知识讲解直接证明与间接证明基础.docx
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知识讲解直接证明与间接证明基础
直接证明与间接证明
编稿：
张林娟审稿：
孙永钊
【学习目标】
1•知识与技能
通过具体的例子了解综合法和分析法、反证法的思路过程和特点；
通过已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法一一直接证明和间接证明，及间接证明的重要方法之一一一反证法；
能够用直接法和间接法证明一些基本的数学问题.
2.过程与方法
通过对实例的分析，归纳和总结的过程，培养数学理性思维能力；
通过实际演练，体会综合法、分析法、反证法的证明过程及两种证明方法的特点.
3.情感、态度与价值观
通过实际参与，激发学习数学的兴趣，在学习过程中感受逻辑证明在数学已经日常生活中的作用，使学生养成言之有理，论证有据的习惯.
通过反证法的运用，了解在解决问题中有正难则反的思维方向，发展思维能力，渗透运用辩
证观点解决问题的意识.
【要点梳理】
要点一：
直接证明
直接证明最常见的两种方法是综合法和分析法，它们是思维方向相反的两种不同的推理
方法.
综合法
定义：
一般地，从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，
一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这种思维方法叫做综合法....
基本思路：
执因索果
综合法又叫顺推证法”或由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题.
综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.
综合法的思维框图：
用P表示已知条件，Q表示要证明的结论，Qi（i=1,23...,n）为已知的定义、定理、公
理等，则综合法可用框图表示为:
P=Qi
T
Qi=>Q2
T
Q2二Q3
T...T
Qn=>Q
（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）
要点诠释
（1从已知”看可知”逐步推出朱知”由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；
（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；
（3）因用综合法证明命题若A则D”的思考过程可表示为：
故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，女口B、Bi、B2等，可由B、
B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C、C2、C3、C4等等.
所以如何找到切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的瓶颈
综合法证明不等式时常用的不等式
（1）a2+b2>2b（当且仅当a=b时取“=号）;
（2）-—E'ab（a,b€R*，当且仅当a=b时取“=号）；
2
22
（3）a|a|乞0（a—b）
（4）b-_2（a,b同号）;ba<-2（a,b异号）;
abab
（5）a,b€R,a2b2_1（ab）2,
2
（6）不等式的性质
定理1对称性：
a>b：
=bva.
定理2传递性：
ab=a.
bacJ
a>b]
定理3加法性质：
=a•c•b•c.
Rj
丄亠、人a>b[
推论：
a■c•b■d.
c>dJ
推论2
定理5
分析法
定义
般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成
，或由
立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等）已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.
基本思路：
执果索因
分析法又叫逆推证法”或执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.
分析法的思维框图：
用R（i=1,2,3/）表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，Q所要证明的结
论，则用分析法证明可用框图表示为：
QuP
RUP2
T
F2uF3
T…T
得到一个明显成立的条件
（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）
格式：
要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证.
要点诠释：
（1）分析法是综合法的逆过程，即从朱知”看需知”，执果索因，逐步靠拢已知
其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件.
（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述.
综合法与分析法的横向联系
（1）综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不
等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、
正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用.
分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点
是宜于表述，条理清晰，形式简洁.
我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进
而确定我们所需要的因”再用综合法有条理地表述证题过程.分析法一般用于综合法难以
实施的时候.
（2）有不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：
根据条件的结构特点去
转化结论，得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可
以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称两头挤法”
分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，
分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.
命题若P则Q”的推演过程可表示为:
要点二：
间接证明
间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题
为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法.
反证法定义：
一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知
的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法
叫做反证法.
反证法的基本思路：
假设一一矛盾一一肯定
1分清命题的条件和结论.
2做出与命题结论相矛盾的假设.
3由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果.
4断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接
地证明原命题为真.
反证法的格式：
用反证法证明命题若p则q”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下:
要点诠释：
（1）反证法是间接证明的一种基本方法.
它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和假设”这个新条件下,通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.
（2）反证法的优点：
对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.反证法的一般步骤：
（1）反设：
假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；
（2）归谬：
由反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾一一与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；
（3）结论：
因为推理正确，产生矛盾的原因在于反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.
