导数复习导数大题练习(含详解答案).doc

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1、已知函数f（x）=（2x―kx＋k）·e

（Ⅰ）当为何值时，无极值；（Ⅱ）试确定实数的值，使的极小值为

2、已知函数.

（Ⅰ）若，求曲线在处切线的斜率；（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

3、设函数。

（I）求函数单调区间；（II）若恒成立，求a的取值范围；

（III）对任意n的个正整数

（1）求证：

（2）求证：

4、已知函数，其中R．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；

（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性．

5、已知函数为自然对数的底数

（I）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数在[-1，1]上单调递减，求的取值范围．

6、已知函数，设,.

（Ⅰ）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

（Ⅱ）试判断的大小并说明理由；

（Ⅲ）求证：

对于任意的,总存在，满足,并确定这样的的个数.

7、已知函数．

（Ⅰ）若在处取得极值，求a的值；

（Ⅱ）求函数在上的最大值．

8、已知函数..

（I）当时，求曲线在处的切线方程（）；

（II）求函数的单调区间.

9、已知函数，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的面积；

（Ⅱ）若函数存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为，求的值.

10、已知函数.

（1）当时，求函数的极小值；

（2）试讨论曲线与轴的公共点的个数。

11、已知函数，（是不为零的常数且）。

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，方程在区间上有两个解，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使得当且时，不等式恒成立，若存在，找出一个满足条件的，并证明；若不存在，说明理由。

12、设函数

（1）求的单调区间；

（2）当时，设的最小值为恒成立，求实数t的取值范围。

13、设函数f（x）=ax3-（a+b）x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．

（1）若=0，求函数f（x）的单调增区间；

（2）求证：

当0≤x≤1时，||≤．（注：

max{a，b}表示a，b中的最大值）

14、已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：

.

15、已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立．

（Ⅰ）求的解析表达式；

（Ⅱ）设，曲线：

在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值．

16、设函数与的图象分别交直线于点A，B，且曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线平行。

（1）求函数的表达式；

（2）当时，求函数的最小值；

（3）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围。

1.设函数，其中常数a>1

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性;

（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）>0恒成立，求a的取值范围。

21世纪教育网

2、已知三次函数在y轴上的截距是2，且在上单调递增，在（－1，2）上单调递减.

20070328

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若m>－1，设函数，求的单调区间.

3、已知为实数，函数．

（1）若，求函数在[－，1]上的最大值和最小值；

（2）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围．

4、设函数，，函数的图象与轴的交点也在函数的图象上，且在此点有公切线.

（1）求、的值；

（2）证明：

当时，；当时，.

5、已知向量，（其中实数和不同时为零），当时，有，当时，．

（1）求函数式；

（2）求函数的单调递减区间；

（3）若对，都有，求实数的取值范围．

6、已知函数

（1）如，求的单调区间；

（2）若在单调增加，在单调减少，证明

>6.

7、已知函数在处取得极值2.

（1）求函数的表达式；

（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？

（3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点，求直线的斜率的取值范围。

8、已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为实常数，设e为自然对数的底数.

（Ⅰ）若f（x）在区间（0，e上的最大值为－3，求a的值；

（Ⅱ）当a=－1时，试推断方程|f（x）|=在（0，2）内是否有实数解.

函数与导数解答题

1、解：

（I）

=………………3分

在R上单调递减，

所以，f（x）无极值…………………………6分

（II）当时，令，得

（1）k<4时，，有

令，得，即k=0.……………………9分

（2）k>4时，，有

令，得k=8所以，由

（1）

（2）知，k=0或8时，有极小值0

2、解：

（Ⅰ）由已知，………………2分

.

故曲线在处切线的斜率为.………………4分

（Ⅱ）.………………5分

①当时，由于，故，

所以，的单调递增区间为.………………6分

②当时，由，得.

在区间上，，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

………………7分

（Ⅲ）由已知，转化为.………………8分

………………9分

由（Ⅱ）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.

