概率论 正态分布.docx
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概率论正态分布
概率论正态分布
概率论:正态分布
第四章正态分布
第一节第二节第三节第四节第五节
正态分布的密度函数正态分布的数字特征正态分布的线性性质二维正态分布中心极限定理
正态分布的密度函数
正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随机变量,其取值特点是:
在平均身高附近的人较多,特别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布.进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量独立的因素的影响（无主导因素）,则它一般服从正态分布,这是中心极限定理探讨的问题.
一.一般正态分布
1.定义若随机变量X的密度函数为
122f（x）e2其中x（x）2
式中为实数,>0.则称X服从参数为,2的正态分布,亦称高斯分布.记为N（,2）.可表为X～N（,2）.图象见右上角
正态分布有两个特性：
（1）单峰对称密度曲线关于直线x=对称
1f（）＝maxf（x）＝2
（2）的大小直接影响概率的分布越大,曲线越平坦;越小，曲线越陡峻.正态分布也称为高斯（Gauss）分布
N（4,3/5）
N（4,1）
N（4,7/5）
二.标准正态分布
参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N（0,1）。
（x）其密度函数为
1（x）2（x）
x2e2
420
（1）（0）=0.5
（x）P{Xx}
t2x1e22
（2）（+∞）＝1；
dt,x
f（x）1e2
（3）（x）＝1－（－x）.一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅（x）的值.（P328附表1）如,若X~N（0,1）,（0.5）=0.6915,P{1.32
正态分布的数字特征
（一）一般正态分布N（,2）
（x）222
1X~f（x）e2
x
E（X）
xf（x）dx
t（x
t22edt2
xe2
（x）222
D（X）
）f（x）dx
（二）标准正态分布N（0,1）
X~f（x）
E（X）
x2e2
x
x2e2dx
xf（x）dx
0（奇函数）
D（X）E{[XE（X）]}
2x
[x
E（X）]f（x）dx
x2e2dx
三.一般正态分布概率的计算若X～N（,2）,>0,则有
F（x）P{Xx}
x1e2（t）222
x}
F（x）P{Xx}P{P{Z（x）.
}（x）/
t21e2dt2
一般地,有
例1设随机变量X~N（1,2）,求P{1.6X2.4}解P{1.6X2.4}P{1.61X12.41}P{2.6X11.4}P{2.6/2（X1）/21.4/2}P{1.3（X1）/20.7}（0.7）（1.3）
（0.7）[1（1.3）]0.7580[10.9032]0.6612.
P{aXb}P{aXb}abaXbP{}P{Z}baP{Z}P{Z}Z~N（0,1）ba（）（）2
例2.设XN（,2）,求P{-3
解P{3X3}P{（3）X（3）}P{3X3}P{3X3}P{3（X）/3}（3）（3）
（3）[1（3）]2（3）10.9973
本题结果称为3原则.在工程应用中,通常认为P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值.如在质量控制中,常用标准指标值±3作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报,表明生产出现异常.
例3设随机变量X~N（2,2）,且P{2X4}0.3,求P{X0}.随机变量解P{2X4}P{0（X2）/2/}标准化
（2/）（0）0.3,（2/）0.3（0）0.8
P{X0}P{（X2）/2/}（2/）1（2/）10.80.2例4设随机变量X~N（3,4）,且常数C满足P{XC}P{XC},求常数C.解由P{XC}P{XC},即1P{XC}P{XC}所以P{XC}0.5X3C3C3另一方面,P{XC}P{}（）0.5222C30,C3.2
例4（2021年）（A）
设X~N（0,1）,对于给定的（0,1）,数（B）
满足P{X}.若P{Xx},则x等于
（D）1
解P{Xx}P{xXx}
1P{Xx}2故x1
一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分
布Ｎ（100,152）,某仪器上装有3个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的.求：
使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.解:
设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,则Y~
90100）（0.67）0.2514其中pP{X90}（15
P{Y0}（1p）30.4195故
2（2021年）设随机变量X~N（1,12）,Y~N（2,2）,
且P{X11}P{Y21},则必有（A）12.（B）12.（C）12.（B）12.
