考点整合与训练第十二章 推理与证明算法复数 第2节 直接证明与间接证明.docx

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考点整合与训练第十二章推理与证明算法复数第2节直接证明与间接证明

第2节　直接证明与间接证明

最新考纲　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.

知识梳理

1.直接证明

内容

综合法

分析法

定义

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止

实质

由因导果

执果索因

框图表示

→→…

→

→→…

→

文字语言

因为……所以……或由……得……

要证……只需证……即证……

2.间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.

（1）反证法的定义：

假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法.

（2）用反证法证明的一般步骤：

①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.

[微点提醒]

1.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件.

2.综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法.

3.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.（　　）

（2）用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a

（3）反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.（　　）

（4）在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.（　　）

解析　

（1）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件.

（2）应假设“a≤b”.

（3）反证法只否定结论.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2.（选修2－2P89练习T1改编）对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝（　　）

A.2sinθB.2cosθC.sin2θD.cos2θ

解析　因为cos4θ－sin4θ＝（cos2θ－sin2θ）（cos2θ＋sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ，故选D.

答案　D

3.（选修2－2P89练习T2改编）若P＝＋，Q＝＋（a≥0），则P，Q的大小关系是（　　）

A.P>QB.P＝Q

C.P

解析　假设P>Q，只需P2>Q2，即2a＋13＋2>2a＋13＋2，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40.因为42>40成立，所以P>Q成立.故选A.

答案　A

4.（2019·昆明调研）若a，b，c为实数，且a

A.ac2ab>b2

C.

解析　a2－ab＝a（a－b），∵a0，∴a2>ab.①

又ab－b2＝b（a－b）>0，∴ab>b2，②

由①②得a2>ab>b2.

答案　B

5.（2019·厦门月考）用反证法证明：

若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是（　　）

A.假设a，b，c都是偶数

B.假设a，b，c都不是偶数

C.假设a，b，c至多有一个偶数

D.假设a，b，c至多有两个偶数

解析　“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确.

答案　B

6.（2019·合肥月考）下列条件：

①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________.

解析　要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立.

答案　①③④

考点一　综合法的应用　

典例迁移

【例1】（经典母题）设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：

（1）ab＋bc＋ca≤；

（2）＋＋≥1.

证明　

（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，

得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得（a＋b＋c）2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，

所以3（ab＋bc＋ca）≤1，即ab＋bc＋ca≤，

当且仅当“a＝b＝c”时等号成立.

（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立，

故＋＋＋（a＋b＋c）≥2（a＋b＋c），

则＋＋≥a＋b＋c.

所以＋＋≥1.

【迁移探究】本例的条件不变，证明a2＋b2＋c2≥.

证明　因为a＋b＋c＝1，

所以1＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，

因为2ab≤a2＋b2，2bc＝b2＋c2，2ac≤a2＋c2，

所以2ab＋2bc＋2ac≤2（a2＋b2＋c2），

所以1≤a2＋b2＋c2＋2（a2＋b2＋c2），

即a2＋b2＋c2≥.

规律方法　1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.

2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.

【训练1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.

（1）求证：

a，b，c成等差数列；

（2）若C＝，求证：

5a＝3b.

证明　

（1）由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，

因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，

由正弦定理，得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列.

（2）由C＝，c＝2b－a及余弦定理得

（2b－a）2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，

所以＝，即5a＝3b.

考点二　分析法

【例2】已知a>0，证明：

－≥a＋－2.

证明　要证－≥a＋－2，只要证＋2≥a＋＋.

因为a>0，故只要证≥，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，

从而只要证2≥，

只要证4≥2，

即a2＋≥2，

而上述不等式显然成立，故原不等式成立.

规律方法　分析法的证明思路：

先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.

【训练2】已知a>5，求证：

－<－.

证明　要证－<－，

只需证＋<＋，

只需证（＋）2<（＋）2，

只需证2a－5＋2<2a－5＋2，

只需证<，

只需证a2－5a

只需证0<6，

因为0<6恒成立，

所以－<－成立.

考点三　反证法

【例3】设{an}是公比为q的等比数列.

（1）推导{an}的前n项和公式；

（2）设q≠1，证明：

数列{an＋1}不是等比数列.

（1）解　设{an}的前n项和为Sn，

则Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，

两式相减得（1－q）Sn＝a1－a1qn＝a1（1－qn），

当q≠1时，Sn＝，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1，

所以Sn＝

（2）证明　假设数列{an＋1}是等比数列，

则（a1＋1）（a3＋1）＝（a2＋1）2，

即a1a3＋a1＋a3＋1＝a＋2a2＋1，

因为{an}是等比数列，公比为q，

所以a1a3＝a，a2＝a1q，a3＝a1q2，

所以a1（1＋q2）＝2a1q，

即q2－2q＋1＝0，（q－1）2＝0，q＝1，

这与已知q≠1矛盾，

所以假设不成立，故数列{an＋1}不是等比数列.

