又∵x＝±1或x＝0时，分母的值为0，
∴x只能取－2或2.
11
当x＝－2时，原式＝2（或当x＝2时，原式＝－2）．
23．（10分）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并
制作了如下表格与条形统计图：
请根据图表完成下面题目：
（1）总人数为人，a＝，b＝
（2）请你补全条形统计图；
（3）若全校有600人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有
多少？
解：
（1）100，0.25，15；
（2）如图；
（3）∵喜欢艺术类的频率为0.15，
∴全校喜欢艺术类的学生的人数为600×0.15＝90（人）．
∴全校喜欢艺术类学生的人数为90人．
24．（12分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为
件；
（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？
并求出最大利润．
解：
（1）由题意得200－10×（52－50）＝200－20＝180（件）；
（2）由题意得
y＝（x－40）［200－10（x－50）］
＝－10x2＋1100x－28000
＝－10（x－55）2＋2250.
∴每件销售价为55元时，获得最大利润，最大利润为2250元．
25．（12分）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做
这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an，所以，数列的一般形式可以写成：
a1，a2，a3，⋯，an，⋯.
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示，如：
数列1，3，5，7，⋯为等差数列，其中a1＝1，a4＝7，公差为d＝2.
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，⋯的公差d为，第5项是；
（2）如果一个数列a1，a2，a3，⋯，an，⋯是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：
a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，⋯，an－an－1＝d，⋯
所以a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝（a1＋d）＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝（a1＋2d）＋d＝a1＋3d，
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：
an＝a1＋（）d；
（3）－4041是不是等差数列－5，－7，－9，⋯的项？
如果是，是第几项？
解：
（1）5，25；
（2）n－1；
（3）∵等差数列为－5，－7，－9，⋯，∴a1＝－5，d＝－2.
∵an＝a1＋（n－1）d，an＝－4041，∴－5－2（n－1）＝－4041.
∴n＝2019.
26．（14分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝23，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
解：
（1）BC与⊙O相切．
理由：
连接OD.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.
又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切．
（2）设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，
根据勾股定理得：
OB2＝OD2＋BD2，即（x＋2）2＝x2＋12，
解得x＝2，即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.
1
∵Rt△ODB中，OD＝2OB，∴∠B＝30°，
1
27．（16分）如图，在直角坐标系中，直线y＝－2x＋3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为直线x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC.
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1
解：
（1）y＝－2x＋3，令x＝0，则y＝3.令y＝0，则x＝6.
∴点B，C的坐标分别为（6，0），（0，3），
抛物线的对称轴为直线x＝1，则点A（－4，0），则抛物线的解析式为y＝a（x－6）（x＋4）＝a（x2－2x－24），
1
把C（0，3）代入，即－24a＝3，解得a＝－8，
11
故抛物线的表达式为y＝－18x2＋14x＋3⋯①；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，
直线BC的表达式为y＝－
12x＋3，
α，则cosα
设∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CBA＝OOCB＝12＝tan
2，
5，
111
设点Px，－8x2＋4x＋3，则点Gx，－2x＋3，
5x2＋35x，
20x＋10x，
（3）①当点Q在x轴上方时，则以点Q，A，B为顶点的三角形与
△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，
∴点Q（2，3）；
②当点Q在x轴下方时，以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，
则∠ACB＝∠Q′AB，当∠ABC＝∠ABQ′时，
11
直线BC表达式的k值为－21，则直线BQ′表达式的k值为21，
1
设直线BQ′表达式为y＝2x＋b，将点B的坐标代入上式解得
1
直线BQ′的表达式为y＝12x－3⋯②，
联立①②并解得x1＝6（舍去），x2＝－8，
故点Q（Q′）坐标为（－8，－7）（舍去）；
当∠BAC＝∠ABQ′时，
3同理可得直线BQ′的表达式为y＝4x－错误!
⋯③，
联立①③并解得x1＝6（舍去），x2＝－10，
故点Q（Q′）坐标为（－10，－12），
由点的对称性，另外一个点Q的坐标为（12，－12）；
综上，点Q的坐标为（2，3）或（12，－12）或（－10，－12）．
升级会员 