第二节正态分布的数字特征一.一般正态分布N（,2）
（x）222
1X~f（x）e2
x
E（X）
xf（x）dx
t（x
t22edt2
xe2
（x）222
D（X）
）f（x）dx
标准正态分布N（0,1）
X~f（x）
E（X）
x2e2
x
x2e2dx
xf（x）dx
0（奇函数）
D（X）E{[XE（X）]}
2x
[x
E（X）]f（x）dx
x2e2dx
例1已知随机变量X的密度函数为1x22x1f（x）e,x求E（X）、D（X）.
f（x）
x2x1
1e2（1/2）
（x1）22（1/2）2
1故1,2
例2设X服从N（0，1）分布，求E（X2）,E（X3）
1解f（x）e2x2x22E（X2）x2f（x）dxedx222
xde2
x2
x2e
E（X）
3x
f（x）dx
x2x32edx
x2e2dx1
2021年（数一）设随机变量X的分布函数为F（x）0.3（x）0.7（其中（x）为标准正态分布函数,则EX（A）0.（B）0.3.（C）0.7.（D）1.
x1）,2
分析:
EXxf（x）dx,因此先求随机变量X的概率密度函数f（x）.
解f（x）F（x）[0.3（x）0.7（
0.7x10.3（x）（）22
于是EX
x1）]2
xf（x）dx
x[0.3（x）
0.7x1（）]dx22
0.7x10.3x（x）dxx（）dx22
10.3xe2
0.7dxx2
1x12（）22
1x12（）122edx2
0.71x2e2
1x12）（0.7122dxdxx2e2
x1令t,则dx2dt,x2t1.代入上式得2
0.71x2e2
1x12）（22
0.71dx（2t1）2e2
10.72te22
2dt
0.712e2
0.71
02e2
2dt0.7
dt0.7.
设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布,
1Y的概率分布为P{Y0}P{Y1}.记FZ（z）为随机变量2ZXY的分布函数,则函数FZ（z）的间断点个数为（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.
解FZ（z）P{Zz}P{XYz}
P{Y0}P{XYz|Y0}P{Y1}P{XYz|Y1}
1[P{XYz|Y0}P{XYz|Y1}]21[P{X0z|Y0}P{X1z|Y1}]2为什么?
1[P{X0z}P{Xz}]2
1
（1）当z0时,FZ（z）[P{X0z}P{Xz}]2
11[P（）P{Xz}][0P{Xz}]22
11P{Xz}（z）221
（2）当z0时,FZ（z）[P{X0zP{Xz}]2
11[P（）P{Xz}][1P{Xz}]22
所以,z0为函数FZ（z）的间断点.（B）正确.
1[1（z）]2
例3某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布,平均成绩为72分,而96以上的考生占总数的2.3%,求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.解设X—考生的外语成绩,依题设知X~N（,2）,其中72,下求方差2X96由题设P{X96}0.023P{}0.023X96961P{}0.023,即1（）0.023
）0.977,
9696722,1222
于是,P{60X84}P{
6072X8472X1}P{}P{11212
（1）
（1）
（1）[1
（1）]
2
（1）120.84110.682
例4假设测量的随机误差X~N（0,102）.试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值.解先求每次测量误差的绝对值大于19.6的概率ppP{X19.6}1P{X19.6}1P{19.6X19.6}
1P{19.6
19.60X19.60}1P{1010X1P{1.961.96}1[（1.96）（1.96）]
1[（1.96）（1.96）]1（1.96）[1（1.96）]
22（1.96）220.97521.950.05
19.6
设Y—100次测量中绝对值大于19.6,则Y~B（100,0.05）
于是所求的概率为P{Y3}1P{Y0}P{Y1}P{Y2}
011C100（0.05）0（0.95）100C100（0.05）1（0.95
）992C100（0.05）2（0.95）98
np1000.055,故由泊松分布得
521e
（1）1e5（15）0.8722
习作题1.设随机变量XN（0,1），YU（0,1），ZB（5,0.5）,且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y）（4Z-1）的数学期望答:
27E（U）E（2X3Y）E（4Z1）2
2设随机变量X1,...,Xn相互独立,且均服从N（,2）
1n分布,求随机变量XXi的数学期望ni11n答:
E（X）E（Xi）ni1
1.设随机变量XB（12,0.5）,YN（0,1）,COV（X,Y）=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差.2.某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依次录用,共有10000人报名.假定报名者的考试成绩X服从正态分布N（,2）,现已知90分以上有359人,60分以下的有1151人,求被录用者中的最低分数.
