初一数学规律题解题基本题型.doc
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初中数学规律题解题基本方法
（一）、数列中的规律
主要方法：
奇偶数的表示、特殊数字的乘方、等差数列、正负号等知识的综合应用
1.观察下面的每列数，按某种规律在横线上适当的数。
（1）1，3，5，7，9______,_______，…，第n个数是_______.
（2）2，4，6，8，______,_______,…，第n个数是_______.
（3）1，2，4，8，______,_______,…，第n个数是_______.
（4）-1，，…，…，第n个数是_______.
（5）…，那么第7个数是.
（6）-23，-18，-13,______，________；;
（7），_______，_________；
（8）有一组数：
1,2,5,10,17,26,.....，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为__________.
（二）、计算中的规律
主要方法：
通过计算、阅读、探索、总结、归纳出基本规律，并用此规律进行运算。
1、你能很快算出吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10•+5,即求的值（为自然数），你试分析这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果）。
（1）通过计算，控索规律：
可写成
可写成
可写成
可写成
…………
可写成.
可写成.
（2）从第
（1）的结果，归纳、推测得：
.
根据上面的归纳、推测，请算出：
.
2、研究下列算式，你会发现有什么规律？
；；；……
请将你找出的规律用公式表示出来：
.
3、观察下列各式：
，，，…，根据观察计算：
＝．（n为正整数）
4、观察算式：
；；；
；；……
用代数式表示这个规律（为正整数）：
．
5、已知：
，，，…，若（为正整数），则．
6、（2010广东中山）阅读下列材料：
，，
，由以上三个等式相加，可得
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）（写出过程）；
（2）=；
（3）=．
7、因为，，
那么。
8、观察下列各式：
12+1=1×222+2=2×332+3=3×4
请把你猜想到的规律用自然数n表示出来___________.
9、（2011湖南常德）先找规律，再填数：
10、（2009恩施市）观察数表
1
14个图形
第3个图形
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
6
10
15
15
5
A
1
1
根据表中数的排列规律，则字母所表示的数是___________.
11、观察下列算式：
，
通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是_______.
A
B
C
P0
P1
P2
P3
12、电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为_________．
12、观察下列几个算式，找出规律：
1＋2＋1=4
1＋2＋3＋2＋1=9
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25
……
利用上面规律，请你迅速算出：
①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1=
②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？
③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋的计算公式吗？
13、研究下列算式，你会发现什么规律？
1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42；4×6+1=52…………，
（1）请用含n的式子表示你发现的规律：
___________________.
（2）请你用发现的规律解决下面问题
计算的值。
14、（2011湖南益阳）观察下列算式：
①1×3-22=3-4=-1 ②2×4-32=8-9=-1
③3×5-42=15-16=-1 ④……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为
（2）中所写出的式子一定成立吗？
并说明理由．
15、观察下列各式找规律：
12＋（1×2）2＋22＝（1×2＋1）222＋（2×3）2＋32=（2×3＋1）2
32＋（3×4）2+42＝（3×4＋1）2
（1）写出第6个式子的值；
（2）写出第n个式子．
16、，，
，
，
………
（1）猜想填空：
（）2（）2
（2）若,试求n的值.
17、先完成下列计算：
1×9＋2＝11；12×9＋3＝________；123×9+4=__________；……你能说出得数的规律吗？
请你根据发现的算式的规律求出1234567×9+8的值．
18、如果1+2-3-4+5+6-7-8+9＋……，是从1开始的连续整数中依次两个取正，
两个取负写下去的一串数，则前2012个数的和是多少？
19、老师在黑板上写出三个等式：
52-32=8×2,92-72＝8×4，152-32=8×27
王华接着又写了两个具有同样规律的算式：
112-52=8×12,152-72=8×22
（1）请你写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律．
20．观察：
…
计算：
21、观察：
…………
计算：
＝ 。
（三）、图形中的规律
1、直线上有2010个点,我们进行如下操作：
在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有个点.
2、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是______.
0
2
8
4
2
4
6
22
4
6
8
44
m
6
A．38 B．52 C．66 D．74
3、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是______.
