导数与根的个数的问题答案版.docx
《导数与根的个数的问题答案版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数与根的个数的问题答案版.docx（17页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
导数与根的个数的问题答案版
根的个数问题
题1函数f（x）与g（x）（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤
第一步：
画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关
系；
第三步：
解不等式（组）即可；
13（k+1）21
例1、已知函数f（x）x3x2，g（x）kx，且f（x）在区间（2「：
）上为增函数.
323
（1）求实数k的取值范围；
2）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.
解：
（1）由题意f（x）=x2-（k1）x•/f（x）在区间（2「：
）上为增函数，
二f（x）=x2-（k1）x0在区间（2,•：
：
）上恒成立（分离变量法）即kT：
：
：
x恒成立，又x.2kT乞2，故k乞1k的取值范围为k乞1
（2）设h（x）=f（x）-g（x）=x_（k1）x2kx-,
323
h（x）=x2-（k1）xk=（x-k）（x-1）
令h（x）=0得x=k或x=1由
（1）知k乞1,
1当k=1时，h（x）=（x-1）2_0,h（x）在R上递增，显然不合题意,
2当k<1时，h（x）,h（x）随x的变化情况如下表：
x
（-00,k）
k
（k,1）
1
（尸）
h（x）
+
0
一
0
+
h（x）
/
极大值
!
3I2“kk1
623
极小值
k—1
2
/
k-1
由于0,欲使f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，即方程h（x）=0有三个不同的实根,
2
k3k212"k<1厂
故需——+———>0，即（k—1）（k—2k—2）v0.•.」2，解得k£1—V3
623k2-2k-2>0
综上，所求k的取值范围为kd-,3
根的个数知道，部分根可求或已知。
例2、已知函数f（x）二ax31x2-2xc
2
（1）若x=-1是f（x）的极值点且f（x）的图像过原点，求f（x）的极值；
12
（2）若g（x）-xd，在
（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）的图像与函数f（x）的
图像恒有含x=-1的三个不同交点？
若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。
高…网
解：
（1）vf（x）的图像过原点，贝Uf（0）=0=c=0f（x）=3ax2•x-2,又x=T是f（x）的极值点，贝Uf（T）=3a-1-2=0=a=T
.f（x）=3x1x—2=（3x—2）（x1）=0
f极小值（x）=
（2）设函数g（x）的图像与函数f（x）的图像恒存在含x--1的三个不同交点，
1
等价于f（x）二g（x）有含x-一1的三个根，即：
f（-1）=g（-1）=d（b-1）
2
312121
.x-x-2xbx-x（b-1）整理得：
222
3121
即：
x（b-1）x-x（b-1）=0恒有含x=-1的三个不等实根
22
11
（计算难点来了：
）h（x）=x-?
（b-1）x2-xg（b-1）=0有含x--1的根,
则h（x）必可分解为（x•1）（二次式）=0，故用添项配凑法因式分解，
322121
x3x-x2（b-1）x-x（b-1）=0
22
x2（x1）一f（b1）x2乂一扣一"=0
x2（x1）-
1）x22x—（b—1）=0
十字相乘法分解：
X2
（1）-1〔b•1x-b」1）x・1=0
-111
（x1）x2-1（b1）x尹-J"
3121
x（b-1）x-x（b-1）=0恒有含X--1的三个不等实根
22
211
等价于x（b1）x（b-1）=0有两个不等于-1的不等实根。
22
题2:
已知f（x）在给定区间上的极值点个数贝V有导函数=0的根的个数解法：
根分布或判别式法
例3、
已知函数/（£）二扌卞‘一寺5+3）x2+（m+6）x,xelt（m为常数）》
（I）当册"时，求函数/（幻的单调区间；
（H）若函数r=/（x）在区间⑴
）上有两个极值点，求实数恥的取值范
解：
函数的定义域为R（I）当m=4时，f（x）=1x3-?
x2+10x,
f（x）=x2-7x+10,令f（x）.0,解得x.5,或x：
：
：
2.
令f（x）：
：
：
0,解得2:
：
:
x：
：
：
5
可知函数f（x）的单调递增区间为（-：
：
2）和（5,+^），单调递减区间为2,5-
（n）f（x）=x2-（m+3）x+m+6,
要使函数y=f（x）在（1,+^）有两个极值点，：
f（x）=x2-（m+3）x+m+6=0的根在（1,+^）
根分布问题：
f
2
△=（m+3）-4（m+6）>0;
则（1）=1—（m+3）+m+6>0;,解得m>3
m+3
>1.
-2
（2）令g（x）=-x4+f
4
（a・R,a=0）
（1）求f（x）的单调区间;
（x）（x€R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围.