（或者举出反例：

存在，故不符合题意.）………………10分

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，，………11分

所以，

解得.………………12分

3、解：

（I）………………1分

当时，，在上是增函数…………2分

当时，令得……………………3分

若则，从而在区间上是增函数

若则，从而在区间上是减函数

综上可知：

当时，在区间上是增函数。

当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数…………4分

（II）由（I）可知：

当时，不恒成立…………5分

又当时，在点处取最大值，

且………………6分

令得

故若对恒成立，则的取值范围是……7分

（III）证明：

（1）由（II）知：

当时恒有成立

即………………9分

（2）由

（1）知：

；；……；

把以上个式子相乘得

故……………………12

4、解：

（Ⅰ），------------1分

由导数的几何意义得，于是．-----------------3分

由切点在直线上可知，解得．-----5分

所以函数的解析式为．------------6分

（Ⅱ），------------------7分

当时，，函数在区间及上为增函数；

在区间上为减函数；--------------------------------------------------------9分

当时，，函数在区间上为增函数；------------------10分

当时，，函数在区间及上为增函数；

在区间上为减函数．--------------------------12分

命题意图：

本题考查了导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间的方法以及分类讨论的数学思想。

5、解：

（I）当时，，

………………2分

当变化时，，的变化情况如下表：

所以，当时，函数的极小值为，极大值为.……………5分

（II）

令

①若，则，在内，，即，函数在区间上单调递减.………………7分

②若，则，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，

当且仅当，即时，在内，，

函数在区间上单调递减.………………9分

③若，则，其图象是开口向下的抛物线，

当且仅当，即时，在内，，

函数在区间上单调递减.………………………11分

综上所述，函数在区间上单调递减时，的取值范围是．…12分

6、解：

（Ⅰ）因为--------------1分

由；由,

所以在上递增,在上递减--------------3分

要使在上为单调函数,则-------------4分

（Ⅱ）因为在上递增,在上递减，

∴在处有极小值-------------5分

又，

∴在上的最小值为-------------7分

从而当时,，即-------------8分

（Ⅲ）证：

∵，又∵，

∴,

令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数-------------9分

∵,

----------------10分

①当时,,

所以在上有解,且只有一解----------------11分

②当时,,但由于,

所以在上有解,且有两解-------------------12分

③当时,,故在上有且只有一解；

当时,,

所以在上也有且只有一解-------------------13分

综上所述,对于任意的,总存在,满足,

且当时,有唯一的适合题意；

当时,有两个适合题意.--------------14分

（说明:

第（3）题也可以令,,然后分情况证明在其值域内）

7、解：

（Ⅰ）∵，∴函数的定义域为．1分

∴．3分

∵在处取得极值，

即，∴．5分

当时，在内，在内，

∴是函数的极小值点．∴．6分

（Ⅱ）∵，∴．7分

∵x∈，∴，∴在上单调递增；在上单调递减，9分

①当时，在单调递增，

∴；10分

②当，即时，在单调递增，在单调递减，

∴；11分

③当，即时，在单调递减，

∴．12分

综上所述，当时，函数在上的最大值是；

当时，函数在上的最大值是；

当时，函数在上的最大值是．13分

8、解：

（I）当时，，，………………………2分

所以，，………………………4分

所以曲线在处的切线方程为.………………………5分

（II）函数的定义域为

，…………………6分

①当时，，在上，在上

所以在上单调递增，在上递减；……………………………………8分

②当时，在和上，在上

所以在和上单调递增，在上递减；……………………10分

③当时，在上且仅有，

所以在上单调递增；……………………………12分

④当时，在和上，在上

所以在和上单调递增，在上递减…………………14分

9、解：

（Ⅰ），3分

当时，，，，

所以曲线在处的切线方程为，5分

切线与轴、轴的交点坐标分别为，，6分

所以，所求面积为.7分

（Ⅱ）因为函数存在一个极大值点和一个极小值点，

所以，方程在内存在两个不等实根，8分

则9分所以.10分

设为函数的极大值点和极小值点，

则，，11分

因为，，所以，，12分

即，，，

解得，，此时有两个极值点，所以.14分

10、

（Ⅲ）方程,.

