小学奥数第13讲列举法解决问题.docx

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小学奥数第13讲列举法解决问题

第一讲列举法的应用

适用学科

小学数学

适用年级

六年级

适用区域

江苏省

本讲时长

90分钟

知识点

列举法的定义

教学目标

掌握在具体情境中能用列举法解决实际问题

教学重难点

重点：

认识列举法，感受列举法的特征

难点：

能有条理的一一列举，发展思维的条理性和严密性

一、课程引入

列举，并借助表格理解基本的数量关系、发现数量的变化趋势。

教学时要突显有序思考，可分四个层次展开：

第一层，整理信息。

为了防止学生囫囵吞枣地理解题意，可先让学生读题后说一说自己的理解，再相互交流，认识基本的数量关系。

第二层，无序列举。

可故意将表格多设计几行，设置陷阱，“诱使”学生出现重复或遗漏的情况，还可在学生汇报时有意展示有重复、遗漏现象的表格，让学生意识到无序会导致遗漏或重复，引发学生的思考。

第三层，有序列举。

引导学生思考怎样才能做到不重复、不遗漏，让学生认识到列举时要有条理、有序，体验有序的重要性，增强思维的条理性和严密性。

第四层，反思提升。

在回顾解决；问题的过程中，反思、感受一一列举的特点和价值。

二、基本理论

理论点1：

列举法：

列举是把事情发生的各种可能逐个罗列，并用某种形式进行整理，从而找到问题的答案

三、例题精析

【例题1】

【题干】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。

若两枚骰1子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。

试判断他们两人谁获胜的可能性大。

【答案】小明获胜的可能性大

【解析】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。

用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。

出现7的情况共有6种，它们是：

1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。

出现8的情况共有5种，它们是：

2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。

所以，小明获胜的可能性大。

【例题2】

【题干】小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。

如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？

【答案】6

【解析】本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不同安排的种数（有一步差异即为不同的安排）。

这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算，而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算。

但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能的选择画出一个树枝状的图，非常直观地得到结果。

这样的图不妨称为“枚举树”。

由上图可知，共有6种不同的安排。

【例题3】

【题干】是否存在自然数n，使得n2＋n＋2能被3整除？

【答案】不存在

【解析】枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？

我们将自然数按照除以3的余数分类，有整除、余1和余2三类，这样只要按类一一枚举就可以了。

当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以

（n2＋n＋2）÷3余2；

当n除以3余1时，因为n2，n除以3都余1，所以

（n2＋n＋2）÷3余1；

当n除以3余2时，因为n2÷3余1，n÷3余2，

所以（n2＋n＋2）÷3余2。

因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数n，（n2＋n＋2）都不能被3整除。

四、随堂练习

【基础】

1.将6拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？

【答案】6=1＋56=2＋46=3＋3

6=1＋1＋46=1＋2＋36=2+2+2

6=1+1+1+36＝1+1+2+2

6＝1+1+1+1+26=1+1+1+1+1+1

所以共10种。

2.小明有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

【答案】一天吃完有1种：

（10）；

两天吃完有5种：

（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）；

三天吃完有3种：

（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。

共1+5+3=9（种）。

【巩固】

1.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。

已知甲胜了第一盘，并最终获胜。

问：

各盘的胜负情况有多少种可能？

【答案】将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：

所以共有6种。

2.经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。

打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？

【答案】按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：

所以共14种。

【拔高】

1.有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。

那么，共有多少种不同的展开图？

【答案】我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来分类，可以分为三类：

最长一行有4个正方形的有2种，见图

（1）

（2）；

最长一行有3个正方形的有5种，见图（3）～（7）；

最长一行有2个正方形的有1种，见图（8）。

不同的展开图共有2＋5＋1＝8（种）。

2.已知甲、乙、丙三个数的乘积是10，试问甲、乙、丙三数分别可能是几？

分析：

在寻找问题的答案时，应该严格遵循不重不漏的枚举原则，由于10的因子有1、2、5、10，因此甲、乙、丙仅可取这四个自然数，先令甲数=1、2、5、10，做到不重不漏，再考虑乙、丙的取法。

【答案】因为10的因子有：

1、2、5、10，故甲、乙、丙三数的取法可列下表：

甲=1乙=1丙=10

乙=2丙=5

乙=5丙=2

乙=10丙=1

甲=2乙=1丙=5

乙=5丙=2

甲=5乙=1丙=2

乙=2丙=1

甲=10乙=1丙=1

总共得到问题的9组解答。

五、分层作业

【基础】

1.15个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？

【答案】15个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面6种：

（1，2，3，9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1，3，4，7），（1，3，5，6），（2，3，4，6）。

所以可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有6个球。

2.数数右图中共有多少个三角形？

【答案】由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1个，共有4＋3＋2＋1＝10（个）。

【巩固】

1.在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？

【答案】上珠一个表示5，下珠一个表示1。

分三类枚举：

（1）两颗珠都是上珠时，可表示5005，5050，5500三个数；

（2）两颗珠都是下珠时，可表示1001，1010，1100，2000四个数；

（3）一颗上珠、一颗下珠时，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七个数。

一共可以表示3＋4＋7=14（个）四位数。

2.数一数，右图中有多少个三角形。

【答案】图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。

为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。

单个的三角形有6个：

1，2，3，5，6，8。

由两部分组成的三角形有4个：

（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。

由三部分组成的三角形有1个：

（5，7，8）。

由四部分组成的三角形有2个：

（1，3，4，5），（2，6，7，8）。

由八部分组成的三角形有1个：

（1，2，3，4，5，6，7，8）。

总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。

【拔高】

1..用五个1×2的小矩形纸片覆盖右图的2×5的大矩形，共有多少种不同盖法？

【答案】如下图所示，只有1个小矩形竖放的有3种，有3个小矩形竖放的有4种，5个小矩形都竖放的有1种。

共3＋4＋1=8（种）。

所以共8种。

2.把1、2、3、4、5、6分别填入下表格中，使得每行相邻的两个数左边的小于右边的，每列的两数上面的小于下面的，问有几种填法？

【并写出分析过程】

【答案】因为每列的两数上面的小于下面的，所以表格的第一个数只能是1，最后一个数只能是6。

其他的都不符合。

如图：

接下来由2开始，即第二个数填2，有3种方法，如下表所示

，由3开始，即第二个数填3，有2种方法，如下表所示

假如第二个数字是4，那么后面只能是5或6，下面的数肯定小于上面的数，不符合，所以符合条件的就只有上面5种情况。

六、课程小结

我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。

但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。

但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。

所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。