解:
（1）f'（x）=ax2x=x（ax1）
1'1
当a0时，令f（x）-0解得x或x•0,令f（x）”：
0解得x”：
0,
aa
所以f（x）的递增区间为（-=-丄）（0,；），递减区间为（-丄,0）.
aa
当a:
:
0时，同理可得f（x）的递增区间为（0,-丄），递减区间为（-：
：
0）（-丄「：
）.aa
1a1
（2）g（x^4x~x3-x2有且仅有3个极值点
432
3222
=g（x）=xaxx=x（xax1）=0有3个根，则x=0或xax1=0,a：
：
-2方程x2ax^0有两个非零实根，所以厶=a2-40,
a”—2或a2
而当a-2或a.2时可证函数y=g（x）有且仅有3个极值点
题3:
切线的条数问题====以切点X。
为未知数的方程的根的个数
例5、已知函数f（x^ax3bx2cx在点x0处取得极小值—4,使其导数f'（x）.0的x的取值范围
为（1,3），求：
（1）f（x）的解析式；
（2）若过点可作曲线y二f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.
2
（1）由题意得:
f'（x）=3ax2bxc=3a（x_1）（x_3）,（a：
：
0）
.•.在（一：
：
1）上f'（x）:
：
:
0；在（1,3）上f'（x）0；在（3,：
：
）上f'（x）：
：
：
0
因此f（x）在x0=1处取得极小值-4
.abc=4①，f'
（1）=3a2bc=0②，f'（3）=27a6bc=0③
a--1
由①②③联立得：
b=6,.f（x）=-x3•6x2-9x
c=-9
（2）设切点Q（t,f（t））,y-f（t）二f，（t）（x—t）
y=（-3t212t-9）（x-t）（-t36t2-9t）
=（-3t212t-9）xt（3t2-12t9）-t（t2-6t9）
=（-3t212t-9）xt（2t2-6t）过（-1,m）
m=（-3t212t-9）（-1）2t-6t2
g（t）=2t3_2t2-12t9_m=0
令g'（t）=6t2-6t-12=6（t2-t-2）=0,
求得：
t=-1,t=2，方程g（t）=0有三个根。
m：
16
m-11
故：
-11：
：
：
m：
：
：
16；因此所求实数m的范围为：
（-11,16）
例6、（根分布与线性规划例子）
2
（1）已知函数f（x）x3ax2bxc
3
（I）若函数f（x）在x=1时有极值且在函数图象上的点（0,1）处的切线与直线3x^0平行，求
f（x）的解析式;
（n）当f（x）在（0,1）取得极大值且在（1,2）取得极小值时，设点M（b-2,a1）所在平
面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:
3的两部分，求直线L的方程.
解：
（I）•由f（x）=2x2•2ax•b，函数f（x）在x=1时有极值,
2ab2=0
f（0）=1c=1
又•••f（x）在（0,1）处的切线与直线3x•y=0平行，
1
•••f（0）=b=—3故
2
2312
f（x）xx-3x1.7分
32
2
（n）解法一：
由f（x）=2x2•2ax•b及f（x）在x（0,1）取得极大值且在x（1,2）取得极小值，
x20
2yx0故点M所在平面区域S为如图△ABC，
4yx60
3
易得A（-2,0），B（-2,-1），C（2,-2），D（0,-1），E（0,-3），Sabc=2
2
同时DEABC的中位线，
四边形ABED
所求一条直线L的方程为：
x=0
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为
与AC，BC分别交于F、G贝Vk0，S四边形degf=1
由2阳2=0
得点F的横坐标为：
Xf2
2k+1
6
4k+1
由y=得点G的横坐标为：
Xg
4yx6=0
—-11-1即16k22k—5=0
2k1
同时DEABC的中位线，Sdec
=3^四边形ABED•所求一条直线L的方程为：
X=0
3
另一种情况由于直线
BO方程为
y,设直线BO与AC交于H,
2
1
由y=_x
由<2
gy+x+2=0
•••所求直线方程为：
作业讲解
1、（根的个数问题）
已知函数f（x）二ax3•bx2•（c-3a-2b）x•d（a0）的图象如图所示。
（i）求c、d的值；
（n）若函数f（x）的图象在点（2,f
（2））处的切线方程为3x•y一11=0,
求函数f（x）的解析式;
（川）若x0=5,方程f（x）-8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。
解：
由题知：
f（X）=3ax22bx+c-3a-2b
（I）由图可知函数f（x）的图像过点（0,3），且「1=0
丄d=3—
得=
3a2bc-3a-2b=0
（n）依题意f2=-3且f
（2）=5
12a4b-3a-2b=—3
i解得a=1,b=-6
8a4b-6a「4b3=5
32
所以f（x）=x-6x+9x+3（川）依题意f（x）=ax+bx-（3a+2b）x+3（a>0）
2
fx=3ax+2bx-3a-2b由f5=0=b=-9a①
若方程f（x）=8a有三个不同的根，当且仅当满足f（5）v8avf（1丿②
—1
由①②得-25a+3v8av7a+3vav3
11
1
所以当一vav3时，方程f（x）=8a有三个不同的根。
，”，12分
11
21
2.已知函数f（x）=41nx-x,函数g（x）=f（x）mTn4若方程g（x）=0在[-,2]e
上恰有两解，求实数m的取值范围.
