整式的乘法与因式分解压轴题解析.docx
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整式的乘法与因式分解压轴题解析
整式的乘法与因式分解
【知识脉络】
【基础知识】
1．单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3a2b2×2abc=（3×2）×（a2b2×abc）=6a3b3c
2．单项式与多项式的乘法法则：
a（b+c+d）=ab+ac+ad
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
3．多项式与多项式的乘法法则：
（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
4．乘法公式：
①完全平方公式：
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
语言叙述：
两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．
②平方差公式：
（a＋b）（a－b）＝a2－b2
语言叙述：
两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
5．因式分解（难点）
因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
一、掌握因式分解的定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
二、熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
（1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
（2）提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（3）注意点：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式：
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
②完全平方公式：
a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
【典例解析】
例题1：
数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：
（a﹣1）（b﹣2）．现将数对（m，1）放入其中，得到数n，再将数对（n，m）放入其中后，最后得到的数是 ﹣m2+2m ．（结果要化简）
【考点】整式的混合运算．
【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果．
【解答】解：
根据题意得：
（m﹣1）（1﹣2）=n，即n=1﹣m，
则将数对（n，m）代入得：
（n﹣1）（m﹣2）=（1﹣m﹣1）（m﹣2）=﹣m2+2m．
故答案为：
﹣m2+2m
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例题2：
乘法公式的探究与应用：
（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）
（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是 a+b ，宽是 a﹣b ，面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）
公式1：
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
公式2：
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
（4）运用你所得到的公式计算：
10.3×9.7．
【考点】平方差公式的几何背景．
【分析】
（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；
（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；
（3）中的答案可以由
（1）、
（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反过来也成立；
（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．
【解答】解：
（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；
（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；
故答案为：
a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（3）由
（1）、
（2）得到，公式1：
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
公式2：
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
故答案为：
（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；
（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）
=102﹣0.32
=100﹣0.09
=99.91．
例题3：
如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2C．（b+a）2D．a2+2ab
考点：
勾股定理．
分析：
先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
解答：
解：
∵DE=b﹣a，AE=b，
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4××（b﹣a）•b
=b2+（b﹣a）2．
故选：
A．
点评:
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
例题4：
如图1，我们在2017年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为10×12﹣4×18=48，再选择其他位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．
（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为 24 ．
（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（k≥3），继续前面的探究，可以发现相应“十字差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．
（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2017，则这个十字星中心的数为 975 （直接写出结果）．
【考点】规律型：
数字的变化类．
【分析】
（1）根据题意求出相应的“十字差”，即可确定出所求定值；
（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1），理由为：
设十字星中心的数为x，表示出十字星左右两数，上下两数，进而表示出十字差，化简即可得证；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，根据相应的“十字差”为2017求出a的值即可．
【解答】解：
（1）根据题意得：
6×8﹣2×12=48﹣24=24；
故答案为：
24；
（2）定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；
证明：
设十字星中心的数为x，则十字星左右两数分别为x﹣1，x+1，上下两数分别为x﹣k，x+k（k≥3），
十字差为（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣k）（x+k）=x2﹣1﹣x2+k2=k2﹣1，
故这个定值为k2﹣1=（k+1）（k﹣1）；
（3）设正中间的数为a，则上下两个数为a﹣62，a+64，左右两个数为a﹣1，a+1，
根据题意得：
（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣62）（a+64）=2017，
解得：
a=975．
故答案为：
975．
【跟踪训练】
1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 a2+2ab+b2=（a+b）2 ．
2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？
3.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：
