化归思想在初中数学解题中的应用.docx

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化归思想在初中数学解题中的应用

化归思想在初中数学解题中的应用

向阳乡初级中学周红林

【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。

本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。

【关键词】化归思想化归的原则教学策略化归思想要点

新课程标准指出：

“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。

”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。

数学是一门演绎推理的学科。

它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链：

从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。

所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。

一、化归思想的涵义和作用

化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。

化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。

二、化归思想的基本原则

数学中的化归有其特定的方向，一般为：

化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。

为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。

⒈熟悉化原则

熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。

这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。

学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。

奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。

在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。

这样有利于学生解决问题。

⒉简单化原则

简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定解决方案的问题，从而使问题获解。

中学数学受多年应试教育的影响，有些问题被复杂化了，而学生对于这类问题却又相当头疼，所以通过化归，将问题变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路，往往更容易让学生接受。

⒊具体化原则

具体化就是把比较抽象的问题转化为比较具体、直观的问题，以便形象地把握问题所涉及的各个对象之间的关系，使问题易于求解。

新课程标准提出：

数学教学要紧密联系生活实际，注重探索和合作，由具体到抽象。

但绝不是只要让学生直观感受,满足于具体的现象而忽视问题的本质。

对于抽象的关系,可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳,逐步提高他们的思维的能力。

⒋极端化原则

极端化原则就是运用极端化位置或状态的特性引出一般位置或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。

这也是我们常说的从一般到特殊再到一般。

⒌和谐化原则

所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称。

和谐化原则就是在对问题进行化归时，要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式与形内部固有的和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。

三、化归思想的要点

化归思想方法的主要特点是它的灵活性和多样性。

一个数学问题，组成主要元素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，其形式并非唯一，而是多种多样。

所以应用数学变换的方法去解决有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循。

因此，我们必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，具体问题具体分析，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。

1、注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性

化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。

因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法。

而设计目标是问题的关键。

设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。

化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。

因此，在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：

怎样才能达到解原问题的目的。

在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。

2、注意转化的等价性，保证逻辑上的正确

化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

3、注意转化的多样性，设计合理的转化方案

在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。

因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，造成繁难不堪。

四、化归思想在解题中的应用

1、化未知问题为已知问题

该法采取的措施是不对问题直接攻击，而是对问题进行变形、转化。

直至把它化归为某个（些）已经解决的问题或容易解决的问题。

例.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O点，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，求AC的长。

分析：

此题是根据梯形对角线互相垂直的特

点，通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角

形和平行四边形，使问题得以解决。

解：

过D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则得AD=CE，

AC=DE，所以BE=BC+CE=8。

∵AC⊥BD

∴BD⊥DE

又∵AB=CD

∴AC=BD

∴BD=DE

在Rt△BDE中，

∴BD=

=

即AC=

2、化新问题为旧问题

将陌生的问题转化为熟悉的问题，运用自己熟悉的知识、经验和问题来解决。

例：

教材中解二元一次方程是通过降次化归成一元一次方程；解二元一次方程组或三元一次方程组是通过消元化归成一元一次方程或二元一次方程组；解分式方程是化归成整式方程；异分母分数的加减法，通过通分转化成同分母分数的加减法；多边形的内角和问题转化为三角形的内角和来解决；梯形的中位线问题转化为三角形的中位线来解决。

这些问题都是通过化新问题为旧问题，从而使问题得以解决。

3、化复杂问题为简单问题

有些数学问题结构复杂，若用常规手法过程繁琐，对这个问题，可以从其结构入手，将结构进行转化，另辟解题途径。

例：

已知

求

的值。

分析：

此题通过“化零散为整体”或利用降次来转化，可使问题得以解决。

解法一：

∵

∴

∴

=x（1－x）+2（1－x）+2009

=

=

=2010

解法二：

原式=

=2010

4、特殊问题与一般问题的转化

特殊问题与一般问题的转化是数学化归的常用方法之一，其采取的措施主要是联系已学过的各种知识利用数学的整体统一思想，将碰到的难解决的特殊问题转化为一般的知识点或将一般的问题转化为特殊问题，以便套用公式或定理等解决。

例3：

如图，已知两个半圆，大半圆的弦AB与小半圆相切，且AB∥CD。

AB=6cm，求图中阴影部分面积。

分析：

要求阴影面积，即大半圆面积

减去小半圆面积。

但在这里两个半圆的半径

都

未知，在图

（1）中较难发现两个半径与

AB的关系，若把图

（1）中小半圆移动，使两个半圆的圆心重合，如

图

（2），阴影部分的面积不变。

此时我们容易发现两个半圆的半径的平方差等于

的平方，这样便可求得图中阴影部分面积。

解：

设大半圆和小半圆的半径分别为R和r，则

5、化代数问题为几何问题（即数形转化思想）

著名的数学家华罗庚教授曾在一首诗中写道：

数形结合百般好，两家分离万事休。

这一句话道出了数形结合这一方法的重要性。

数形结合是把函数、方程、不等式等代数形式中的量与量的关系，同几何图形的位置关系相结合，以形论数或以数论形。

因数能入微，形可直观，二者结合起来能使隐含的条件明显化；使抽象的概念形象化；使繁杂的运算简捷化；可以灵活、直观地解决问题。

例：

已知直线

x轴、y轴的交点分别是B、A，直线

与x轴、y轴的交点分别是D、C。

求四边形ABCD的面积.