要点诠释：
（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：
都是"的反面为不都是”即至少有一个不是”不是都不是”；都有”的反面为不都有”即至少有一个没有”不是都没有”；都不是”的反面是部分是或全部是”即至少有一个是”，不是都是”都没有”的反面为部分有或全部有”即至少有一个有”不是都有”
（2）归谬的主要类型：
1与已知条件矛盾；
2与假设矛盾（自相矛盾）；
3与定义、定理、公理、事实矛盾.
宜用反证法证明的题型:
1要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如存
在性问题、唯一性问题”等；
2如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一
种或很少的几种情形•比如带有至少有一个”或至多有一个”等字样的数学问题.
要点诠释：
反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决
某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果.
【典型例题】
类型一：
综合法证明
例1.已知a0,b0，试用综合法证明：
a（b2c2）-b（c2a2）_4abc.
【证明】因为b2+c2宓be,aa0,
所以a（b2c2）-2abc.
又因为c2b2_2bc,b0,
所以b（c2a2）_2abc.
因此a（b2c2）b（c2a2）_4abc.
【总结升华】利用综合法时，从已知出发，进行运算和推理得到要证明的结论，并且在用
均值定理证明不等式时，一要注意均值定理运用的条件，二要运用定理对式子作适当的变形，
把式分成若干部分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相减.
举一反三：
」2「
log519log319log219
的形式.
•••左边
=logu5+21og193+31og192=logls5+logie罗+log19T=1伽（5x3*x23）
=logi?
360
【变式2】设a、b是互不相等的正数，且ab=1,试用综合法证明：
丄+^4
ab
【解析】因为ab=1，
所以=2b旦22^^4.
ababab¥ab
例2.已知数列满足a1=5,a2=5,a^^=a^6anJ（n>2）.求证：
la*1■2a^是等比数列.
【思路点拨】根据等比数列的定义变形.
【解析】由a*+1=a*+6a*-1,a*+1+2an=3（an+2an-1）（n》2）
a1=5,a2=5
••a?
+2a〔15
故数列｛an+1+2an｝是以15为首项，3为公比的等比数列
【总结升华】本题从已知条件入手，分析数列间的相互关系，合理实现了数列间的转化，从
而使问题获解，综合法是直接证明中最常用的证明方法.
举一反三：
【变式】已知数列｛an｝中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1,2,…），a1=1.
（1）设bn=an+1-2an（n=1,2,…），求证：
数列｛bn｝是等比数列.
a
（2）设cn=诗（n=1,2,…），求证：
数列｛Cn｝是等差数列.
2
【解析】
（1）•Sn+1=4an+2,•Sn+2=4an+1+2,
两式相减，得Sn+2—Sn+1=4an+1—4an（n=1,2,3,…），
即an+2=4an+14an,变形得an+22an+1=2（an+12an）.
bn=an+1—2an（n=1,2,…），
••bn+1=2bn（n=1,2,…）.
由此可知，数列｛bn｝是公比为2的等比数列.
由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1,
得a2=5,b1=a2—2a1=3.故bn=32n1.
an
（2）TCn亏（n=1,2,…）
_an_an1_2an_bn
nn彳n-1
222
—3
将bn=32n—1代入，得Cn1-Cn（n=1,2,…）.
4
3a1
由此可知，数列｛Cn｝是公差d的等差数列，它的首项C11,故
422
例3.如图，设在四面体PABC中，.ABC=90,PA二PB二PC,D是AC的中点.
求证：
PD垂直于ABC所在的平面.
【思路点拨】要证PD垂直于.ABC所在的平面，只需在.ABC所在的平面内找到两条相交直线与PD垂直.
【解析】
证明：
连PD、BD
因为BD是RtABC斜边上的中线，
所以DA=DC=DB
又因为PA=PB=PC,而PD是PAD、.IPBD、厶PCD的公共边，
所以.PAD=PBD二PCD
于是.PDA二.PDB二PDC,
而PDA=/PDC=90，因此PDB=90
•••PD_AC,PD_BD
由此可知PD垂直于ABC所在的平面.
