事件的概率与随机变量的分布函数.docx
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事件的概率与随机变量的分布函数
实验1 事件的概率与随机变量的分布函数
一、实验目的
熟悉事件与随机变量的概念，掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布。
理解事件概率、随机变量分布函数、分位数的计算。
熟悉sas系统求事件概率、随机变量分布函数、分位数的命令。
二、实验准备
（1） probnorm（x）
功能：
标准正态分布函数,计算标准正态随机变量小于x的概率。
（2） probchi（x,df,nc）
功能：
计算服从自由度为df,非中心参数为nc的卡方分布的随机变量小于x的概率。
（3） probgam（x,a）
功能：
计算服从形状参数为a的伽玛分布的随机变量小于给定x的事件的概率。
（4）probbeta（x,a,b）
功能：
计算服从形状参数为a和b的贝塔分布的随机变量小于给定x的事件的概率。
（5）probf（x,ndf,ddf,nc）
功能：
计算服从分子自由度ndf,分母自由度ddf的F分布的随机变量小于x的概率。
当分布是中心F分布时，取nc=0或省略。
自由度可以是小数。
（6）Probt（x,df,nc）
功能：
计算服从自由度df，非中心参数nc的t分布的随机变量小于x的概率，如果参数nc等于0或没有规定，计算的是中心t分布。
（7）Probbnml（p,n,m）
功能：
计算服从参数p和n的二项分布随机变量小于等于m的概率。
（8）Poisson（λ,n）
功能：
计算服从参数λ的泊松分布随机变量小于等于n的概率。
（9）probnegb（p,n,m）
功能：
计算服从参数p和n的负二项分布随机变量小于等于m的概率。
（10）probhypr（nn,m,n,x）
功能：
超几何分布的概率分布函数。
设有nn件产品，其中m件是次品，随机取出n件，n件中的次品数目服从超几何分布。
该函数给出次品数目小于等于x的概率。
（11）cinv（p,df,nc）
功能：
计算自由度df，非中心参数nc的卡方分布的p分位数，取nc=0或此项不写表示中心卡方分布。
（12）betainv（p,a,b）
功能：
计算参数为a和b的贝塔分布的p分位数。
（13）Finv（p,ndf,ddf,nc）
功能：
计算分子自由度ndf，分母自由度ddf，非中心参数nc的f分布的p分位数。
中心f分布的情况，取nc=0或不规定nc。
（14）Tinv（p,df,nv）
功能：
计算自由度df，非中心参数nc的t分布的p分位数，中心t分布的情况，取nc=0或不规定nc。
（15）Probit（p）
功能：
计算标准正态分布函数的分位数，它是概率函数probnorm的反函数
（16）gaminv（p,a）
功能：
计算伽玛分布的分位数。
三、实验任务
● 基础实验部分：
数学软件sas命令操作
1、设随机变量X~N（0,1），计算
（1）P（X≤-1.2）
（2）P（1.2≤X≤3） （3）P（|X|<2）
2、设随机变量X~N（1,4），计算
（1）P（1.2≤X≤4）
（2）P（X≤0） （3）P（X≥4）
3、设随机变量X~B（20,0.4），计算
（1）P（X=0）
（2）P（X=1） （3）P（X=2） （4）P（X≤6） （5）P（X>10）
（6）P（X≥15）
4、设随机变量X服从参数为3的泊松分布，计算
（1）P（X=2）
（2）P（X=3） （3）P（X≤6） （4）P（X>10） （5）P（X≥8）
5、设随机变量X服从自由度为5的卡方分布，计算
（1）P（X<6）
（2）P（X>10）
6、设随机变量X服从自由度为3和4的F分布，计算
（1）P（X<10）
（2）P（X>12）
7、设随机变量X服从自由度为5的t分布，计算
（1）P（X<0.9）
（2）P（X>3）
8、设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），
（1）P（X≤a）=0.3，求a
（2）P（X>b）=0.1，求b （3）P（|X|≤c）=0.9，求c
探索实验部分：
9、用sas系统检验卡方分布的上分位数具有下列性质：
当n充分大时，
（提示：
对
，90≤n≤100进行检验）
10、用sas系统检验F分布的上分位数具有下列性质：
（提示：
对
，1≤n1，n2≤10进行检验）
11、用sas系统检验泊松定理：
当p很小（一般要求p≤0.1），n较大（通常n≥10）时，
（提示：
对
，n=100，k=10,…,20进行检验）
应用实验部分：
12、一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某
学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？
13、对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最
可能命中几次？
其相应的概率是多少？
14、设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一
台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法：
其一，由4人维护，每人负责20台
其二，由3人,共同维护80台.
