二元一次方程组应用题经典题解析版例题.docx
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二元一次方程组应用题经典题解析版例题
实际问题与二元一次方程组题型归纳
知识点一：
列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把未知”转化为已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系•一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：
（1）方程两边表示的是同类量；
（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.知识点二：
列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题：
⑴追击问题：
追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行•这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析•其等量关系式是：
两者的行程差二开始时两者相距的路程；m卩；年mi-'-
（2）相遇问题相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：
双方所走的路程之和=总路程.
（3）航行问题：
①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度；
2船在静水中的速度-水速=船的逆水速度；
3顺水速度—逆水速度=2X水速.
注意：
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.
2.工程问题：
工作效率M作时间=工作量.
3.商品销售利润问题：
（1）利润二售价—成本（进价）；⑵'；⑶利润二成本（进价）X利
润率；
（4）标价二成本（进价）X1+利润率）；（5）实际售价二标价对丁折率;
注意：
商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）
4•储蓄问题：
（1）基本概念
1本金：
顾客存入银行的钱叫做本金•②利息：
银行付给顾客的酬金叫做利息•
③本息和：
本金与利息的和叫做本息和.④期数：
存入银行的时间叫做期数.
⑤利率：
每个期数内的利息与本金的比叫做利率•⑥利息税：
利息的税款叫做利息税
（2）基本关系式
1利息二本金X利率斓数
2本息和=本金+利息=本金+本金X利率＞期数=本金x（i+利率X期数）
3利息税二利息X利息税率二本金X利率＞期数X利息税率.
1
4税后利息二利息X（1-利息税率）⑤年利率二月利率X12⑥月利率=年利率一.
12注意：
免税利息=利息
5.配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.
6.增长率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：
原量X1+增长率）=增长后的量；
原量X1—减少率）=减少后的量.
7.和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系是：
较大量=较小量+多余量，总量=倍数x倍量.
8.数字问题:
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n
为整数时，奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：
两位数=十位数字10+个位数字
9•浓度问题：
溶液质量滋度=溶质质量•
10•几何问题：
解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公
式
11•年龄问题：
解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的
12•优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排•需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案•
注意：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案•
知识点三：
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：
1•审题:
弄清题意及题目中的数量关系；2•设未知数：
可直接设元，也可间接设元；
3•找出题目中的等量关系；4.列出方程组:
根据题目中能表示全部含义的等量关系列出
方程，并组成方程组；5•解所列的方程组，并检验解的正确性；6•写出答案•
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写答”而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的
结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）设”答”两步，都要写清单位名称；
（3）—般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组
（4）列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；
③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组
与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量
关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验•
类型一：
列二元一次方程组解决一一行程问题
甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,
1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,
在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机•这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?
思路点拨：
画直线型示意图理解题意:
心行破-程
2
扒灯題1-小科從5柱
2
（1）这里有两个未知数：
①汽车的行程；②拖拉机的行程.
（2）有两个等量关系:
①相向而行：
11
汽车行驶1-小时的路程+拖拉机行驶1-小时的路程=160千米;
33
②同向而行：
11
汽车行驶-小时的路程=拖拉机行驶1-小时的路程.
22
解：
设汽车的速度为每小时行工千米，拖拉机的速度为每小时》千米.
答：
汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.
总结升华：
根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行
程问题的常用的解决策略
类型二：
列二元一次方程组解决一一工程问题
一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付
两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？
（2）已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？
思路点拨：
本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：
若请甲、乙两个装修组
同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：
若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程
6x+12y=3480.
解：
（1）设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得:
［弘+12尸弘弧②解得b-i4o
答：
甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元.
（2）单独请甲组做，需付款300X12=3600元，单独请乙组做，需付款24X140=3360元,故请乙组单独做费用最少.
答：
请乙组单独做费用最少•
总结升华：
工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a,需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析.
类型三：
列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题
有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%乙商品的利润率为4%共可获利46元.
价格调整后，甲商品的利润率为4%乙商品的利润率为5%共可获利44元，则两件商品的
进价分别是多少元？
思路点拨：
做此题的关键要知道：
利润二进价＞利润率
解：
甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得:
x—600
耳％卄珈y=44解得
答：
两件商品的进价分别为600元和400元.