2
解：
g（x）=41nx-xm-ln4
令g（x）=0得m--4lnxx2ln4
则此方程在［丄2］上恰有两解。
e
记「（x）二x-41nxIn4
讥、c42x2-42（x+J0）（x-V2）c
（x）=2x01
xxx得x=V2e[-,2]
e
11_在［丄「2］上，（x）<0,「（X）单调递减；
e
在［.2,2］上，」（x）0,（x）单调递增；
又「（丄）=丄42ln2,（.2）=2,
（2）=4-41n22In2=4-21n2ee
丁半（丄）^（2）兰4—2In2
e
1
3.设函数f（x）=clnxxbx（b,cR,c=0），且x=1为f（x）的极值点.
（I）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；
（n）若f（x）=o恰有两解，求实数c的取值范围.
所以f（x）=（x—1）（x-c）且C"，be1=0
（I）因为x=1为f（x）的极大值点，所以c1
当0：
：
x
：
：
1时，f（x）0；当1：
xc时，f（x）：
：
：
0；当xc时，f（x）0
所以f（x）的递增区间为（0,1）,2,7）;递减区间为（1，c）.
（II）①若c：
；°，则f（x）在（0,1）上递减，在（1,7）上递增
11
b：
：
0c：
：
0
f（x）二恰有两解，则f
（1）"0，即2，所以2；
121
②若0：
：
：
c<1，则加大（x—nc丁bc，f极小（x）“（1rb
因为b二-1-c
c2c2
，贝Uf（x）的极大值为clncc（T-c）=cInc-c0，
22
1
f（x）的极小值为-？
-c，从而f（x）=0只有一解;
1
f（x）的极大值为则f（x）=o只有一解.
1
综上，使f（x）=0恰有两解的c的范围为--：
：
：
c：
：
：
0.
2
、1
4、（根的个数问题）已知函数f（x）x'-ax2-xT（a・R）
（1）若函数f（x）在x=x「x=X2处取得极值，且咅-％=2，求a的值及f（x）的单调区间;
1i5
（2）若a，讨论曲线f（x）与g（x）x2-（2aT）x•—（-2乞x乞1）的交点个数.
226
解：
（1）f（x）=x2-2ax-1
二X"i_x2|=+x2）2-4x^2=$4a2+4=2
二a=0
555555555555555555555555555
f（x）=x2「2ax「1=x2「1
令f（x）0得x”一1,或x-1
令f（x）<0得一1：
：
：
x<1
f（x）的单调递增区间为（」：
，-1）,（1,二），单调递减区间为（-1,1）,,,,5分
（2）由题f（x）二g（x）得-ax2-x1=^x2-（2a1）x-
326
13121
即一x-（a）x2ax0326
13121
令：
（x^-x-（a-）x2ax匚（-2乞X乞1）,,,,,,,,6分
326
:
（X）二x2-（2a1）x2a=（x-2a）（x-1）
令，（x）=0得x=2a或x-1,,,,,,,,,,,,,,,,,7分
当2a岂-2即am-1时
x
-2
（-2,1）
1
A（x）
一
®（x）
9
—8a__
2
、
a
9
此时，-8a0,a:
:
:
0，有一个交点；9分
2
1
当2a_-2即_1：
：
：
a时，
2
x
-2
（22a）
2a
（2a,1）
1
A（x）
+
0
一
®（x）
da—9
2
/
?
a2（3—2a）+1
36
a
2i
a（3-2a）0,
36
99
•••当-8a0即-1■.a时,有一个交点；
216
99
当-8a0,且a_0即a_0时，有两个交点；
216
19
当0:
:
a时，-8a0,有一个交点.，””，”，13分
22
91
综上可知，当a或0：
：
：
a时，有一个交点；
162
9
当a^0时，有两个交点.，,,,,,,,,,,,，14分
16
升级会员 