【总结升华】利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定
定理和性质定理.这是一例典型的综合法证明.现将用综合法证题的过程展现给大家，供参
考：
（1）由已知BD是RtABC斜边上的中线，推出DA二DC二DB，记为R（已知）
二Pi；
（2）由DA=DC=DB和已知条件，推出三个三角形全等，记为RnF2；
（3）由三个三角形全等，推出•PDA=/PDB=/PDC=90，记为巳=P3；
（4）由三PDA二-PDB二-PDC二90推出PD_面ABC，记为P3=巳（结论）.
这个证明步骤用符号表示就是P）（已知）二P=>巳=>Rn巳（结论）.
举一反三：
【变式】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底
Pk面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF丄PB交PB于点F.
求证：
（1）PA//平面EDB;
（2）PB丄平面EFD.
【解析】
证明：
（1）连结AC交BD于O,连结EO.
•••底面ABCD是正方形，.••点O是AC的中点，N%
在厶PAC中，EO是中位线，•••PA//EO.
而EO平面EDB且PA二平面EDB,•PA//平面EDB.
（2）PD丄底面ABCD且DC二底面ABCD,•PD丄DC.
由PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形，
而DE是斜边PC上的中线，•DE丄PC.①
同样由PD丄底面ABCD，得PD丄BC.
•底面ABCD是正方形，•DC丄BC,•BC丄平面PDC.
而DE二平面PDC,•BC丄DE.②由①和②推得DE丄平面PBC.而PB二平面PBC,「.DE丄PB.又EF丄PB且DEAEF=E,•PB丄平面EFD.
类型二：
分析法证明
例4.求证：
3…再：
：
：
•..4：
』5.
【解析】
证明：
欲证不等式,<4,5,
只需证3-218■6：
：
：
42205成立，
即证・18：
：
：
..20
即证18v20成立.
由于18v20是成立的，
因此、一36：
-A5.证毕.
【总结升华】
1.在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.
2.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好要证”只需证”即证”“即证”等词语.
3.掌握分析法的流程，避免与综合法混淆。
在本题中应避免下面的错误证法：
错证：
由不等式+知-5①
两边平方得96~2：
：
：
94,5
则18v20,
因为18v20,所以3\6-M5.
错因：
由于上述分析法的流程结构是①=②=③=④，因而上述书写格式导致了
逻辑错误.
举一反三：
【变式1】已知a、b是正数，用分析法证明
只需证a2_-4'~4.a2'-_>>亠a2--_>"2-2'~2-：
2（^.__）,
a•；a
只需证.a2_'2（a■_），只需证a2；_1（a2；2）,
\a22aa22a2
即证a2-2，它显然成立••••原不等式成立.
:
a_b2
8b
a
【高清课堂：
直接证明与间接证明401471例题2】
【变式3】已知ab•0,求证：
a"
8a
【解析】证明：
要证壬匸：
：
：
「_,「：
・"■
8a28b
要证b1，只需证b2b，即..b<..a显然成立.
2y/b
a、bab
1成立，且以上各步都可逆，故原不等式成立.
2a2、b
例5.求证：
、a-a-1：
：
a-2-、a-3（a_3）
【思路点拨】由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难•这时，可从结论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注
也可用综合法证
明.
【解析】
法一：
分析法
要证、a-一a-1：
：
、a-2-一a-3（a_3）成立,
只需证明.亍厂季：
:
：
厂2•.冇（a_3）,
两边平方得2a-32.,a（a-3）：
：
：
2a-32（a-2）（a-1）（a_3）,
所以只需证明、a（a-3）：
：
：
._（a-2）（a-1）（a_3）,
两边平方得a2-3a：
：
：
a2-3a2,
即0：
.2,
0：
2恒成立，
•••原不等式得证.
法二：
综合法
'一a-、_a-1
1
'一a-2、一a7
aa_2,、a-1a_3,
.....ia-■/a-1、.a-2■a-3、0.
11
•—:
—:
a、a-1a-2、a-3
•、、a~-:
:
.a~1■：
a—2—"a—3.即原不等式成立.
【总结升华】
1.在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举•从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法.
