第二章分解因式全章导学案.docx
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第二章分解因式全章导学案
第二章分解因式
2．1分解因式
【学习目标】
1．经历从分解因数到分解因式的过程．
2．了解分解因式的意义，以及与整式乘法的关系．
3．感受分解因式在解决相关问题中的作用．
【预习设计】
1．把一个多项式化成几个的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．
2．把993-99化为几个整数的积的形式．
3．连一连，并回答．
x2-y2（x+1）2
9-25x2y（x-y）
x2+2x+1（3-5x）（3+5x）
xy-y2（x+y）（x-y）
从左到右的变形是，从右到左的变形是．
【学习探究】
一、学前准备
1．知识回顾
单项式乘以多项式的法则
a（b+c）=．
多项式乘以多项式的法则
（m+n）（a+b）=．
2．自学教材2．1，分解因式，弄清下列问题．
①什么叫分解因式？
②分解因式与整式乘法的关系．
二、师生互动
例1：
下列由左边到右边的变形，是分解因式吗？
为什么？
（1）（a+3）（a-3）=a2-9
（2）m2-4=（m+2）（m-2）
（3）a2-b2+1=（a+b）（a-b）2（4）2mR+2mr=2m（R+r）
（5）x2+x=x2（1+
）
小结：
1．分解因式的结果是的形式．
2．分解后的每个因式必须是式．
3．分解因式必须分解到每个因式都不能再分为止．
练习教材2．1节知识与技能1、2
例2：
计算左边的四个算式，并由算出的结果在右边填空．
（1）（m+4）（m-4）=（5）m2-16=
（2）（y-3）2=（6）y2-6x+9=
（3）3x（x-1）=（7）3x2-3x=
（4）m（a+b+c）=（8）ma+mb+mc=
小结：
分解因式和整式的乘法互为逆运算．
两边的结果应是相等的，只是形式不同而已．
例2：
已知x2-3x+m可以分解为（x+2）（x-5）,求出m的值．
练习①已知x2-x+n可以分解为（x+3）（x-4）,求出n的值．
②已知关于x的二次三项式3x2+mx-n=（x+3）（3x-5），求m、n的值．
例3：
19992+1999能被1999整除吗？
能被2000整除吗？
【训练测评】
1．下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（）
A．x2-y2=（x+y）（x-y）B．（x+2）（x+3）=x2+5x+6
C．x2+3x+5=x（x+3）+5D．
2．下列各式，分解因式正确的是（）
A．a3+b2=（a+b）2B．xy+xz+x=x（y+z）
C．x2+x3=x3·（
+1）D．a2-2ab+b2=（a-b）2
3．多项式x2-3x-10分解因式的结果是（）
4．①20072+2007能被2007整除吗？
能被2008整除吗？
②
×98．2-48．2×
能被14整除吗？
四、拓展延伸
关于x的多项式6x2-11x+m分解因式后有一个因式是2x-3，试求m的值．
【课后反思】
2．2提公因式法
【学习目标】
1．能确定多项式各项的公因式．
2．会用提公因式法把多项式分解因式．
【预习设计】
1．叫多项式各项的公因式．
2．多项式2x2+6x3中各项的公因式是．
3．如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
4．分解因式
（1）ma+mb=
（2）4kx-8ky=
（3）5y2+2y2=（4）a2b-2ab2+ab=
【学习探究】
一、学前准备
1．分解因式：
把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式．
2．公约数：
n个数公共的约数．
3．最大公约数：
n个数最大的公共的约数，叫做这n个数的最大公约数．
二、师生互动
1．什么叫多项式的公因式？
2．公因式的确定方法：
①各项系数的最大公约数是公因式的系数．
②各项都会有的字母，其指数取最低作为公因式的字母及指数．
（3）什么叫提公因式法？
口诀：
公因式，要提取，公约数，取大值
公有字母提出来，字母次数要最低
原式除以公因式，商式写在括号里
例1：
指出下列各组式子的公因式．
（1）5a3,4a2b,12abc
（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2
（3）2a（a+b）2,ab（a+b）,5a（a+b）（4）2xn+1,3xn-1,xn（n>1的整数）
例2：
分解因式
（1）9x2-6xy+3xz
（2）-10x2y-5xy2+15xy
（3）4a2+6ab+2a（4）-8amb3+12am+1b2+16am+2b
练习：
教材2．2节相应随堂练习与知识技能．
例3：
分解因式：