记,∵,

由,得x>1或x<-1（舍去）.由,得.

∴g（x）在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.………………………………10分

为使方程在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，

只须g（x）=0在[0,1]和上各有一个实数根,于是有

∵,………………………………11分

∴实数a的取值范围是.………………………12分

11、解：

（1）因为，

所以，……………………1分

当时，，

所以在区间上是减函数，在区间上是增函数；……3分

当时，，

所以在区间上是增函数，在区间上是减函数；……5分

（2）当时，由

（1）知道在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以当时取得极大值，……………………7分

又，方程在区间上有两个解，

实数的取值范围是；……………………………………………………9分

（3）存在.由

（2）知道当时，即

即……………………11分

所以…12分

当时，

所以：

。

……………………14分

12、（Ⅰ）解：

，┄┄┄┄┄┄1分

当时，，

所以函数的减区间为，无增区间；

当时，，

若，由得，由得，

所以函数的减区间为，增区间为；

若，此时，所以，

所以函数的减区间为，无增区间；

综上，当时，函数的减区间为，无增区间，

当时，函数的减区间为，增区间为．┄6分

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ）得，，┄┄┄┄┄┄7分

因为，所以，

令，则恒成立，

由于，

当时，，故函数在上是减函数，

所以成立；┄┄┄┄┄┄10分

当时，若得，

故函数在上是增函数，

即对，，与题意不符；

综上，为所求．┄┄┄┄┄┄12分

13、解：

（1）由=0，得a=b．…………………………………………………1分

故f（x）=ax3－2ax2+ax+c．

由=a（3x2－4x+1）=0，得x1=，x2=1．…………………………………2分

列表：

由表可得，函数f（x）的单调增区间是（-∞，）及（1，+∞）．……………………4分

（2）=3ax2-2（a+b）x+b=3．

①当时，则在上是单调函数，

所以≤≤，或≤≤，且+=a>0．

所以||≤．………………………………………………8分

②当，即-a＜b＜2a，则≤≤．

（i）当-a＜b≤时，则0＜a+b≤．

所以＝＝≥＞0．

所以||≤．……………………………………………12分

（ii）当＜b＜2a时，则＜0，即a2+b2－＜0．

所以=＞＞0，即＞．

所以||≤．

综上所述：

当0≤x≤1时，||≤．……………………16分

14、解：

（Ⅰ）的定义域为（0，+∞），…2分

当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；

当时，＜0，故在（0，+∞）单调递减；……………4分

当0＜＜1时，令=0，解得.Ks5u

则当时，＞0；时，＜0.

故在单调递增，在单调递减.…………6分

（Ⅱ）因为，所以当时，恒成立

令，则,……………8分

因为，由得，

且当时，；当时，.

所以在上递增，在上递减.所以，故……10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知当时，有，当时，即，

令，则，即…………12分

所以，，…，，

相加得

而

所以，.……Ks5u………………14分

15、解：

（Ⅰ）设（），则，……（2分）

．

由已知，得，

∴，解之，得，，，

∴．………（4分）

（Ⅱ）由

（1）得，，切线的斜率，

∴切线的方程为，即．……………（6分）

从而与轴的交点为，与轴的交点为，

∴（其中）．……………（8分）

∴．………………（9分）

当时，，是减函数；

当时，，是增函数．……………（11分）

∴．…………（12分）

16、解：

（1）由，得，…………………………2分

由，得．又由题意可得，

即，故，或．………………………………4分

所以当时，,；

当时，，．

由于两函数的图象都过点，因此两条切线重合，不合题意，故舍去

∴所求的两函数为,……………………6分

（2）当时，，得

，………………………8分

由，得，

故当时，,递减，

当时，,递增,

所以函数的最小值为．…………………10分

（3），,，

当时,,，

在上为减函数，，…………12分

当时，,，

在上为增函数，，且．14分

要使不等式在上恒成立，当时，为任意实数；

当时，，而.

