奥数最大公约数与最小公倍数例题练习及答案.docx

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奥数最大公约数与最小公倍数例题练习及答案

最大公约数与最小公倍数

（一）

教学目标:

1.通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。

2.通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。

3.培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。

教学过程:

一、基本概念知识

1.公约数和最大公约数

①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数,b为a的约数。

②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

例如:

12的约数有:

1,2,3,4,6,12;

18的约数有:

1,2,3,6,9,18。

自然数naaa,,,21的最大公约数通常用符号（naaa,,,21）表示，例如,12和18的公约数

有:

1,2,3,6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12,18）=6。

（8,12）=4,（6,9,15）=3。

2.公倍数和最小公倍数

③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

例如:

12的倍数有:

12,24,36,48,60,72,84,…

18的倍数有:

18,36,54,72,90,…

自然数naaa,,,21的最小公倍数通常用符号[naaa,,,21]表示，例如12和18的公倍数有:

36,72,….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12,18]=36。

[8,12]=24,[6,9,15]=90。

3.互质数

如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别:

求n个数的最大公约数:

（1）必须每次都用n个数的公约数去除;

（2）一直除到n个数的商互质（但不一定两两互质）;

（3）n个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

求n个数的最小公倍数:

（1）必须先用（如果有）n个数的公约数去除，除到n个数没有除去1以外的公约数后，在用

1n-个数的公约数去除，除到1n-个数没有除1以外的公约数后，再用2n-个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数;

（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n个数的商两两互质

为止;

（3）n个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

例1用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱?

分析与解：

因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144,180,240的公约数。

题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144,180,240的最大公约数。

是144,180,240的最大公约数。

所以（144,180,240）=2×2×3=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是60÷12=5（元）。

例2用自然数a去除498,450,414，得到相同的余数,a最大是多少?

分析与解：

因为498,450,414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

498-450=48,450-414=36,498-414=84。

所求数是（48,36,84）=12。

例3现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少?

分析与解：

只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。

只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。

三个数的和是1111，它们

的公约数一定是1111的约数。

因为1111=101×11，它的约数只能是1,11,101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101,101和909。

所以所求数是101。

例4在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）?

分析与解:

（30,24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成6×6个相同的矩形，那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）

小方格组成。

在6×6的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。

在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。

所以，对角线共经过格点（30,24）-1=5（个）。

例5甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。

三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会?

分析与解：

甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60,75,90的公倍数。

所求时间为[60,75,90]=900（秒）=15（分）。

例6爷爷对小明说:

“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

”你知道爷爷和小明现在的年龄吗?

分析与解：

爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。

爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5,4,3,2,1的倍数。

由此推知，他们的年龄差是6,5,4,3,2的公倍数。

[6,5,4,3,2]=60,

爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。

考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。

所以现在

小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁）,

爷爷的年龄=10×7=70（岁）。

二、随堂练习

最大公约数与最小公倍数

（二）

摘要：

这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。

在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法

可知,（18,12）=2×3=6,[18,12]=2×3×3×2=36。

如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么

（18,12）×[18,12]

=（2×3）×（2×3×3×2）

=（2×3×3）×（2×3×2）

=18×12。

也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。

当把18,12换成其它自然数时，依然有类似的结论。

从而得出一个重要结论:

两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

即,（a,b）×[a,b]=a×b。

例1两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

已知其中一个自然数是18,

求另一个自然数。

解：

由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。

例2两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。

这两个自然数的和是77，求

这两个自然数。

分析与解：

如果将两个自然数都除以7，则原题变为:

“两个自然数的最大公约数是

1，最小公倍数是30。

这两个自然数的和是11，求这两个自然数。

”

改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。

30=1×30=2×15=3×10=5×6,

由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。

因此改变后的两个

数是5和6，故原来的两个自然数是

7×5=35和7×6=42。

例3已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,

求a,b,c。

分析与解：

因为12,15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12,15]=60的倍数。

再由[a,b,c]=120知,a只能是60或120。

[a,c]=15，说明c没

有质因数2，又因为[a,b,c]=120=23×3×5，所以c=15。

因为a是c的倍数，所以求a,b的问题可以简化为:

“a是60或120,（a,b）=12,[a,b]=120，求a,b。

”当a=60时,b=（a,b）×[a,b]÷a

=12×120÷60=24；当a=120时,b=（a,b）×[a,b]÷a

=12×120÷120=12。

所以a,b,c为60,24,15或120,12,15。

要将它们全部分别

装入小瓶

中，每个小

瓶装入液体的重量相同。

问：

每瓶最多装多少千克?

分析与解：

如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。

现在的问题是三种溶液的重量不是整数。

要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。

为此，先求几个分母的最小公倍数,[6,4,9]=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150,135和80,（150,135,80）=5。

上式说明，若三种溶液分别重150,135,80千克，则每瓶最多装5千克。

可实际重量是150,135,80的1/36，所以每瓶最多装

在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。

为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。

如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。

由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法:

（1）先将各个分数化为假分数;

（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a;

（3）求出各个分数的分子的最大公约数b;

（4）

ab即为所求。

例5求655,852,926的最大公约数。

类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。

如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。

求一组分数的最小公倍数的方法:

（1）先将各个分数化为假分数;

（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a;

（3）求出各个分数的分母的最大公约数b;

一

个陷井。

它

们之中谁先

掉进陷井?

它掉进陷井时另一个跳了多远?

同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为

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所以黄鼠狼掉进陷井时跳了311/2÷63/10=5（次）。

黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了

专题练习

1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。

2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。

满足条件的自然数有哪几组?

3.求下列各组分数的最大公约数:

4.求下列各组分数的最小公倍数:

部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。

问：

最少要装多少瓶?

于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。

随堂练习解答

专题练习解答

1.72×120=（7,120）×[72,120]=24×360。

2.12,72与24,36两组。

提示:

72÷12=6=1×6=2×3，所以有两组:

①12×1=12,12×6=72;②12×2=24,12×3=36。

5.等于。

6.151瓶。

7.120米。