部分数学奥赛题思路详细分解.docx

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部分数学奥赛题思路详细分解

部分奥赛解题思路详细分解

1分类

　　分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数（数个数的问题中，分类的方法是很常用的。

　　【例1】数一数，图1-1中共有多少条线段？

　　【分析与解】图1-1中的线段可分为这样几类：

（1）以A为左端点的线段共4条，分别是：

　　AB，AC，AD，AE；

（2）以B为左端点的线段共3条，分别是：

　　BC，BD，BE；

　　（3）以C为左端点的线段共2条，分别是：

　　CD，CE；

　　（4）以D为左端点的线段有1条，即DE。

一共有线段

　　4+3+2+1=10（条）。

　　还可以把图1-1中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。

“基本线段”指AB、BC、CD、DE这样的线段，它们的两个端点之间没有标出其它的分点。

按所含“基本线段”来分类，也是4类：

（1）只含1条基本线段的，共4条：

　　AB，BC，CD，DE；

（2）含有2条基本线段的，共3条：

　　AC，BD，CE；

　　（3）含有3条基本线段的，共2条：

AD，BE；

　　（4）含有4条基本线段的，有1条，即AE。

　　分类，对于计数来说十分重要，因为当计数的对象没有规律地交错排列时，它能使我们的思考方向明确，条理清晰，而不容易发生差错。

　　【例2】数一数，图1-2中

　　共有多少个正方形？

　　【分析与解】图中的正方形可以分为两大类，第一类是“不斜的”，第二类是“斜着的”。

在“不斜的”正方形中，又可分4类：

　　①边长是4个单位的1个；

　　②边长是3个单位的4个；

　　③边长是2个单位的9个；

　　④边长是1个单位的16个。

　　共有1+4+9+16=30（个）

　　斜着的正方形共有多少个呢？

　　我们还是先分类。

分类之前，应当注意到这样一个图（图1-3），中间画实线的部分与图1-2中不含斜线（不斜的）部分相同。

因此，在“斜着的”正方形中，也可分4类，但边长是1个单位、边长是2个单位的比“不斜的”多，边长是3个单位、4个单位的与“不斜的”同样多，它们分别是：

　　①边长是4个单位的1个；

　　②边长是3个单位的4个；

　　③边长是2个单位的（9+4=）13个；

　　④边长是1个单位的（16+8=）24个。

　　斜着的正方形共有

　　（1+4+9+16）+（4+8）=42（个）。

　　因此，图1-2中的正方形一共有

　　30+42=72（个）。

　　【例3】如图1-4，平面上有9个点，任意相邻两点之间的距离都相等，如果把其中任意几个点连起来，可得到各种图形。

问：

（1）可连成多少正方形？

（2）可连成多少长方形？

（3）可以组成多少直角三角形？

　　【分析与解】

（1）可连成的正方形共有3类：

边长是1个单位的，共4个；边长是2个单位的，有1个；边长等于小正方形对角线长的（斜的）有1个。

所以，共可连成正方形：

　　4+1+1=6（个）

（2）可连成的长方形共有两类，一类是正方形（因为正方形是特殊的长方形），另一类是长和宽不等的长方形，有4个。

所以共可连成的长方形有：

　　6+4=10（个）

　　（3）可组成的直角三角形有两类：

　　一类是，以每个长方形（包括正方形在内的）4个顶点为直角顶点（如图5、图6中阴影部分），这样的直角三角形每个正方形中都包含4个，一共有：

　　（6+4）×4=40（个）

　　另一类是，以图1-4中第二行中间那个点为直角顶点（如图1-7中阴影部分），这样的直角三角形共有：

　　1×4=4（个）

　　因而，用图1-4中的点共可连成直角三角形：

　　40+4=44（个）

　　请读者想一想：

任意一个正方形（如图1-8），作出它的两条对角线以后可组成的直角三角形应当是8个，其中以4个顶点为直角顶点各1个，以对角线的交点为直角顶点有4个。

为什么在上面的“分析”中只举出4个。

是不是有遗漏？

为什么？

　　【例4】数一数，图1-9中共有____个梯形。

　　【分析与解】要数出图中梯形的个数，首先要弄清楚图中的梯形共有几类。

根据梯形的概念（一组对边平行，另一组对边不平行的四边形），图1-9中的梯形可分为4类：

（1）上底、下底与BC平行，并且上底短、下底长的；

（2）上底、下底与BC平行，并且上底长、下底短的；（3）上底、下底与AB平行的；（4）上底、下底与DC平行的。

　　在第

（1）类中，又可把这些梯形分成4小类（假设AD的长为1个单位）：

　　①下底长是5个单位的，有：

　　4×1=4（个）

　　它们都以BC为下底，AD、EF、GH、IJ为上底；

　　②下底长是4个单位的，有：