所以.………………………………………………16分

1.解：

（I）21世纪教育网

由知，当时，，故在区间是增函数；

当时，，故在区间是减函数；

当时，，故在区间是增函数。

综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。

（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。

由假设知21世纪教育网

即解得1

故的取值范围是（1，6）

2、解：

（Ⅰ）∵在y轴上的截距是2，∴f（0）=2,∴c=2.

又在上单调递增，（－1，2）上单调递减，

有两个根为－1，2，

，

（Ⅱ），

，

，

当m>－1时，－m<1，定义域：

由得x>1，由得x<1.

故在（1，2），（2，+∞）上单调递增；在上单调递减.

3、解

（1）∵，∴，即．

∴．由，得或；

由，得．因此，函数的单调增区间为，；

单调减区间为．

在取得极大值为；在取得极小值为．

由∵， 且

∴在[－，1]上的的最大值为，最小值为．

（2）∵，∴．∵函数的图象上有与轴平行的切线，∴有实数解．∴，∴，即．

因此，所求实数的取值范围是．

4、解：

（1）的图象与x轴的交点坐标是（1，0），依题意，得①又，，且与在点（1，0）处有公切线，∴即②

由①、②得，20.因…2分

而函数在处取得极值2

所以

所以为所求………………4分

•

•

负

正

负

（2）由

（1）知

可知，的单调增区间是

所以，

所以当时，函数在区间上单调递增…………9分

（3）由条件知，过的图形上一点的切线的斜率为：

令，则,此时，

根据二次函数的图象性质知：

当时，当时，

所以，直线的斜率的取值范围是………………14分

（2）令则

∴∴在上为减函数

当时，，即；

当时，，即；

当时，，即.

5、解：

（1）当时，由得，

；（且）当时，由.得-----------------4分

∴---------------------------5分

（2）当且时，由<0,解得，--------------6分

当时，------------------------------8分

∴函数的单调减区间为（－1，０）和（０，1）-----------------------------------9分

（3）对，都有即，也就是对恒成立，-------------------------------------------11分

由

（2）知当时，

∴函数在和都单调递增-----------------------------------------------12分

又，

当时，∴当时，

同理可得，当时，有，

综上所述得，对，取得最大值2；

∴实数的取值范围为.----------------------------------------------------------------14分

6、解：

（1）当时，，故

当当

从而单调减少.

（2）

由条件得：

从而

因为所以

将右边展开，与左边比较系数得，故

又由此可得21网于是

7.解：

因…2分而函数在处取得极值2

所以

所以为所求………………4分

（2）由

（1）知

•

•

负

正

负

可知，的单调增区间是

所以，

所以当时，函数在区间上单调递增…………9分

（3）由条件知，过的图形上一点的切线的斜率为：

令，则,此时，

根据二次函数的图象性质知：

当时，当时，所以，直线的斜率的取值范围是……………14分

8、解：

（Ⅰ）∵=a+，x∈（0，e），∈［，+∞

（1）若a≥－，则≥0，从而f（x）在（0，e）上增函数.∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0.不合题意.

（2）若a<－，则由>0a+>0，即0

由f（x）<0a+<0，即－

令－1+ln（－）=－3，则ln（－）=－2.∴－=e，即a=－e2.∵－e2<－，∴a=－e2为所求.

（Ⅱ）当a=－1时，f（x）=－x+lnx，=－1+=.当00；当１

（1）=－1.∴f（x）=－x+lnx≤－1，从而|f（x）|=x－lnx且lnx≤x－1. 令g（x）=|f（x）|－—=x－lnx－－=x－（1+）lnx－当00.

即|f（x）|>.故原方程没有实解.