规律方法　1.适用范围：

当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证.

2.关键：

在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.

【训练3】若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（a

（1）设g（x）＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；

（2）是否存在常数a，b（a>－2），使函数h（x）＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？

若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

解　

（1）由题设得g（x）＝（x－1）2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.

由“四维光军”函数的定义可知，g

（1）＝1，g（b）＝b，

则b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.

因为b>1，所以b＝3.

（2）假设函数h（x）＝在区间[a，b]（a>－2）上是“四维光军”函数，

因为h（x）＝在区间（－2，＋∞）上单调递减，

所以有即

解得a＝b，这与已知矛盾.

故不存在常数a，b（a>－2）使函数h（x）＝是[a，b]上的“四维光军”函数.

[思维升华]

　分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.

[易错防范]

1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论.

2.在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.下列表述：

①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法.其中正确的有（　　）

A.2个B.3个C.4个D.5个

解析　由定义可知①②③④⑤都正确，选D.

答案　D

2.用反证法证明命题：

“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（　　）

A.三个内角都不大于60°

B.三个内角都大于60°

C.三个内角至多有一个大于60°

D.三个内角至多有两个大于60°

解析　“至少有一个”的否定是“一个都没有”，故可以理解为都大于60°.

答案　B

3.在△ABC中，sinAsinC

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

解析　由sinAsinC0，即cos（A＋C）>0，所以A＋C是锐角，从而B>，△ABC必是钝角三角形.故选C.

答案　C

4.分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是（　　）

A.x2>2B.x2>4

C.x2>0D.x2>1

解析　因为x>0，所以要证<1＋，只需证（）2<，即证0<，即证x2>0，因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立.故选C.

答案　C

5.若<<0，则下列结论不正确的是（　　）

A.a2

C.a＋b<0D.|a|＋|b|>|a＋b|

解析　∵<<0，∴0>a>b.

∴a2

答案　D

二、填空题

6.用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是______________________.

解析　“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”.

答案　“a，b都不能被5整除”

7.＋与2＋的大小关系为________.

解析　要比较＋与2＋的大小，

只需比较（＋）2与（2＋）2的大小，

只需比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小，

只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，

∵42>40，∴＋>2＋.

答案　＋>2＋

8.若二次函数f（x）＝4x2－2（p－2）x－2p2－p＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f（c）>0，则实数p的取值范围是________.

解析　若二次函数f（x）≤0在区间[－1，1]内恒成立，

则

解得p≤－3或p≥，

故满足题干要求的p的取值范围为.

答案　

三、解答题

9.已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：

>8.

证明　因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，

所以－1＝＝>，①

－1＝＝>，②

－1＝＝>，③

由①×②×③，得>8.

10.设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.

（1）求证：

数列{Sn}不是等比数列；

（2）数列{Sn}是等差数列吗？

为什么？

（1）证明　假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，

即a（1＋q）2＝a1·a1·（1＋q＋q2），

因为a1≠0，所以（1＋q）2＝1＋q＋q2，

即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列.

（2）解　当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；

当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，

即2a1（1＋q）＝a1＋a1（1＋q＋q2），

得q＝0，这与公比q≠0矛盾.

综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列.

能力提升题组

（建议用时：

20分钟）

11.已知函数f（x）＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f（），C＝f，则A，B，C的大小关系为（　　）

A.A≤B≤CB.A≤C≤B

C.B≤C≤AD.C≤B≤A

解析　因为≥≥，又f（x）＝在R上是减函数，

所以f≤f（）≤f.

答案　A

12.（2019·武汉模拟）已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是（　　）

A.a，b，c同号

B.b，c同号，a与它们异号

C.a，c同号，b与它们异号

D.b，c同号，a与b，c的符号关系不确定

解析　由·>1知与同号，若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立，若<0且<0，则－>0，－>0，＋≥2>2，即＋<－2，这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号.故选A.

答案　A

13.（2018·邯郸模拟）设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.

其中能推出：

“a，b中至少有一个大于1”的条件序号是________.

解析　若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；

对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，

下面用反证法证明：

假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.

答案　③

14.△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.

求证：

＋＝.

证明　要证＋＝，

即证＋＝3也就是＋＝1，

只需证c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），

需证c2＋a2＝ac＋b2，

又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，

由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，

即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立.

于是原等式成立.