　　3×（2+1）=9（个）

　　它们分别以BL、KC和IJ为下底，对于每个下底，上底都有三种可能。

比如，以BL为下底的梯形，上底可为IM、GN、EO；

　　③下底长是3个单位的，有：

　　2×（3+2+1）=12（个）

　　它们分别以BQ、KL、PC、IM、SJ、GH为下底，对每个下底，上底都有两种可能；

　　④下底长是2个单位的，有：

　　1×（4+3+2+1）=10（个）

　　所以，第

（1）类梯形共有：

　　4+9+12+10=35（个）

　　用同样的方法，我们可以数出第

（2）类梯形（底与BC平行，上底长、下底短的）有：

　　1+4+6=11（个）

　　它们的上底分别为4个单位、3个单位、2个单位；第（3）类梯形、第（4）类梯形各有36个。

从而，得到图1-9中共有梯形：

　　35+11+36+36=118（个）

　　想一想：

对于第（3）类和第（4）类，我们没有像第

（1）、

（2）两类那样，按上底长、下底短和上底短、下底长再作分类，这样会不会遗漏一部分梯形？

为什么？

　　其实，除了数图形之外，其它的计数问题也离不开“分类”这种重要的思路。

　　【例5】在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数？

分别是哪几个数？

　　【分析与解】在算盘上，上珠一个表示5，下珠一个表示1。

根据这两点，可以把两粒珠子在算盘上的位置分为3类：

（1）都为上珠时，组成505，550；

（2）都为下珠时，组成101，110，200；

　　（3）一个上珠、一个下珠时，组成510，501，105，150，600。

　　【例6】从1，2，3，……，99，100中，选出两个数相加，使它们的和大于100，共有多少种不同的选法？

　　【分析与解】我们把“选数”看作一件事，做这件事可有99类方法。

第1类，第一个数选1，那么第二个数只能选100，共1种选法；第2类，第一个数选2，第二个数可选100，也可选99，共2种选法；……依此类推，99类选数方法如下：

　　………………

　　第98类（98，99）、（98，100）2种

　　第99类（99，100）1种

　　一共有：

　　1+2+3+……+49+50+49+48+……+2+1

　　=2500（种）

　　不同的方法。

　　在例2的分析中，关键是怎样正确地分类。

我们这里分类的标准是：

每次选的两个数中，总是后一个比前一个大。

为什么后一个不能比前一个小或与前一个相等呢？

这是为了防止重复。

比如在第50类中选了（50，51），在第51类中不能再选（51，50），因为（50，51）与（51，50）是一种选法。

也正由于这个原因，到了第51类以后，选法越来越少了。

　　【例7】有一种用六位数表示日期的方法，例如，用950208表示1995年2月8日。

用这种方法表示1994年全年的日期，那么，全年中六位数字都不相同的日期共有____天。

　　【分析与解】1994年全年的日期用六位数表示，头两位数字一定是“94”，因此9月份和4月份的所有日期都不符合要求。

11月份的所有日期也不符合要求。

所以，只依次有1、2、3、5、6、7、8、10、12这九个月中的一些日期符合要求分九类一一列举（如下表）：

　　续上表

　　分类计数的关键是正确分类，要做到“正确”，应考虑两条：

（1）分类要全。

分类不全，就会造成遗漏。

在上面的例4中，如果稍不留心，就会忘记第3类和第4类。

分类确定后，要把每一类

　　中的每一个符合要求的对象都列举出来。

（2）分类要清。

如果分不清，第1类中有第2类，互相包含，那就会重复。

例6中，我们强调了分类的标准是“后一个数比前一个大”，正是为了防止重复。

不然的话，后面列举的数对就会与前面列举过的重复了。

　　【思考题】

　　1.数一数，图1-10中，共有多少个三角形？

　　[提示：

分“尖向上”、“尖向下”两大类，“尖向上”的三角形与“尖向下”的三角形同样多。

“尖向上”的三角形又可分为3类，其中边长为1个单位的有“3+4+3+2”个；边长为2个单位的有“3+2+1”个；边长为3个单位的有1个。

]

　　2.有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：

厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。

如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形？

　　[提示：

要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。

设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：

①a、b只能取1～11的自然数；②三角形任意两边之和大于第三边。

]