第7题图
A.669B.670 C.671D.672
4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是______
（A）15（B）25（C）55（D）1225
5、如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2010次输出的结果为______
输出
输入x
x＋3
x为偶数
x为奇数
（第11题）
（A）6 （B）3 （C） （D）
6、用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子______
第2个“口”
第1个“口”
第3个“口”
第n个“口”
………………
？
A．4n枚B．（4n-4）枚C．（4n+4）枚D．n2枚
7、如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形．
……
8、如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，….则“17”在射线上；“2007”在射线上。
………………
9、观察正方形图案，每条边上有个圆点，每个图案中圆点总数式，按此推断与的关系式为
10、下面由火柴棒拼出的一列图形中，第个图形由个正方形组成，通过观察可以发现：
（1）第4个图形中火柴棒的根数是；
（2）第个图形中火柴棒的根数是；
11、①②③
●●●●●●●●●●●●●●●
●●●
●●●
●●
●
上面是用棋子摆成的“T”字，按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要多少个棋子？
第n个呢？
12、将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到条折痕．如果对折n次，可以得到条折痕．
13、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．
观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子．
14、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
……
①
②
③
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数______________
第8题图
15、柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：
第一层有听罐头，
第二层有听罐头，
第三层有听罐头，
……
根据这堆罐头排列的规律，第（为正整数）层有听罐头（用含的式子表示）．
16、按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为___；第（n）堆三角形的个数为_______。
17、用同样大小正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，第n个图案中正方形的个数是
……
n=3
n=2
n=1
18、用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：
（1）第4个图案中有白色纸片张；
（2）第n个图案中
19、先观察图形，阅读相关文字后，再回答问题。
两条直线相交，最多有1个交点；
三条直线相交，最多有3个交点；
四条直线相交，最多有6个交点；
…………
问题：
10条直线相交，最多有几个交点？
n条直线最多有几个交点。
20、一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为。
21、正整数按图8的规律排列．请写出第20行，第21列的数字．
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
1
2
5
10
17
…
4
3
6
11
18
…
9
8
7
12
19
…
16
15
14
13
20
…
25
24
23
22
21
…
……
22、问题1.若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法？
问题2.若按图2方式摆放桌子和椅子
⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐 人。
⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表：
问题3.如果按图3的方式将桌子拼在一起
⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？
3张呢？
n张呢？
⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐 人。
⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐 人。
23、下面是2000年八月份的日历：
⑴日历中的绿色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
⑵这个关系对其它这样的方框成立吗？
你能用代数式表示这个关系吗？
⑶这个关系对任何一个月的日历都成立吗？
为什么？
⑷你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？
用代数式表示。
⑸你还能提出那些问题？
24、十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
正十二面体
正八面体
长方体
四面体
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
7
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________。
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________。
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值。
25、如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算：
26、如果依次用分别表示图
（1）、
（2）、（3）、（4）中三角形的个数，那么
；
如果按照，上述规律继续画图，那么与之间是：
，又.
（四）、新定义中的规律
1、已知a≠0，，，，…，，
则 （用含a的代数式表示）．
2、已知：
，，，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算．
3、符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f
（1）=0，f
（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，……
（2）……
利用以上规律计算：
4、阅读材料，寻找共同存在的规律：
有一个运算程序a⊕b=n，
可以使：
（a+c）⊕b=n+c，a⊕（b+c）=n－2c，
如果1⊕1=2，那么2010⊕2010=．
5、阅读下列一段话，并解决后面的问题
观察下面一列数：
1，2，4，8，我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．
一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
（1）等比数列5，-15，45，的第4项是_________．
（2）如果一列数是等比数列，且公比为，那么根据上述的规定，有，，，所以，，，_________．
（3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．
6、读一读：
式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号．例如：
1+3+5+7+9+…+99，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为；又如13+23+33+43+53+63+73+83+93+103可表示为.通过对上以材料的阅读，请解答下列问题．
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示为_________________；
（2）计算=________________．（填写最后的计算结果）
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