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一.教学内容：

圆

（一）

二.教学要求

1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程。

2.理解圆的对称性及相关性质，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

三.重点及难点

重点：

1.理解圆的概念及点与圆的位置关系。

2.理解垂径定理及其逆定理。

圆心角、弧、弦之间相等关系的定理。

难点：

1.理解圆的集合定义。

2.正确理解和区分垂径定理及其逆定理的题设和结论。

四.课堂教学

［知识要点］

知识点1、圆的定义

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

其中，定点称为圆心，定长称为半径的长（通常也称为半径），如图所示，OA为半径，点O为圆心的圆记作“⊙O”读作“圆O”。

说明：

确定一个圆需要两个要素：

一是位置，二是大小。

圆心确定其位置，半径确定其大小。

只有圆心没有半径，虽然圆的位置确定，但大小不定，因而圆不确定，只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆的位置也不确定，只有圆心和半径都确定，圆才被唯一确定。

知识点2、点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有三种：

点在圆外、点在圆上、点在圆内。

点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径

点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径

点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径

说明：

点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系，反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系，即，如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么

①点在圆外

d>r；②点在圆上

d＝r；③点在圆内

d＜r

探究交流：

设AB＝3cm，作图说明满足下列要求的图形。

（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形。

（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。

分析：

（1）到点A的距离都等于2cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，这些点是点P，点Q．

（1）                                              

（2）

（2）满足条件的点为既在⊙Ａ内，又在⊙Ｂ内的点，即如图所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界。

知识点3、圆的轴对称性

圆是轴对称性图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

说明：

（１）圆的对称轴有无数条。

（2）不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴。

知识点4、与圆有关的概念

（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”，弧用符号“⌒”表示，如图所示，以A，B为端点的弧记作“

”读作“圆弧AB”或“弧AB”。

（2）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示），小于半圆的弧叫做劣弧

（3）连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（4）经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍。

说明：

（1）直径是弦，但弦不一定是直径。

（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆，半圆既不是优弧也不是劣弧。

知识点5、垂径定理及其逆定理

1.垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

说明：

（1）这里的垂径可以是直径、半径、过圆心的直线或线段。

（2）条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”即意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧。

如图所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：

2.垂径定理的一个逆定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

如图所示：

逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：

说明：

一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们不一定垂直。

3.垂径定理及其一个逆定理可得的其余结论。

对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：

（1）垂直于弦，

（2）平分弦，（3）平分弦所对的优弧，（4）平分弦所对的劣弧，（5）过圆心。

知识点6、圆的旋转不变性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性。

圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。

知识点7、圆心角、弦心距的概念

（1）顶点在圆心的角叫做圆心角。

（2）从圆心到弦的距离叫做弦心距。

知识点8、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

（1）圆的一个特征：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）圆心角、弧、弦之间相等关系的定理：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各量都分别相等。

如图所示，若下列三个条件（１）∠AOC＝∠BOD，

（2）AC＝BD，（3）

中有一个等式成立，则其他两个等式也成立。

说明：

（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等。

（2）结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系。

（3）定理中的“弧”一般指劣弧。

【典型例题】

例1.（2004·济南）如图所示，方格纸上一圆经过（2，5），（－2，2），（2，－3），（6，2）四点，则该圆的圆心坐标为（       ）

A.（2，－1），   B.（2，2）      C.（2，1）      D.（3，1）

分析：

本题考查点与圆的位置关系和直角坐标系中两点间的距离公式，设圆心坐标为（x，y）

则由点在圆上可知

＝

④，由①、③可得y＝1，由②④可得x＝2，所以圆心的坐标为（2，1），故正确答案为C．

例2.如图所示，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm，

（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？

（2）若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？

分析：

要判断B，C，D与⊙A的位置关系，只需比较AB，AC，AD的长与半径4cm的大小。

解：

（1）连接AC， 

因为AB＝3cm＜4cm，所以点B在⊙A内。

因为AD＝4cm，所以点D在⊙A上。

在Rt△ABC中，

因为

所以点C在⊙A外。

（2）因为AB＝3cm，AD＝4cm，AC＝5cm，所以点B到圆心A的距离3cm是最短距离，C到圆心A的距离5cm是最长距离。

要使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是3cm＜r＜5cm．

例3.如图所示，⊙O1和⊙O2相交于点A和B，过A点作

的平行线交两圆于C，D，已知

，求CD的长。

分析：

可过

过

由垂径定理可得，AE＝EC，AF＝DF

所以EF＝AE＋AF＝

因为EF∥

，

∥

，

所以四边形

FE是矩形。

所以EF＝

＝20cm，所以CD＝2EF＝40cm．

例4.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm．CD＝8cm，求AB和CD的距离。

分析：

本题有两种情况，即AB，CD在圆心O的圆侧及两侧两种情况，而很多同学往往忽略了第二种情况。

解：

（1）如图（１），过O作OF⊥AB于F，交CD于E，连接OA，OC

因为AB∥CD，所以OE⊥CD

由垂径定理得AF＝FB＝

＝3，CE＝DE＝

CD＝4

所以

，

（2）过O作OF⊥AB于F，OE⊥CD于E．连接AO，CO

同理可得OF＝4cm，OE＝3cm

当AB，CD在圆心O的两侧时，

EF＝OF＋OE＝7（cm）

所以AB与CD的距离为7cm或1cm．

例5.如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？

请说明理由，如果受影响，那么受影响的时间为多少秒？

（拖拉机的速度是18千米/时）

分析：

学校受噪音影响的条件是拖拉机在行驶的过程中距点A的距离小于100米，因此过点A作AB⊥MN于B，如果AB小于100米，则学校受到噪音影响，如果AB不小于100米，则不受噪音影响。