2化大为小找规律

　　我们先来看一个大数目的计算问题：

计算自然数中小于10000的所有奇数的和。

　　本题实际上就是计算下式的结果：

　　1+3+5+…+9995+9997+9999

　　由于1至10000这10000个自然数中，奇数与偶数各占一半，所以上式中共有5000个加数。

　　5000个数太多，逐个相加太麻烦。

多的不会，想少的，观察下列特殊情况：

　　1+3=4=22

　　1+3+5=9=32

　　1+3+5+7=16=42

　　1+3+5+7+9=25=52

　　……

　　从上面这组算式不难发现这样一条规律：

从1开始连续n个奇数的和，恰好等于n2。

这样，我们只要知道小于10000的奇数共有多少个，就可以直接写出得数了。

　　我们知道，从1开始的连续偶数个自然数中，奇数、偶数各占一半，所以，小于10000的自然数中，奇数共有5000个。

因此

　　1+3+5+7+……+9995+9997+9999

　　=50002

　　=25000000

　　在解决上面这个问题时，我们体会到：

　　对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。

　　这就是解数学题常用的一种方法，叫做归纳，我们也可以叫做“化大为小找规律”。

　　【分析与解】我们可以先来计算11×99、111×999、1111×9999，看看它们的积各是多少，它们积里各有多少个数字是偶数。

　　11×99=1089（有2个数字是偶数。

）

　　111×999=110889（有3个数字是偶数。

）

　　1111×9999=11108889（有4个数字是偶数。

）

　　是偶数。

　　通过计算，可知

　　是偶数。

　　从上面4个算式的结果中，我们可以找到一个规律：

几个1乘以相同个数的9，它的乘积，中间有1个0；在0的前面是若干个1，个数比被乘数1的个数少1；在0的后面是若干个8，个数与积中1的个数同样多；积的最末位是9。

积里的偶数（包含1个0和若干个8）的个数和被乘数1或乘数9的个数同样多。

　　根据这一规律，我们可以推想：

　　这个积里有1个0及19个8，有20个数字是偶数。

【例2】数一数，图2-1中共有多少个正方形？

　　【分析与解】我们把图2-1先放在一边，来看图2-2和图2-3、图2-4中的正方形分别有多少个。

　　在图2-2中，边长为1的正方形有4个，边长为2的正方形有1个，一共是：

　　1+4=5（个）

　　在图2-3中，边长为1的正方形有9个，边长为2的正方形有4个，边长为3的正方形有1个，一共是：

　　1+4+9=14（个）

　　在图2-4中，边长为1、2、3、4的正方形分别有16个、9个、4个、1个，一共是：

　　1+4+9+16=30（个）

　　现在，我们发现了规律：

当正方形中相邻两个边被分为n等份，以每个等分点为端点，作与它相邻的另一条边的平行线。

由这些平行线所组成的正方形（包括原来那个最大的正方形）的总个数是：

　　12+22+32+……+n2

　　根据这条规律，可算出图2-1中正方形总个数是：

　　1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=385（个）

　　【例3】计算

　　【分析与解】上面的加法算式中共有99个加数，而且这些分数的分母越来越大，通分显然不是好办法。

还是用“化大为小”的方法试试吧。

　　写到这里，规律已经出现了：

如果算式中的加数共有n个，那么，计算结果（一个分数）的分子就是n，分母就是n+1。

由此，可直接写出本题的答案

　　不过，要提醒同学们注意的是：

当你找到了规律之后，不要急于马上就去套用，还得先检验一下，看这个规律是不是“灵”。

如果不灵，那就要多举几个例子，并对已经总结的结论加以修正。

　　【例4】将自然数1，2，3，4，……像图2-5那样按顺序排列起来。

在最上面一行中，从左到右第100个数是____；在最左边一列中，从上到下第100个数是____。

　　【分析与解】先仔细观察最上面一行靠最左边的几个数，看它们的排列有什么规律。

　　第1列是a1=1=1

　　第2列是a2=3=1+2

