第四章因式分解全章学案.docx

第四章因式分解全章学案.docx

《第四章因式分解全章学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章因式分解全章学案.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

第四章因式分解全章学案

1因式分解

复习引入：

1、（）和（）统称为整式。

2、用简便方法计算：

（1）736×95+736×5

（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67

3、探究：

993-99能被100整除吗？

X3-X?

探究新知：

归纳总结：

把一个多项式化成（）的形式，这种变形叫做（）。

因式分解也可称为分解因式。

做一做：

1.计算下列各式2.根据左边算式填空

（1）3x（x-1）=

（1）3x2-3x=

（2）m（a+b-1）=

（2）ma+mb-m=

（3）（m+4）（m-4）=（3）m2-16=

（4）（y-3）2=（4）y2-6y+9=

想一想：

因式分解与整式乘法有什么关系?

小结：

（1）分解因式与整式的乘法是一种（）。

（2）分解因式的结果要以（）的形式表示。

（3）每个因式必须是（），且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数。

（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止。

2提公因式法

（一）

温故知新：

1、因式分解的概念

2、整式乘法与分解因式之间的关系

探究新知：

1、

15

你是怎么样计算的？

这个式子里面有相同的因数吗？

2、如图：

两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，求这个新长方形的面积？

想一想：

多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？

多项式x+4x呢？

多项式mb+nb–b呢？

多项式中各项都含有的（），叫做这个多项式各项的（）。

议一议：

（1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？

（2）请仿照上面方法将多项式2x2+6x3（3）多项式2x2y+6x3y2中各项的公因什么？

因式分解，并与同伴交流。

你认为怎样确定一个多项式的公因式？

总结归纳：

定系数：

定字母：

定指数：

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式

化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

例：

提示：

一找出公因式；二提取公因式

1、把3a2-9ab分解因式2、把9x2–6xy+3xz分解因式

练习：

（1）3x+x2

（2）7x3-21x2

拓展提升：

1、把-24x3–12x2+28x分解因式2、议一议：

小明的做法有误吗？

8a3b2-12ab3c+ab

=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1

=ab（8a2b-12b2c）

归纳总结：

提公因式法分解因式（正确的找出多项式各项的公因式。

）

1多项式是几项，提公因式后也剩几项。

2当多项式第一项的系数是负数时：

3当多项式某一项和公因式相同时：

练习：

把下列各式分解因式

（1）3x+6y

（2）24xm2-16xm3（3）3x3-9x2+3x（4）-4a3b3+6a2b-2ab

想一想：

提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？

小结与反思：

1、什么叫因式分解

2、确定公因式的方法

3、提公因式法分解因式步骤

4、用提公因式法分解因式应注意的问题。

2提公因式法

（二）

复习回顾：

1、多项式的第一项系数为负数时，（）。

2、公因式的系数是多项式各项（）。

3、字母取多项式各项中都含有的（）。

4、相同字母的指数取各项中最小的一个,即（）。

想一想：

提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？

（1）8mn2+2mn=

（2）a2b-5ab+9b=

（3）-3ma3+6ma2-12ma=（4）-2x3+4x2-8x=

探究新知：

1.思考：

提公因式时，公因式可以是多项式吗？

公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？

找找下面各式的公因式，并尝试把他们因式分解。

（1）2a（b+c）-3（b+c）=

（2）7x（m-n）-2y（m-n）=

（3）a（x-3）+2b（x-3）=（3）y（x+1）+y2（x+1）2=

练习：

（1）x（a+b）+y（a+b）=

（2）3a（x-y）-（x-y）=

找规律：

在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立。

（1）a-b=___（b-a）

（2）（a-b）2=___（b-a）2（3）b+a=___（a+b）

（4）-m-n=___（m+n）（5）2-a=___（a-2）（6）-s2+t2=___（s2-t2）

总结：

a-b与-a+b（），偶次幂（），奇次幂（）。

a+b与-a-b（），偶次幂（），奇次幂（）。

a+b与b+a（），偶次幂（），奇次幂（）。

2.例把下列各式分解因式。

（1）a（x-y）+b（y-x）

（2）6（m-n）3-12（n-m）2

两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:

（1）当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.

如:

a-b和-b+a即a-b=-b+a

（2）当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.