第三节正态分布的线性性质一.线性性质例1设随机变量X服从标准正态分布,求随机变量YaXb~N（b,a2）Y=aX+b的密度函数,且有
yb解：
Y=ax+b关于x严单,反函数为h（y）a
ybfY（y）fX（）h（y）1a2
E（Y）
yba2e
（yb）22a2
ye2a
（yb）22a2
dy
axb2
x2e2dx
D（Y）E{[YE（Y）]2}[yE（Y）]2f（y）dy
（yb）22a22edya2a直接由Y的密度函数,可观察到Y的数学期望与方差
12a2,由f（y）e2a可知随机变量Y服从正态分布,（yb）2
（yb）2
而且E（Y）b,D（Y）a2
定理1设随机变量X服从正态分布N（,2）,则X的线性函数YabX也服从正态分布,且有YabX~N（ab,a22）
已知XN（,2）,求Y
解YX关于x严格单调,反函数为h（y）y故fY（y）fX[h（y）]|h（y）|fX（y）
y2
你能用正态分布的线性性质求解吗?
二.正态分布的可加性
定理2设随机变量X1,X2相互独立且Xi服从正态分布N（i,i2）,i=1,2,则2222a1X1a2X2~N（a11a22,a11a22）定理3设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从正态分布N（i,i2）,i=1,...,n,则
aiXi~N（aii,ai2i2）
i1i1
例1.设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：
Z=X+Y服从N（0，2）分布.
解依题设X~N（0,1）,Y~N（0,1）;故有
E（X）0,D（X）1,E（Y）0,D（Y）
于是由定理2可知XY服从正态分布,且有
E（XY）E（X）E（Y）000
D（XY）D（X）D（Y）112,
即XY~N（0,2）
例2.设随机变量X与Y独立,且X~N（1,2）,Y~N（0,1）.求证:
（1）Z=2X-Y+3的密度函数;
（2）P{2
D（Z）D（2XY3）4D（X）E（Y）819
Z2XY3~N（5,9）2Z8Z
（2）P{2Z8}P{}P{11}
（1）
（1）
（1）[1
（1）]即
2
（1）120.841310.6826
一.密度函数若随机变量（X,Y）的密度函数为
f（x,y）
12121
1（x1）2（x1）（y2）（y2）2[]2222122
（1）21
其中，1、2为实数，1>0、2>0、||
（X,Y）~N（1,2,,,）
2122
二、边缘密度函数2设（X,Y）~f（x,y）,（x,y）R,则称fX（x）f（x,y）dy为（X,Y）关于X的边缘密度函数；同理,称fY（y）f（x,y）dx
为（X,Y）关于Y的边缘密度函数。
易知N（1,2,12,22,）的边缘密度函数fX（x）是N（1,12）的密度函数,而fX（x）是N（2,22）的密度函数,且XY.即二维正态分布的边缘分布也是正态分布.可见,若（X,，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。
例设（X,Y）服从N（1,0,32,42,-0.5）分布，Z=X/3+Y/21）求E（Z）,D（Z）;2）求X与Z的相关系数3）问X与Z是否相互独立？
为什么？
解
（1）由（X,Y）~N（1,0,32,42,0.5）,得E（X）1,D（X）32,E（Y）0,D（Y）42,XY0.5
故Cov（X,Y）D（X）D（Y）XY34（0.5）6
于是E（Z）E（X/3Y/2）E（X）/3E（Y）/21/30/21/3D（Z）D（X/3Y/2）D（X）/9D（Y）/4C0v（X,Y）/6
32/942/4（6）/64
2）Cov（X,Z）Cov（X,X/3Y/2）
Cov（X,X/3）Cov（X,Y/2）11Cov（X,X）Cov（X,Y）23
11D（X）Cov（X,Y）32
1123（6）032故X与Z不相关.XY（3）因X与Y不独立,而Z32故X与Z不独立.
（2021年）设随机变量（X,Y）服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX（x）,fY（y）分别表示X,Y的概率密度,则在Yy的条件下,X的条件
密度函数fX|Y（x|y）为（A）fX（x）（C）fX（x）fY（y）（B）fY（y）fX（x）（D）fY（y）
（2021年）设随机变量X和Y都服从正态分布,且它们不相关,则（A）X与Y一定独立.（C）X与Y未必独立.（B）（X,Y）服从二维正态分布.（B）XY服从一维正态分布.
第五节中心极限定理
一.依分布收敛
设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn（x）,F（x）.若在F（x）的连续点，有limFn（x）F（x）,
则称{Xn}依分布收敛于X.可记为XnwX.
现令YnXk,若Yn的标准化
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