　　第3列是a3=6=1+2+3

　　第4列是a4=10=1+2+3+4

　　……

　　现在可以发现规律了。

　　第100列是a100=1+2+3+4+5+…+99+100

　　=（1+100）×100÷2

　　=5050

　　5050就是最上面一行中从左到右的第100个数。

　　再来看最左边一列数从上到下的排列规律。

　　第2行是b2=2=1+1=a1+1

　　第3行是b3=4=3+1=a2+1

　　第4行是b4=7=6+1=a3+1

　　第5行是b5=11=10+1=a4+1

　　……

　　现在，可以得出最左边一列的各个数与最上面一行数之间有一种对应关系，那就是：

　　bn=an-1+1

　　知道an-1是多少，也就知道bn是多少。

要求最左边一列的第100个数b100，应先算出a99。

　　a99=a100-100

　　=5050-100

　　=4950

　　所以，b100=a99+1

　　=4950+1

　　=4951

　　【例5】有甲乙两个水杯，甲杯有水1千克，乙杯是空的。

第一次将甲

样来回倒下去，一直倒了1995次之后，甲杯里的水还剩（）千克。

　　【分析与解】我们先不考虑倒1995次后甲杯中有多少水，还是先看前几次的情况（列出一个表更容易看出规律）。

　　续上表

　　规律出现了：

第奇数次倒过之后，甲杯中的水与乙杯相等。

1995是个奇数，所以倒了第1995次后，甲杯中的水仍为500克。

　　再举一个大家很熟悉的例子。

　　【例6】10条直线最多可把一个长方形分成多少块？

　　【分析与解】先不考虑10条直线，而是先看1条、2条、3条直线能把一个长方形分成几块？

　　如图2-6，一条直线最多可把长方形分成两块。

也就是a1=2；

　　再添一条直线，即2条直线（如图2-7）可把长方形分成几块呢？

要注意“最多”二字，它要求这条添上去的直线必须同前一条直线相交，而不能平行。

这样，两条直线最多可把长方形分成

　　2+2=4（块）

　　也就是a2=4=2+2。

　　在图2-7再添一条直线，这条直线既不能经过已有的两条直线的交点，也不能与其中一条平行（如图2-8），它使图2-7中的3块再一分为二（增加了3块）。

这样，三条直线最多可把长方形分成

　　4+3=7（块）

　　也就是：

a3=7=4+3

　　现在，我们发现这样的规律：

　　an=an-1+n

　　因此，a10=a9+10

　　=a8+9+10

　　=a7+8+9+10

　　=………

　　=a1+（2+3+4+5+6+7+8+9+10）

　　=2+54

　　=56（块）

　　这就是说，10条直线可把长方形分为56块。

　　【思考题】

　　1.求13+23+33+43+……+103的值。

　　[提示：

写出下列各式

　　13+23=1+8=9=（1+2）2

　　13+23+33=9+27=36=（1+2+3）2

　　13+23+33+43=36+64=100=（1+2+3+4）2

　　…………

　　从这组等式中发现：

　　13+23+33+……+n3=（1+2+3+……+n）2。

]

　　2.有一个1000位的数，它的各位数字都是2，这个数除以6的余数是几？

　　[提示：

从最简单的情况算起：

　　（1位数）2÷6=0……2

　　（2位数）22÷6=3……4

　　（3位数）222÷6=37

　　（4位数）2222÷6=370……2

　　（5位数）22222÷6=3703……4

　　（6位数）222222÷6=37037

　　算到这里，规律已经很明显了

　　当位数是3的倍数时，余数为0；

　　当位数是3的倍数多1时，余数为2；

　　当位数是3的倍数多2时，余数为4。

　　3.求图2-9中所有数的和

　　1234……100

　　2345……101

　　3456……102

　　4567……103

　　………………………

　　100101102103……199

　　[提示：

先算图2-10、图2-11中所有数的和。

　　从图2-10中，可算出所有各数的和是：

　　4×4×4=43=64

　　从图2-11中，可算出所有各数的和是：

　　5×5×5=53=125]