任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题
[2016年1月份的日历]
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
（1）计算：
（12+92）﹣（22+82）= 14 ，﹣= 14 ，自己任选一个有4个数的方框进行计算 14
（2）通过计算你发现什么规律，并说明理由．
5.已知（x+y）2=25，xy=
，求x﹣y的值．
6.已知
，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为 1 ．
7.①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为 2m﹣2m2+2m3 ．
② 6x2+5x﹣6 ÷（2x+3）=（3x﹣2）．
③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是3a2b﹣ab2，则小丽报的是 a﹣b ；若小丽报的是9a2b，则小玉报的整式是 27a3b2 ．
④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为 a+c m．
8.阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：
y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．
参考答案：
1.利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 a2+2ab+b2=（a+b）2 ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．
【解答】解：
两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，
所以a2+2ab+b2=（a+b）2．
【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．
2.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？
【考点】多项式乘多项式．
【分析】根据长乘以宽，表示出大长方形的面积，即可确定出三类卡片的张数．
【解答】解：
∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，
∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张．
3.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【考点】因式分解的应用．
【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．
【解答】解：
已知等式变形得：
（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，即（a﹣b）（a+b﹣c）=0，
∵a+b﹣c≠0，
∴a﹣b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故选：
C．
4.在日历上，我们发现某些数会满足一定的規律，比如2016年1月份的日历，我们设计这样的算法：
任意选择其中的2×2方框，将方框中4个位置上的数先平方，然后交叉求和，再相减请你按照这个算法完成下列计算，并回答以下问题
[2016年1月份的日历]
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
（1）计算：
（12+92）﹣（22+82）= 14 ，﹣= 14 ，自己任选一个有4个数的方框进行计算 14
（2）通过计算你发现什么规律，并说明理由．
【考点】整式的混合运算．
【分析】
（1）先算乘法，再合并即可；
（2）设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，根据题意得出算式[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]，求出即可．
【解答】解：
（1）（12+92）﹣（22+82）=1+81﹣4﹣64=14，
﹣=100+324﹣121﹣289=14，
（32+112）﹣（42+102）=9+121﹣16﹣100=14，
故答案为：
14；
（2）计算结果等于14，
理由是：
设最小的数字为n，则其余三个分别为n+8，n+1，n+7，
所以[n2+（n+8）2]﹣[（n+1）2+（n+7）2]
=n2+n2+16n+64﹣n2﹣2n﹣1﹣n2﹣14n﹣49
=14．
5.已知（x+y）2=25，xy=
，求x﹣y的值．
【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：
∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∴25=x2+y2+
，
∴x2+y2=
∵（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，
∴（x﹣y）2=
﹣
=16
∴x﹣y=±4
6.已知
，则（a+b）2﹣（a﹣b）2的值为 1 ．
考点：
因式分解-运用公式法．
分析：
首先利用完全平方公式展开进而合并同类项，再将已知代入求出即可．
解答：
解：
∵（a+b）2﹣（a﹣b）2
=（a2+2ab+b2）﹣（a2﹣2ab+b2）
=4ab，
∴将
，代入上式可得：
原式=4ab=4×
×
=1．
故答案为：
1．
点评：
此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．
7.①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为 2m﹣2m2+2m3 ．
② 6x2+5x﹣6 ÷（2x+3）=（3x﹣2）．
③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是3a2b﹣ab2，则小丽报的是 a﹣b ；若小丽报的是9a2b，则小玉报的整式是 27a3b2 ．
④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为 a+c m．
考点：
整式的混合运算．
分析：
①利用2m乘1﹣m+m2计算即可；
②把除式和商相乘即可；
③根据被除式÷商=除式，被除式=除式×商列式计算即可；
④利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等，而原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，得到4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，又此块地的宽为（a+b）米，根据矩形的面积公式得到此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b），把被除式分解后再进行除法运算即可得到结论．
解答：
解：
①2m（1﹣m+m2）=2m﹣2m2+2m3；
②（2x+3）（3x﹣2）=6x2+5x﹣6；
③（3a2b﹣ab2）÷3ab=a﹣b，
3ab•9a2b=27a3b2；
④∵原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，
∴将这4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，
而此块地的宽为（a+b）米，
∴此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b）
=（a2+ac+bc+ab）÷（a+b）
=[a（a+c）+b（a+c）÷（a+b）]
=（a+b）（a+c）÷（a+b）
=a+c．
故答案为：
2m﹣2m2+2m3；6x2+5x﹣6；a﹣b，27a3b2；a+c．
点评：
此题考查整式的混合运算，掌握计算方法是解决问题的关键．
8.阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：
y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．
考点：
因式分解的应用．
专题：
阅读型．
分析：
（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．
解答：
解：
（1）m2+m+4=（m+）2+
，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+
≥
．
则m2+m+4的最小值是
；
（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5．
点评：
此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
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