-COSθ
左=右，得证.
【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本
题的关键.
【变式5-2】已知A、B、C是ΔABC的三个内角，求证:
（1）cos（2A+B+C）=-COSA:
（2）
.B+CA
Sm=COS-；
22
（3）
tan
=-tan
3/r+C
4~
【分析】
（1）由已知条件利用cos（%+α）=-COSa进行证明.
（2）由已知条件利用sin（y-a）=COSa进行证明.
（3）由已知条件利用tan（Λ∙-Qf）=-tana进行证明.
【答案】证明：
（1）TA、B、C是ΔABC的三个内角,..A+B+C=π,
cos（2A+B+C）=cos（π+A）=-COSA,
COS（2A+B+C）=—8sA.
（2）∙.∙A∖B、C是ΔABC的三个内角,..A+B+C=π,.-.SiIl"+C=sin（"一A）=siιι（--—）=COS-,
22222
.B+CA
Sm=cos—•
22（3）∙.∙）∙.∙A'B、C是ΔABC的三个内角,
..A+B+C=π,
A+Bπ-CI冗一C、3兀+C
.^.tail=tail=-tan（^∙）=-tail•
4444
A+B3?
T+C
:
.tail=-tail.
44
【点睛】本题考査三角函数的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意三角形内角和定理和诱导公式的
合理运用.
【分析】由条件利用诱导公式求得taιι（α+y）=α,再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简等式的
taιι（α+—）+3
左边为】再把tang+Z）=α,从而得到要证的等式的右边.
taιι（α+—）+1
【答案】证明：
∙.∙tan（α+辛）=tan（α+?
）=α,
.I5π、rZI3π•龙、宀‘龙π、，π
Sm（^-+a）+3cos（α-—^-）sm（y+α）+3cos（α+―）sιn（α+∙y）+3cos（α+∙y）tan（α+∙y）+3匕+3
Sin（^£-a）-cos（λ+sin（竽-α）-cos（α+竽）sin（α+彳）+cos（α+彳）tan（α+彳）+1π+
故要证的等式成立.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题.
【考点6角的灵活拆分问题】
【例6】已知sin0=t，sin（α+/3）=1,求sin（2α+30）的值.
【分析】由已知Sing+0）=1,得α+0=2Qr+f,再将2α+戸化为2（α+0）+0,利用三角函数的诱导公式求解.
【答案】解：
∙.∙sin（α+0）=l,--.α+0=2M+彳.又sin0=£,.∙.sin（2α+30）=sin[2（α+0）+/7]=-sin0=-+
【点睛】本题考查了三角函数求值，利用整体代入是常用的技巧，是基础题.
【变式6-1】已知cos（75°+α）=∣,且75°+α是第四象限角，求COS（IO5o-a）+sm（α-105°）+Sin（15°-a）的
值.
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式町求sm（75。
+Q）的值，利用诱导公式即可化简求值.
【答案】解：
∙.∙cos（75θ+α）=∣,且75o+α是第四彖限角，
∙.siιι（75o+α）=-y∣l-COsI（75°+a）=_£，
∞s（105o-a）+sin（α-105o）+Sill（15°-a）=cos（75°+α-180°）+sin（α+75o-l80°）-sin（75o+α-90o）=-COS（75°+a）-sin（α+75°）+cos（75°+a）
_4
=—.
5
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式的综合应用，属于基础题.
【变式6-2】已知cos（α-55°）=-^,且Q为第四彖限角，求Sin（Q+125。
）的值.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-55o）的值，再利用诱导公式求得SIng+125。
）的值.
【答案】解：
∙.∙cos（α-55。
）=一右，且戊为第四象限角，
..a-55o为第三彖限角，..Sin（Qf-55°）=-^1-∞s2（Ct-55°）=-.
.∙.siιι（α+125o）=sin（α-55°+180o）=-sin（α-55o）=.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题.
【变式6-3】（2019秋•秀屿区校级月考）（1,3班做）己知SInG-兰）=2,则cos（α+-）的值等于（）
434
A.-1B.1C.—迈D.迈
3333
【分析】直接对函数的关系式利用诱导公式变换求出结果.
【答案】解：
已知SIngT吕，
故:
CoS（α+—）=8spr+（α+—）]=-cos（α+—）=-Sill[―-（a+—）]
44424
故选：
B•
【点睛】本题考查的知识要点：
三角函数诱导公式的应用及相关的运算问题.
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