3从一点突破

　　你见过建筑工人在墙上开洞装上窗户吗？

一面用砖砌成的墙，本来是挺结实的，要在上面开洞并不太容易。

通常的做法是先敲开一块砖，这块砖被敲开后，它的上、下、左、右4块砖就容易敲了，然后逐渐向外扩张，一个窗户的地方就留出来了。

先敲开一块砖，也就是先找一个突破口。

解一些数学题，常常需要从一点突破。

　　【例1】如图3-1，a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字。

问它们分别代表什么数字？

　　【分析与解】图中的字母a代表一个被除数，它和g都可写成另两个数的乘积，因而这两个字母的取值范围比其它字母要小一些。

我们选择字母a（或g）作为推理的突破口比较好。

（1）由于8个字母代表的数字互不相同，所以，a只能取6或8（如果取4，要么d=e，要么a=e）。

这样，a÷d=e这个除式只可能是：

　　8÷4=2或8÷2=4

　　或6÷2=3或6÷3=2

（2）如果a÷d=e代表8÷2=4或6÷2=3，那么f无值可取。

这就是说，除式a÷d=e只可能是

　　8÷4=2或6÷3=2

　　（3）如果取8÷4=2，f可取3，g=6，c、h只能分别取1和5。

但是，如果c=5，b只能取3（与f重复），不行。

只有c=1，h=5，b=7

　　如果取6÷3=2，f取4，g取8，用同样道理可推出：

b=5，c=1，h=7

　　【例2】下面的算式中，不同字母代表不同的数字，解出这个算式谜。

　　【分析与解】解算式谜，我们一般把最容易下手的地方作为推理的突破口。

这里最容易下手的地方是“先确定A”。

　　第一步A=E-E=0。

　　第二步因为A=0，从第一次减法百位上看，B=10-B或9-B（被十位上借出了1）。

所以，B=5。

　　第三步因为B=5，所以C=4。

　　=8，I=9。

　　第六步剩下的没有用过的数字只有l、2、3、6、7。

F=1时，F×9的个位为9，9已经出现过，不合要求，所以F不是1。

2×9=18，3×8=24，6×9=54，8、4都已出现过，所以F不能为2、3、6，从而F=7。

7×9=63，所以G=3。

H=C-G=4-3=1。

又因为7×8=56，所以E=6。

　　在上述过程中，我们可逐步将字母换成已经求出的数字，最后得到

　　【例3】把100个桔子分别装在6只篮子里，每只篮子里所装的桔子数，都要是含有数字“6”的数。

该如何装？

　　【分析与解】这个分装桔子的问题，实际上就是把100分拆成6个数相加，使6个加数必须都含有数字“6”。

　　由于100的个位数字是0，所以这6个加数的个位数字不能都是6（不然的话，它们和的个位数字是6）。

看来，从个位数字上下手比较容易突破。

由于每个加数都要含有数字“6”，“6”不在个位上，必定在十位上，但是这6个数的十位数字之和不能超过10，所以它们的十位数字最多有1个为6，这样，就可以推出，有5个数个位数字是6，1个数十位数字是6。

因为5个个位数字是6的数相加，和的个位是0，所以十位是“6”的数就是60，而60+6+6+6+6+6=90，比100还少10。

所以，这6个数只能是60，16，6，6，6，6。

　　【例4】油库里有6桶油，分别是汽油、柴油和机油，用秤称得每桶油重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克。

但不知道每只桶里各装的是哪种油。

已知柴油的总重量是机油的2倍，汽油只有一桶。

问6个桶内各装的是什么油？

　　【分析与解】①因为柴油总重量是机油的2倍，所以柴油与机油的重量和一定是3的倍数。

而6桶油（把汽油也包括进去）的总重量是15+16+18+19+20+31=119（千克），119=39×3+2。

这就容易推出汽油的重量被3除余2。

从“重量被3除余2”这一点，可以先作突破，找出哪一桶是汽油。

在15，16，18，19，20，31中，除以3余2的只有20。

所以，汽油的重量是20千克。

　　②剩下的5桶油一共重:

　　15+16+18+19+31=99（千克）

　　其中机油的重量为：

　　99÷3=33（千克）

　　柴油的重量为：

　　33×2=66（千克）

　　在剩下的五个数15、16、18、19、31中，只有15+18=33，所以重15千克、18千克这两桶内装的是机油；最后剩下的三桶油是柴油。

　　【例5】A、B、C、D是从小到大排列的四个不同的自然数，把它们两两求和，分别得出下面的五个不同的和数：

21，23，24，25，27。

求原来四个数的平均数。

　　【分析与解】四个数两两相加，应该得到六个和数，而现在只出现五个不同的和数，说明这六个和数当中有两个相等，如果能找出这个相等的和数，找到了这个相等的和数，也就找到了解决问题的突破口。

　　因为A、B、C、D这四个数是按从小到大排列的，所以由“B＜C”可以推知A+B＜A+C。

从而，可进一步推知

　　A+B＜A+C＜B+C

　　A+D＜B+D＜C+D

　　它们当中有两个和数相等，那只能是B+C和A+D了，由此推出六个和数应该是21，23，24，24，25，27。

　　在把A、B、C、D这四个数两两相加，得出六个和数的过程中，A、B、C、D各用了3次，所以A、B、C、D的平均数应为（21+23+24+24+25+27）÷3÷4=12

　　【例6】如图3-2，把1～7七个数字分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。

　　【分析与解】我们从图中可以看出：

中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”。

因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来。

这样，根据题目中“每条直线上的三个数