分析：

欲求四边形ABCD的面积，先在同一坐标系中把它的图象画出，如下图，由于直接求不易得出，可把四边形ABCD分成△ABD和△BCD来求。

　　解：

在直线

中，

　　当x＝0时，

，

　　所以A点坐标为（0，4），

　　当

时，x＝－2，

　　所以B点的坐标为（－2，0）；

　　在直线

中，

　　当x＝0时，

，

　　所以C点坐标为（0，－3）.

　　当

时，x＝6，

　　所以D点的坐标为（6，0）.

　　函数图象如右图：

　　∴

=

五、化归思想方法的教学策略

纵观整个初中数学教学，我们不难发现初中数学教材中有很多问题都是需要用化归思想来解决，化归思想在初中数学的学习中有着举足轻重的作用，是一种非常重要的数学思想。

那么如何在日常教学中更好的渗透和落实化归思想呢？

1、夯实基础知识，完善知识结构是落实化归思想方法教学的基础

拥有扎实的基础知识、掌握完整的知识结构是实现化归的基础。

教学实践告诉我们，数学优等生与差生区分的第一标准就是基础知识及知识结构掌握的程度不同，教学过程中，夯实基础、完善知识结构可从以下几个方面做起：

a、重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基础。

b、养成整理、总结数学方法的习惯，为寻求化归方法奠定基础。

c、完善知识结构，为寻求化归方向奠定基础。

2、培养化归意识，提高转化能力是实现化归思想方法教学的关键

数学是一个有机整体，它的各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，使之构成了纵横交错的立体空间，我们在研究数学问题的过程中，常需要利用这些联系对问题进行适当转化，使之达到简单化、熟悉化的目的。

要实施转化，首先须明确转化的一般原理，掌握基本的化归思想和方法，并通过典型的问题加以巩固和练习。

因此，在平时的教学中，我们不断教会学生解题，通过仔细的观察、分析，由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想方法、规律以及熟知的相关问题解法，由此不断转化，建立条件和结论之间的桥梁，从而找到解题的思路和方法。

3、掌握化归的一般方法，是实现数学化归思想方法教学的基本手段。

树立了化归意识后，接下来的工作是探求化归的方法。

化归的实质是不断变更问题，因此，可以从变形的成分这个方面去考虑，也可以从实现化归的常用方法直接去考虑。

4、深入教材，反复提炼与总结是实现化归思想方法教学的基本途径。

在数学教学中，要善于挖掘教材中蕴含的化归思想方法，注意不断总结化归法解题的一般原理、提炼蕴含其中的思想方法，把化归思想方法的教学融于各个环节之中，让学生切实感受到化归思想方法的存在形式及其发挥的作用。

在概念形成、运用的过程中渗透化归思想；在定理、公式的探究和发现过程中深化化归思想方法；在问题解决过程中领悟化归思想方法；在知识的归纳总结过程中概括化归思想方法。

在教学过程中让学生逐渐悟出数学中常常把新知识转化已知知识、把一般转化为特殊的解决问题的思路和方法。

实践证明，教师重视数学思想教育，发挥数学思想方法在数学中的作用，确实是培养学生创新精神与应用能力、提高学生综合素质的一个重要途径。

在中学数学教学中，在向学生展示知识的发生、发展过程中，应尽力向学生渗透化归思想，培养学生运用化归思想的能力，充分发挥化归思想方法的指导作用。

这对于学生形成良好的思维品质大有益处，也是进一步落实素质教育，培养学生们的创新能力所必需的。

【参考文献】：

[1]殷堰工《数学解题策略精编》上海科技教育出版社1994.7。

[2]徐国莲.《谈数学思想方法在教学中的渗透》宝山师专学报,2006.9。

[3]彭启科.《化归思想方法探讨》科教论坛。

[4]许彩琴.《化归—数学思想方法的灵魂》数学有数。

[5]朱淑花.《数学解题中的化归思想》淮坊学院学报,2005.3。

[6]刘志伟.《转化与化归思想在解题中的应用》高校理科研究。