（1）2x（y+z）-3（y+z）
（2）6（x-y）3-9y（x-y）2
（3）x（x-y）+y（y-x）（4）x（x-y）（a-b）-y（y-x）（b-a）
小结：
当n为正整数时
（x-y）2n=（y-x）2n,（x-y）2n-1=-（y-x）2n-1
【训练测评】
1．下列各组多项式中，没有公因式的一组是（）
A．ax-bx和ay-byB．2a-3b和4a2-6ab
C．（a-b）2和（b-a）3D．xy+xz和xy-z
2．多项式-12x2y3+16x3y2+4x2y2的一个因式是-4x2y2，则另一个因式是（）
A．3y+4x-1B．3y-4x-1
C．3y-4x+1D．3y-4x
3．4a5b2c2;8a2b3c4,12a3b4的公因式为．
4．把5m2n3-3m2n2-m2n2分解因式得．
5．先分解因式，再求值．
7a（b+2）+3a（b+2）,其中a=2,b=-1
6．分解因式：
（1）5（x-y）2+10（y-x）2
（2）6（m-3）+x（3-m）
（3）3a2-4ab+a（4）9x2y3-12x3y+3xy
四、拓展延伸
n为整数，n2+n能被2整除吗？
【课后反思】
2．3运用公式法
（一）
【学习目标】
1．由整式乘法的平方差公式，完全平方公式约出用公式法分解因式的方法．
2．会用公式法分解因式．
【预习设计】
1．由（a+b）（a-b）=a2-b2得a2-b2=．
2．分解因式
（1）x2-25=
（2）9x2-y2=
【学习探究】
一、学前准备
知识回顾：
1．分解因式的概念．
2．平方差公式：
．
二、师生互动
1．平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）
注：
式子中a,b可为多项式，也可为单项式。
2．平方差公式的特点：
结构二项式，一项正，一项负，系数能平方．指数要成双，项项完全平方，减号在中央．
例：
分解因式．
（1）16x2-25y2
（2）9a2-
b2
（3）（a+b）2-9（4）9（m+n）2-（m-n）2
（5）2x3-8x
【训练测评】
1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）
A．-0．1m4+n4B．-16a2+b2
C．
-a4D．9a2-64b2
2．分解因式
（1）9x2-1
（2）-812+4y2
（3）（a-1）2+b2（1-a）（4）a5-a
（5）（m-n）2-1（6）4x2-（x-y）2
（7）-（a+1）2+9（a-2）2（8）-（a+b）2+（a-b）2
【课后反思】
2．3运用公式法
（二）
【预习设计】
1．由完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2得a2±2ab+b2=．
2．分解因式：
4-4x+x2=．
【学习探究】
一、学前准备
知识回顾：
1．完全平方公式：
2．完全平方式：
a2+2ab+b2或a2-2ab+b2
3．完全平方式的特点：
首平方，尾平方，积的二倍加（减）在中央．
即多项式是二次三项式，其中两项的符号相同，且都是一个数（或式）的完全平方，另外一项是那两项中数（或式）乘积的二倍．
二、师生互动
完全平方公式：
a2+2ab+b2=（a+b）2a2-2ab+b2=（a-b）2
注：
式中字母a,b可为单项式，也可为多项式。
例：
分解因式
（1）9x2-12xy2+4y4
（2）（x+y）2+4（x+y）+4
（3）-6a-a2-9（4）3ax2+6axy+3ay2
（5）（x2+4）2+8x（x2+4）+16x2
练习：
教材2．3节随堂练习、知识技能．
【课后反思】
第二章分解因式专题复习
一、主干知识梳理
二、综合创新应用
一、学科内综合
因式分解常用的方法是提公因式法和运用公式法，但对于稍复杂的多项式来说，往往是多法并用，综合地运用所学方法解决问题．
例1：
把下列各式分解因式
（1）（a2+4）2-16a2;
（2）x3+2x2-9x-18
例2：
解下列因式
（1）4x3-4x2-9x+9
（2）x2-2xy+y2-z2
（3）（x-y）2-2（x-y）-a2+1
二、实践应用
因式分解是其他数学知识（如分式的计算）的基础，是代数式恒等变形的依据，同时，它在物理、几何的简算中还有广泛的应用．
例3：
已知长方形的周长是20cm，它的两边x、y是整数，且满足x-y-x2+2xy-y2+6=0,求其面积．
练习：
一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2，求这个正方形原来的边长，若边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来的边长是多少呢？
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