试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。
四、实验过程
1、
（1）data a1;
y=round（probnorm（-1.2）,0.0001）;
puty ;
run;
结果为：
0.1151
（2）data a2;
x=probnorm（3）-probnorm（1.2）;
y=round（x,0.0001）;
puty ;
run;
结果为：
0.1137
（3）data a3;
x=2*probnorm
（2）-1;
y=round（x,0.0001）;
puty ;
run;
结果为：
0.9545
2、
（1）data a4;
x=probnorm（（4-1）/2）-probnorm（（1.2-1）/2）;
y=round（x,0.0001）;
puty;
run;
结果为：
0.3934
（2）data a5;
x=probnorm（（0-1）/2）;
y=round（x,0.0001）;
puty;
run;
结果为：
0.3085
（3）data a6;
x=1-probnorm（（4-1）/2）;
y=round（x,0.0001）;
puty;
run;
结果为：
0.0668
3、
（1）dataa7;
x=probbnml（0.4,20,0）;
putx;
run;
结果为：
0.0000365616
（2）dataa8;
x=probbnml（0.4,20,1）-probbnml（0.4,20,0）;
putx;
run;
结果为：
0.0004874878
（3）dataa9;
x=probbnml（0.4,20,2）-probbnml（0.4,20,1）;
putx;
run;
结果为：
0.0030874227
（4）dataa10;
x=probbnml（0.4,20,6）;
putx;
run;
结果为：
0.2500106719
（5）dataa11;
x=1-probbnml（0.4,20,10）;
putx;
run;
结果为：
0.1275212461
（6）dataa12;
x=1-probbnml（0.4,20,14）;
putx;
run;
结果为：
0.0016115246
4、
（1）dataa13;
x=poisson（3,2）-poisson（3,1）;
putx;
run;
结果为：
0.2240418077
（2）dataa14;
x=poisson（3,3）-poisson（3,2）;
putx;
run;
结果为：
0.2240418077
（3）dataa15;
x=poisson（3,6）;
putx;
run;
结果为：
0.9664914647
（4）dataa16;
x=1-poisson（3,10）;
putx;
run;
结果为：
0.000292337
（5）dataa17;
x=1-poisson（3,7）;
putx;
run;
结果为：
0.0119045039
5、
（1）dataa18;
x=probchi（6,5）;
putx;
run;
结果为：
0.6937810816
（2）dataa19;
x=1-probchi（10,5）;
putx;
run;
结果为：
0.0752352461
6、
（1）dataa20;
x=probf（10,3,4）;
putx;
run;
结果为：
0.9750897266
（2）dataa21;
x=1-probf（12,3,4）;
putx;
run;
结果为：
0.0181127865
7、
（1）dataa22;
x=probt（0.9,5）;
putx;
run;
结果为：
0.7953143998
（2）dataa23;
x=1-probt（3,5）;
putx;
run;
结果为：
0.0150496239
8、
（1）dataa24;
x=probit（0.3）;
putx;
run;
结果为：
-0.524400513
（2）dataa25;
x=probit（1-0.1）;
putx;
run;
结果为：
1.2815515655
（3）dataa26;
x=probit（0.9+（1-0.9）/2）;
putx;
run;
结果为：
1.644853627
data a27;
don=90to100;
x=cinv（0.95,n）;
y=（（probit（0.95）+sqrt（2*n-1））**2）/2;
z=abs（x-y）;
putz;
end;
run;
结果为：
0.2858567298
0.2858536407
0.2858505489
0.2858474557
0.2858443618
0.2858412684
0.2858381763
0.2858350863
0.2858319992
0.2858289156
0.2858258364
很显然，当n充分大时，原分位数公式近似相等，误差不超过0.3。
如果我们进一步将公式修正为效果会更好。
10、data a28;
don1=1to10;
don2=1to10;
x=finv（0.05,n1,n2）;
y=finv（0.95,n2,n1）;
z=x*y;
putz;
end;
end;
run;
结果为：
1，原公式正确。
该公式适用于查阅f分布分位数表。
11、dataa29;
dok=10to20;
x=probbnml（0.05,100,k）-probbnml（0.05,100,k-1）;
y=poisson（100*0.05,k）-poisson（100*0.05,k-1）;
z=abs（x-y）;
putz;
