初三九年级数学方程问题.docx
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初三九年级数学方程问题
联系实际问题
一、方程问题
考试目标导引：
1．重点热点：
将与市场经济、成本计算、利润、商品价格等实际生活中的应用题建立为方程（组）模型.
2．目标要求：
会通过分析数量关系,找出题中的等量关系,列出方程（组）.
命题趋热分析：
例1
（1）我市某企业为节约用水,自建污水净化站,3月份净化污水3000吨,5月份增加到3630吨,则这两个月净化污水的量平均每月增长的百分率为_______.
（2）北京至石家庄的铁路长392千米,为适应经济发展,自2001年10月21日起,某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米,使得石家庄到北京的行车时间缩短了1小时,如果设该列车提速前的速度为每小时X千米,那么为求X所列出的方程为________.
（3）某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售,其中一台空调价后售出可获利10%（相对于进价）,另一台空调价后售出则要亏本10%（相对于进价）,而这两台空调调价后的售价恰好相同,那么商场把这两台空调调价后售出（）
A.既不获利也不亏本B.可获利1%C.要亏本2%D.要亏本1%
【特色】以上几道题与课本中的基本题型一致,且与实际生活紧密结合.
【解答】
（1）设平均每月增长的百分率为x，则依题意列方程
3000（1+X）2=3630解答x1=0.1x2=-2.1（舍去）
故平均每月增长的百分率为10%;
（2）
;
（3）设一种型号空调进价为a，另一种为b，则
1.1a=0.96得b=
代入下式
%故选D.
【拓展】解产销问题时,关键在于理解成本价、销售价、利润、利率之间的关系：
利润=售价-进价，利率=销售利润÷成本×100%等.
例2（2002北京市西城区）
（1）据2001年中国环境状况公报,我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里,其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里.问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少万平方公里?
（2）某省重视治理水土流失问题,2001年治理了水土流失面积400平方公里,该省逐年加大治理力度,计划今明两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数,到2003年底,使这三年治理的水土流失面积达到1324平方公里.求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.
【特色】这是一道贴近社会热点的方程应用题,它不仅可以对学生的阅读理解能力进行考查,而且也是让学生了解我国环境状况的一份很好的资料.
【解答】
（1）设水蚀造成的水土流失面积为X万平方公里,依题意得
X+（X+26）=356解得X=165∴X+26=191
答:
水蚀和风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里.
（2）设该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x,依题意得
400+400（1+x）+400（1+x）2=1324
整理,得100x2+300x-31=0解得x1=0.1x2=-3.1（舍去）
答:
平均每年增长的百分数为10%.
【拓展】增长率问题可归结为a（1±x）2=b的形式,其中a为初始数,b为末数,x为增长率（或下降率）.
例3黄冈百货商品服装柜在销售中发现:
“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每
件盈利40元，为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：
如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【特色】在近几年各地中考试卷中常能见到这种类型的问题.
【解答】设每件童装应降价x元,依题意得
（40-x）（20+2x）=1200
整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10x2=20
因要尽量减少库存,故x应取20.
答:
每件童装应降价20元.
【拓展】当用一元二次方程的解法求出两个解后,一定要注意检验是否符合题意.
中考动向前瞻：
贴近社会热点的方程应用题,以选择题、填空题的题型出现时，一般都较为基本，而以解答题出现时，具有一定的综合性，主要考查学生收集和处理信息、分析和解决实际问题的能力.
中考佳题自测
1.（2002南宁市）革命老区百色某芒果种植基地,去年结余为500万元,估计今年可结余960万元,并且今年的收入比去年高15%,支出比去年低10%,求去年的收入与支出各是多少万元?