类型四：
列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题
04•小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为2.25%的一年定期存款,
一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？
（利息所得税二利息金额X20%教
育储蓄没有利息所得税）
思路点拨：
设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格:
教育储蓄
一年定期
合计
现在
x
y
一年后
xx2.25%
yy2.25%80%
2042.75
解：
设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：
"y—2000-a-1500
[（1+0.0225）7+j[l+00225（1-0.2）]=204275解得.[y=500
答：
存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.
总结升华：
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来•
类型五：
列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题
某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
思路点拨：
本题的第一个相等关系比较容易得出：
衣身、衣袖所用布料的和为132米;第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的
2倍（注意：
别把2倍的关系写反了）.
解：
设用芒米布料做衣身，用"米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意,得:
a十护=132
3.5
—rx2=—V[2I
答：
用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套
总结升华：
生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与
桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.
类型六：
列二元一次方程组解决一一增长率问题
6.某工厂去年的利润（总产值一总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了
20%总支出比去年减少了10%今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少
万元?
思路点拨：
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总产值（万元）
总支出（万元）
利润（万元）
去年
x
y
200
今年
120%:
90沟
780
根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值一总支出和表格里的已知量和
未知量，可以列出两个等式
解：
设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得:
，解之得:
答：
去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元
总结升华：
当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析
类型七：
列二兀一次方程组解决和差倍分冋题
G7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）爱心”帐篷厂和温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷•为此，全体职工加班加点，爱心”帐篷厂和温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来
爱心”帐篷厂和温
的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务•求在赶制帐篷的一周内,暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？
丢
思路点拨：
找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组
解：
设原计划爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶，温暖”帐篷厂生产帐篷y千顶，由题意得:
1.6：
肾14，解得：
;4
所以：
1.6x=1.65=8,1.5y=1.5'4=6
答：
爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶，温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶.
8.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个
四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.
思路点拨：
设较大的两位数为X，较小的两位数为y.
问题1:
在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：
100x+y
100y+x
问题2:
在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为:
（10X+刃-（1037）=2173,解得:
答：
这两个两位数分别为45,23.
3:
7,乙种酒精溶液的酒
50kg，问甲、乙两种酒精溶
•现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是
精与水的比是4：
1,今要得到酒精与水的比为3:
2的酒精溶液
液应各取多少?
思路点拨：
本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解
决，题中有以下几个相等关系：
（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和=50;
（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和二混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种
溶液所含水的质量之和二混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和
与水之和的比二混合后溶液所含纯酒精与水的比.
答：
甲取20kg，乙取30kg
IOjt十5卩二50
2十尹-—x50
Z5
所以10x=20,5y=30.
答：
甲取20kg，乙取30kg
总结升华：
此题的第
（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系,
解这类问题常用的相等关系是：
混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等.用它们来联
系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了•列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么•有时候需要设间接未知数,有时候需要设辅助未知数•类型十：
列二元一次方程组解决一一几何问题
C»10•如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分
别是多少？
思路点拨：
初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两
条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为X,宽为y,就可以列出关于X、y的二
元一次方程组.
解：
设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得:
2y
解得:
答：
每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm.
总结升华：
几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.
类型十一：
列二元一次方程组解决一一年龄问题
C>11•今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？
思路点拨：
解本题的关键是理解6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方
解：
设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得:
解箒
x=30
答：
父亲现在30岁，儿子6岁.
总结升华：
解决年龄问题，要注意一点：
一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）
类型十二：
列二元一次方程组解决——优化方案问题：
。
12•某地生产一种绿色蔬菜,
若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加
工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：
如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条
件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工万案
方案一：
将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：
尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：
将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成
你认为选择哪种方案获利最多？
为什么？
思路点拨：
如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题.本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流,尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣
解：
方案一获利为：
4500X140=630000（元）.
方案二获利为：
7500X（6X15）+1000X（140-6X15）=675000+50000=725000（元）.
方案三获利如下：
所以方案三获利为：
7500>60+4500>80=810000（元）.
x=60
[^=20
设将芒吨蔬菜进行精加工，匸吨蔬菜进行粗加工，贝肪根据题意，得:
三+2^15,解得:
1.615
因为630000V725000V810000，所以选择方案三获利最多
答：
方案三获利最多，最多为810000元.
总结升华：
优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方
案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案
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