解：

过点A作AB⊥MN于B

在Rt△PAB中，∠QPN＝30°，PA＝160米，

所以AB＝80米＜100米，所以学校受噪音影响。

以点A为圆心，以100米为半径作⊙A，交MN于C，D两点，连接AC，

因为AC＝100，AB＝80

所以

（米）

又拖拉机的速度为18千米/小时＝5米/秒

故学校受噪音影响的时间为120米÷5米/秒＝24秒。

【模拟试题】（答题时间：

40分钟）

一、选择题：

1.图中所示，点A、O、D以及B、O、C分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（  ）

   A.2          B.3          C.4          D.5

2.下列说法：

①直径是弦；②弦是直径；③过圆内一点有无数多条弦，这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦，其中正确的有（  ）

   A.1个                     B.2个                    C.3个             D.4个

3.⊙O的半径是20cm，圆心角∠AOB＝120°，AB是⊙O的弦，则

等于（  ）

   A.25

cm2     B.50

cm2      C.100

cm2      D.200

cm2

4.如图所示，EF是⊙O直径，且EF＝10cm，弦MN＝8cm，则E、F两点到直线MN的距离之和等于（  ）

A.12cm    B.6cm     C.8cm    D.3cm

5.在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是（  ）

   A.42°或138°             B.138°            C.69°          D.42°

6.△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝34°，如图所示，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于C，则

的度数是（  ）

A.56°               B.68°            C.72°                      D.84°

7.如图所示，O是圆心，半径OC⊥弦AB，垂足为D点，AB＝8，CD＝2，则OD等于（  ）

A.2                       B.3                C.2

       D.2

8.一条弦分圆周为5：

7，这条弦所对的圆周角为（  ）

   A.75°              B.105°         C.60°或120°              D.75°或105°

二、填空题：

9.确定一个圆的两个条件是_______和_______，________决定圆的位置，_____决定圆的大小．

10.如图所示，OA、OB是圆的两条半径，∠OAB＝45°，AO＝5，则AB＝_________．

11.圆内最长弦长为30cm，则圆的半径为______cm．

12.如图所示，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，交AB于M，则可得出AM＝MB，

等多个结论，请你按现在图形再写出另外两个结论：

__________．

13.如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_______，则CE＝DE（只需填写一个你认为适当的条件）

14.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC＝_________．

15.在⊙O中，弦AB所对的圆周角之间的关系为_________．

16.如果⊙O的直径为10cm，弦AB＝6cm，那么圆心O到弦AB的距离为_____cm．

17.过圆上一点引两条互相垂直的弦，如果圆心到两条弦的距离分别是2和3，那么这两条弦长分别是___________．

18.如图，在半径为2cm的⊙O内有长为2

cm的弦AB，则此弦所对圆心角∠AOB＝__      _．

三、求解题：

 19.如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6cm，EB＝2cm，∠CEA＝30°，求CD的长．

四、证明题：

20.如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是

的中点，AD⊥BC于点D．求证：

AD＝

BF．

21.如图所示，已知AE为⊙O的直径，AD为△ABC的BC边上的高．

求证：

AD·AE＝AB·AC

22.如图所示，已知⊙O，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB．求证：

AC＝BD．

【试题答案】

一、1.B     2.B     3.C      4.B          5.A            6.B     7.B            8.D

二、9.圆心；半径；圆心；半径

10.5

11.15       

12.AC＝BC；∠A＝∠B

13.AB⊥CD或

14.50° 

15.相等或互补 

16.4 

17.6和4 

18.120°

三、

19.解：

过O作OF⊥CD于F，连结CO．

    ∵AE＝6cm，EB＝2cm，∴AB＝8cm，

   ∴OA＝

AB＝4cm，OE＝AE－AO＝2cm．

   在Rt△OEF中，∵∠CEA＝30°，∴OF＝

OE＝1cm．

   在Rt△CFO中，OF＝1cm，OC＝OA＝4cm，

   ∴CF＝

，又∵OF⊥CD，

   ∴DF＝CF，∴CD＝2CF＝2

cm

四、

20.证明：

延长AD，交⊙O于点M，由垂径定理知，

，

又∵A是

的中点，

∴

，AM＝BF，

而AD＝

AM，∴AD＝

BF．

21.证明：

连结BE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，

在Rt△ABE和Rt△ADC中，∠E＝∠C，

∴△ABE∽△ADC，

∴

，即AD·AE＝AB·AC．

22.证明：

过O点作OM⊥AB于M，

∵OA＝OB，∴AM＝MB，

又∵OM⊥AB，CD是弦，

∴CM＝MD，

∵AM－CM＝BM－DM，∴AC＝BD．