2.（2002武汉市）武汉市某校组织甲、乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动，若甲班做2小时，乙班做3小时则恰好完成全部工作的一半；若甲班先做2小时后另有任务，剩下工作由乙班单独完成，则乙班所用的时间恰好比甲班单独完成全部工作的时间多1小时，问单独完成这项工作，甲、乙两班各需多少时间？
3.（2001浙江绍兴）光明中学现有校舍面积20000平方米,为改善办学条件,计划拆除部分旧校舍,建造新校舍,使新造校舍的面积是拆除旧校舍面积的3倍还多1000平方米.这样,计划完成后的校舍总面积可比现有校舍面积增加20%,已知拆除旧校舍每平方米需用80元,建造新校舍每平方米需费用700元,问完成该计划需多少费用?
中考新题演练
1.两条都是长1.5千米的绿化带上有废弃物,甲、乙两组共青团员在星期日上午各清扫一条,乙组的清扫速度是甲组的1.2倍,乙组比甲组少用半小时就完成任务,求甲、乙两组的清扫速度各是多少.
2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象,决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路,为使工程能提前3个月完成,需要将原定的工作效率提高12%.问原计划完成这项工程用多少个月?
3.某公园有东、西两个门,开园半小时内东门售出成人票65张,儿童票12张,收票款568元,西门售出成人票81张,儿童票8张,收票款680元,问此公园成人票、儿童票每张售价各几元?
4.甲、乙两名职工接受相同数量的生产任务，开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用2天时间，这样甲、乙两人各剩624件；随后，乙改进了生产技术，每天比原来多做6件，而甲每天的工作量不变，结果两人完成全部生产任务所用的时间相同.求原来甲、乙两人每天各做多少件？
每人的全部生产任务是多少？
5.小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶,周六再去买时,正好遇上商场搞酬宾活动,同样的酸奶,每瓶比周三便宜0.5元,结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱,却比上次多买了2瓶酸奶,问她上周三买了几瓶酸奶?
6.为落实“珍惜和合理利用每一寸土地”的基本国策，某地区计划经过若干年开发“改造后可利用土地”360平方千米，实际施工中，每年比原计划多开发2平方千米，按此进度预计可提前6年完成开发任务，问实际每年可开发多少平方千米？
7.美化城市,改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容,某市城区近几年来,通过拆迁旧房,植草,栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）.
（1）根据图中所提供的信息,回答下列问题:
2001年底的绿地面积为____公顷,比2000年底增加了_____公顷；在1999年,2000年,2001年这三年中,绿地面积增加最多的是____年.
（2）为满足城市发展的需要,计划到2003年底使城区绿地总面积达到72.6公顷,试求今明两年绿地面积的年平均增长率.
参考答案
中考佳题自测：
1.设去年收入是x万元,支出是y万元,依题意得
解得
答：
去年收入2040万元，支出1540万元.
2.设单独完成这项工作,甲班需x小时,乙班需y小时,
依题意得
解得
答:
单独完成这项工作,甲班需8小时,乙班需12小时.
3.设拆除旧校舍的面积为x平方米,依题意得
20000-x+3x+1000=20000（1+20%）
解得x=1500
1500×80+（3×1500+1000）×700=3970000
这时完成该计划需费用3970000元.
中考新题演练：
1.设甲组的清扫速度为x千米/时,根据题意得,
解得x=0.5,经检验为原方程的解,当x=0.5时,1.2x=0.6.
2.设原计划完成这项工程用x个月,根据题意得
（1+12%）×
解得x=28.
3.设此公园成人票每张售价x元,儿童票每张售价y元.根据题意得
得
4.设原来甲每天做x件,则乙每天做（x-4）件,由题意得
解得x1=24,x2=-26（舍去）
设每人的全部生产任务为y件,则
解得y=864.
5.设小明的妈妈上周三买了x瓶酸奶,根据题意得
解得x1=4,x2=-10（舍去）.
6.设实际每年可开发x平方千米,依题意得
解得x1=12,x2=-10（舍去）.
7.
（1）60,4,2000
（2）设今明两年绿地面积的年平均增长率为x.根据题意,
得60（1+x）2=72.6解得x1=0.1,x2=-2.1（舍去）.