end;
run;
运行结果为：
0.0014169046
0.0010439491
0.0006244058
0.000319787
0.0001443172
0.0000584453
0.0000215142
7.268483E-6
2.271101E-6
6.604449E-7
1.7970215E-7
说明泊松定理成立。
12、
（1）问题分析：
每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，
A={答对一道题目}，P（A）=1/4
则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．
XX文库-让每个人平等地提升自我设X表示该学生答对的题数，则X~B（5,0.25）
则P（至少能答对4道题）=P（X≥4）
（2）实验步骤
data a30;
x=1-probbnml（0.25,5,3）;
putx;
run;
结果为0.015625，即靠猜测至少能答对4道题的概率是0.015625。
13、
（1）问题分析
对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验．令：
X表示300次射击中命中目标次数。
由题意，X~B（300,0.44）
我们可以求出命中k次的概率，k=0，1，……，300，比较大小即可。
（2）实验步骤
dataa31;
dok=0to300;
p=probbnml（0.44,300,k）;
q=1-p;
ifk=0thend=p;
else d=probbnml（0.44,300,k）-probbnml（0.44,300,k-1）;
output;
end;
procsort;
bydescendingd; /* 按照变量d的降序排列 */
run;
dataaaa1;
don=1,2;
seta31point=n; /*point语句表示观测的序号*/
output;
end;
stop;
run;
procprintnoobs;
varkd;
run;
输出结果为:
K D
132 0.046362
131 0.046087
即求300次射击最可能命中132次,其相应的概率是0.046362。
14、
（1）问题分析
按第一种方法：
以X记“第1人负责的20台中同一时刻发生故障的台数”，则X~B（20，0.01）.
以Ai表示事件“第i人负责的台中发生故障不能及时维修”，则80台中发生故障而不能及时维修的概率为：
P（A1∪A2∪A3∪A4）≥P（A1）=P（X≥2）
按第二种方法:
：
以Y 记80台中同一时刻发生故障的台数， 则Y~B（80，0.01）. 故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：
P（Y≥4）
我们只要比较二者的大小即可。
（2）实验步骤
dataa32;
x=1-probbnml（0.01,20,1）;
y=1-probbnml（0.01,80,3）;
d=x-y;
putxyd;
run;
在log窗口我们可以看见，xyd的取值分别为：
0.01685933760.00865918890.0082001487
第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维修工人减少一人。
运用概率论讨论国民经济问题，可以有效地使用人力、物力资源。
五、思考与提高
1、如何输出二项分布表？
2、如何输出标准正态分布表？
3、如何验证卡方分布的可加性？
4、如何考察超几何分布与二项分布的关系？
六、练习内容
1、设随机变量X~N（0,1），计算
（1）P（X≤1）
（2）P（0≤X≤1） （3）P（|X|<1）
2、设随机变量X~N（3,4），计算
（1）P（2≤X≤5）
（2）P（-4≤X≤10） （3）P（|X|≥2）
3、设随机变量X~B（15,0.3），计算
（1）P（X=0）
（2）P（X=5） （3）P（X≤5） （4）P（X>10）
4、设随机变量X服从参数为6的泊松分布，计算
（1）P（X=2）
（2）P（X≤6） （3）P（X>10） （4）P（X≥8）
5、设随机变量X服从自由度为5和6的F分布，计算
（1）P（X<14）
（2）P（X>4）
6、设随机变量X服从自由度为7的t分布，计算
（1）P（X<5）
（2）P（X>5）
7、设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），
（1）P（X≤a）=0.3，求a
（2）P（X>b）≥0.9，求b的范围（3）P（|X|≤c）=0.7，求c
8、由一家商店过去的销售记录知，某商品每月销售数目x服从参数为10的泊松分布，为了
能以95%以上的把握保证下月该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件（假定月
底无库存）？
9、从积累的资料看，某厂生产的产品中，合格品为90%，现在从该厂生产的1000件产品中
随机抽取20件检查，求：
（1）恰有18件合格品的概率；
（2）合格品不超过18件的概率
10、甲乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为0.6，问对甲而言，才用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利。
设各局胜负相互独立。
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