如:

a-b和b-a即a-b=-（a-b）

注意：

转换时尽量转换偶次幂项。

思考题：

某大学有三块草坪，第一块草坪面积为

，第二块草坪面积为

，第三块草坪面积为

，求这三块草坪的总面积。

3公式法

（一）

复习回顾：

填空：

（1）（x+5）（x-5）=

（2）（3x+y）（3x-y）=（3）（3m+2n）（3m–2n）=

它们的结果有什么共同特征？

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：

X2-25=9x2-y2=9m2-4n2=

探究新知：

将多项式a2-b2因式分解。

总结：

规律：

（1）公式左边是一个将要被分解饮食的多项式。

（2）公式右边是分解因式的结果。

试一试：

下列多项式能转化成（　）２－（　）２的形式吗？

如果能，请将其转化成（　）２－（　）２的形式。

（1）m2-81=

（2）1-16b2=（3）4m2+9=（4）a2x2-25y2=（5）-x2-25y2=

例1：

分解因式。

（1）25-16x2

（2）9a2-

2

完成随堂练习第一题。

例2：

因式分解。

注意：

先考虑能否用（），再考虑能否用（）分解因式。

小结：

分解因式的一般步骤：

多项式的因式分解：

完成P100随堂练习和习题4.4

3公式法

（二）

复习回顾

完全平方公式：

学习新知：

两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方。

形如　的多项式称为完全平方式。

特点：

例如：

9x2-6x+1=

平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。

平方差公式法：

完全平方公式法:

巩固练习：

1．判别下列各式是不是完全平方式。

（1）x2+y2

（2）x2+2xy+y2（3）x2-2xy+y2（4）x2+2xy-y2（5）-x2+2xy-y2

2.请补上一项，使下列多项式称为完全平方式。

（1）x2+（）+y2

（2）4a2+9b2+（）（3）x2-（）+4y2

（4）a2+（）+

b2（5）x4+2x2y+（）

例1.把下列完全平方式分解因式。

（1）x2+14x+49

（2）4a2-12ab+9b2（3）（m+n）2-6（m+n）+9

总结：

例2.把下列完全平方式分解因式。

（1）3ax2+6axy+3ay2

（2）-x2-4y2+4xy

总结：

完成P102随堂练习

小结：

（1）形如________________形式的多项式可以用完全平方公式分解因式。

（2）因式分解通常先考虑______________方法。

再考虑____________方法。

（3）因式分解要_________

思考题：

一天,小明在纸上写了一个算式为4x2+8x+11,并对小刚说:

“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?

”

第四章因式分解回顾与思考

总结归纳:

知识点一：

对分解因式概念的理解。

知识点二：

利用提公因式法分解因式。

例2.把下列各式分解因式（公因式既可以是单项式，也可以是多项式）

（1）-27m2n+9mn2-18mn

（2）4b（1-b）3+2（b-1）2

知识点三：

利用公式法分解因式

例3.把下列各式分解因式

（1）（m+n）2-（m-n）2

（2）x2+3x+

（3）（x+y）2-10（x+y）+25

思考：

（2a-b）2+8ab（提示：

可以先化简整理，再因式分解）

练习：

把下列各式分解因式。

（1）（a2+4）2-16a2

（2）2x2y2-x4-y4连续两次使用公式

法进行分解因式。

当多项式形式上是二

项式时，应考虑用平

方差公式，当多项式

形式上是三项式时，

应考虑用完全平方公式。

知识点四：

综合运用多种方法分解因式。

例4.把下列各式分解因式

先观察是否有公因式，若有公因式提出后看是否具有平方差公式或完全平方公式特征，若有使用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。

（1）x3-4x

（2）x2（y2-1）+2x（y2-1）+（y2-1）（3）（a+b）2-4（a+b-1）

（4）x2-9y2+4z2+4xz

知识点五：

运用分解因式进行计算和求值

例5.利用分解因式计算

（1）1002|（992+198+1）

（2）19992-1998

2002（3）（-2）101+（-2）100

例6

（1）已知x2+3x-2=0,求2x3+6x2-4x的值

（2）已知x+y=1,求

x2+xy+

y2的值。

活学活用：

1.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？

2.当k取何值时，100x2-kxy+49y2是一个完全平方式？

3.利用分解因式说明：

257-512能被120整除。

提示：

底数不同，且指数不全为偶数，若考虑使用平方差公式则需要转化底数。

4.248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数。

提示：

反复利用平方差公式进行分解因式，分解过程中需注意题目中的条件要求，分解因式“适可而止”。

检测题：

1.如果多项式x2－mx+9是一个完全平方式,那么m的值为（）

2.下列变形是分解因式的是（）

A．6x2y2=3xy·2xyB．a2－4ab+4b2=（a－2b）2

C．（x+2）（x+1）=x2+3x+2D．x2－9－6x=（x+3）（x－3）－6x

3.满足

的是（）

A.

B.

C.

D.

4.已知多项式

分解因式为

，则

的值为（）

5.若

，则

6.若

，则p=，q=。

7.已知正方形的面积是

（x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式。

8.已知x2－2（m－3）x+25是完全平方式,你能确定m的值吗?

不妨试一试。

9.不解方程组

，求

的值。