二、不等式问题
考试目标导引：
1．重点、热点：
将与市场经济、成本计算、利润、商品价格，人物分配等应用题建立为不等式（组）模型.
2．目标要求：
会通过分析数量关系列出不等式（组）
命题趋势分析：
例1
（1）恩格尔系数表示家庭日常饮食开支家庭经济总收入的比例,它反映了居民家庭的实际生活水平,各种类型家庭的恩格尔系数如下表所示:
家庭类型
贫困家庭
温饱家庭
小康家庭
发达国家家庭
最富裕国家家庭
恩格尔
系数（n）
75%以上
50%-75%
40%-49%
20%-39%
不到20%
则用含n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数__________.
（2）（2001荆门市）有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,若要使总收入不低于15.6万元,则最多只能安排____________.
（3）（2002重庆市）韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，则A队有出租车（）
A.11辆B.10辆C.9辆D.8辆
【特色】这几道题都是运用不等式的基本知识解决实际问题的.
【解答】
（1）40%≤n≤49%
（2）设最多只能安排x人种甲种蔬菜,则
0.5×3x+0.8×2（10-x）≥15.6解得x≤4,故x取4.
（3）设A队有X辆车,依题意得
易得x取10故选B.
【拓展】求不等式（组）的整数解的方法是:
（1）求出不等式（组）的解集;
（2）找出适合解集范围的整数解.
例2某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.
如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖,请解答下列问题:
（1）用含x的代数式表示m;
（2）求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.
【特色】本题立意于对学生基础知识的考查.
【解答】
（1）m=3x+8
（2）根据题意得
不等式组解集为5＜x≤6
∵x为正整数,∴x=6
把x=6代入m=3x+8中,得m=26.
【拓展】先根据题意列出不等式组,再求出整数解.
例3香港受潮汐的影响,近日每天24小时港内的水深变化大体如下图:
一艘货轮于上午7时在该港码头开始卸货,计划当天卸完货后离港,已知这艘货轮货后吃水深度为2.5m（吃水深度即船底离开水面的距离）.该港口规定:
为保证航全,只有当航底与港内水底间的距离不少于3.5m时,才能进出该港.
根据题目中所给的条件,回答下列问题:
（1）要使该船能在当天卸完货并安全出港,则出港的水深不能少于______m,卸货只能用____小时;
（2）已知该船装有1200吨货,先由甲装卸队单独卸,每小时卸180吨,工作了一段后,交由乙队接着单独卸,每小时卸120吨,如果要保证该船能在当天卸完货并出港,则甲队至少应工作几小时,才能交给乙方接着卸?
【特色】这是一道很有创意的好题，不仅考查了学生数形结合的解题思想，而且也考查了学生运用不等式的有关知识解决实际问题的能力.
【解答】
（1）6,8;
（2）设甲队工作y小时,令180y+120（8-y）≥1200,解得y≥4,
答：
甲队至少应工作4小时.
【拓展】第
（2）小题是在前面提供的数据信息的基础上,利用不等式知识求甲队至少工作的时间,确保该船能在当天卸完货并安全出港.
中考动向前瞻：
贴近社会热点的不等式（组）应用题,一般很少以选择题、填空题出现，而以解答题出现时，主要考查数形结合以及通过分析数量关系建立不等式（组）模型的解题思想.
中考佳题自测
1.（2001陕西）乘某城市的一种出租汽车起价是10元（即行驶路程在5km以内需付10元车费）,达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元（不足1km部分按1km计）,现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程大约是多少?
2.（2001荆州）在双休日,某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园,公司先派一个人去了解船只的租金情况,这个人看到的租金价格表如下:
船型
每只限载人数（人）
租金（元）
大船
5
3
小船
3
2
那么,怎样设计租船方案才能使所付租金最少?
（严禁超载）
3.（2001安徽）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？
中考新题演练
1．某商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么，商店最多降_________元出售此商品.（利润=销售价-进货价,利润率=利润÷进货价×100%）.
2.某种植物适宜生长在温度为18℃～22℃的山区,已知山区海拔每升高100m,气温下降0.5℃,现测出山脚下的平均气温为22℃,问该植物种在山上的哪一部分为宜（设山脚下的平均海拔高度为0m）.
3.商场出售的A型冰箱每台售价2190元,每日耗电量为1度,而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%,但每日耗电量却为0.55度,现将A型冰箱打折出售（打一折后的售价为原价的
）,问商场至少打几折,消费者购买才合算（按使用期为10年,每年365天,每度电0.40元计算）?
4.修筑高速公路经过某村,需搬迁一批农户,为了节约土地资源和保护环境,政府统一规划搬迁建房区域.规划要求区域内绿色环境占地面积不得少于区域总面积的20%.若搬迁农户建房每户占地150m2,则绿色环境面积还占总面积的40%;政府又鼓励其他有积蓄的农户到规划区域建房,这样又有20户农户加入建房,若仍以每户占地150m2计算,则这时绿色环境面积又只占总面积的15%,为了符合规划要求,又需要退出部分农户.
问:
（1）最初需搬迁建房的农户有多少户?
政府规划的建房区域总面积是多少m2?
（2）为了保证绿色环境占地面积不少于区域总面积的20%,至少需退出农户几户?
5.某园林的门票每张10元,一次使用,考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多的游客,该园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起,可供持票者使用一年）.年票分A、B、C三类：
A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元.
（1）如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使该园林的次数最多的购票方式.
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时,购买A类年票比较合算.
6.在车站开始检票时,有a（a>0）名旅客在候车室等候检查进站,检查开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的.若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,内只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以使后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口?
参考答案
中考佳题自测：
1.设从甲地到乙地的路程大约是xkm,依题意得16<10+1.2（x-5）≤17.2解得102.设租大船x只,小船y只,则5x+3y=48得y=16-
x又x≥0,y≥0得0≤x≤
费用A=3x+2y=3x+2（16-
x）=32-
x∴当x=9时,A最小为29
故最佳方案是租大船9只,租小船1只.
3.设招聘甲种工种的工人x人,则招聘乙种工种的工人为（150-x）人,
依题意得150-x≥2x解得x≤50于是0≤x≤50;
设所聘请的工人共需付月工资y元,则有
y=600x+1000（150-x）=-400x+150000易知x=50时,y最小=130000
此时乙种工种的工人为150-x=100（人）.
中考新题演练：
1.设最多降x元售出此商品,由题意得
≥5%得x≤450故x取450元
2.设该植物种在海拔高度为x米为宜,由题意得18≤22-
·0.5≤20得400≤x≤800
3.设商场将A型冰箱打x折出售,则消费者购买A型冰箱需耗资
2190×
+365×10×1×0.4（元）;购买B型冰箱需耗资
2190（1+10%）+360×10×0.55×0.4（元）
依题意得2190×
+365×10×1×0.4≤2190×（1+10%）+365×10×0.55×0.4
解得x≤8
因此,商场应将A型冰箱至少打八折出售,消费者购买才合算.
4.
（1）设最初需搬迁建房的农户有x户,政府规划的建房区域总面积为ym2,则有
解得
（2）设至少需退出z户,则有
12000-150（68-z）≥12000×20%解得z≥4.
5.
（1）因为80<120,所以不可能选A类年票
若选B类年票,则
（次）;若选C类年票,则
（次）;
若不购买年票,则
（次）.
所以计划用80元花在该园林的门票上时,选择购买C类年票的方法进入园林的次数最多,为13次.
（2）设至少超过x次时,购买A类年票比较合算,则有不等式组
解得
其公共解集为x>30.
所以一年中进入该园林至少超过30次时,购买A类年票比较合算.
6.设至少要同时开放n个检票口,且每分钟旅客进站x人、检票口检票y人，依题意得
解得n≥3.5
∵n只能取整数，
∴n=4.
a+5x≤5ny
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