2•综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因此，在一般的证题过程中，往往是先用分析法寻找解题思路，再用综合法书写证明过程.举一反三：
【变式】设a、b是两个正实数，且a我，求证：
a3+b3>a2bab2
【解析】
证明一：
（分析法）
要证a3+b3>a2b-ab2成立，
只需证（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b）成立，
即需证a2-ab+b2>ab成立.（ta+b>0）
只需证a2-2ab+b2>0成立，
即需证（a—bf>0成立.
而由已知条件可知，a曲，有a-b^Q所以（a-bf>0显然成立，由此命题得证.
证明二：
（综合法）
■/aMb,•••a-bMQ•••a_b2>0,即卩a2-2ab+b2>0
亦即a2-ab+b2>ab
由题设条件知，a+b>0,•（a+b）（a2-ab+b2）>（a+b）ab
即a3+b3>a2b-ab2，由此命题得证.
类型三：
反证法证明
222
例6.已知x、y、z是整数，且xy=z求证：
x、y、z不可能都是奇数.【思路点拨】证明含有“不”“没有”“无”等否定性词语的命题，应考虑反证法.
【解析】设x、y、z都是奇数，则x2、y2、z2都是奇数，
所以x2y2为偶数，所以x2•y2=z2,这与已知矛盾，
所以x、y、z不可能都是奇数.
【总结升华】结论中含有不是”“可能”“存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体,适宜应用反证法.
举一反三：
【变式1】设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn为它的前n项和.
（1）求证：
数列｛Sn｝不是等比数列.
（2）数列｛Sn｝是等差数列吗？
为什么？
【解析】
证明：
假设｛Sn｝是等比数列，则-S1S3,
即al（1q）2=印6（1qq2）.
22
-ai0「•（1+q）=1+q+q.
即q=0，与等比数列中公比q工0矛盾.故｛Sn｝不是等比数列.
【高清课堂:
直接证明与间接证明401471例题5】
【变式2】证明：
是无理数.
【解析】
证明：
假设、2不是无理数.即2是有理数，那么必存在整数m,n,
使得、、2=m，其中m为既约分数，则m=、.2n，所以m2=2n,
nn
于是2能整除m2，从而m为偶数，设m二2k,k•Z，所以4k2=2n,
2m
即n=2k，所以2能整除n,于是m,n均为偶数，这与一为既约分数矛盾,
n
所以假设不成立.从而原命题成立，即2是无理数.
例7.如图所示，已知a,b,c是同一平面内的三条直线，a丄c,b与c不垂直，
求证：
a与b必相交.
【解析】
证法一：
假设a与b不相交，则a//b，所以/仁/2.
由于b与c不垂直，则/2工90；即/1工90；所以a与c不垂直，这与已知条件矛盾，所以a与b必相交.
证法二：
假设a与b不相交，则a/6，所以/仁/2.
因为a丄c,所以/1=90°,即/2=90°,
所以b丄c,这与已知b与c不垂直矛盾，所以a与b必相交.
证法三：
假设a与b不相交，则a/b，所以/仁/2.
又b与c不垂直，则/2工90；即/1工90；
又因为a丄c,所以/1=90°,得出/1工90与/仁90°自相矛盾，所以a与b必相交.【总结升华】题设简单明了，从正面入手较难，而反面易于导出矛盾的命题，常用反证法.
用直接法难以下手，但其结论的反面非常明显，因此用反证法证明比较方便.
举一反三：
【变式】求证：
两条相交直线有且只有一个交点.
【解析】证明：
假设结论不成立，即有两种可能：
（1）若直线a、b无交点，那么a/b，与已知矛盾；
（2）若直线a、b不止有一个交点，则至少有两个交点A和B,这样同时经过点A、B就有两条直线，这与经过两点有且只有一条直线”相矛盾.
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点.
1+X1+y
例8.若x,y都是正实数，xy2，求证：
2、2中至少有一个成立.
【思路点拨】“至多”或“至少”语句的证明宜用反证法.
【解析】
1+X1+V1+X1+y
证明：
假设2和2都不成立，则有2和2同时成立.
yxyx
因为x.0且y.0,所以1亠2y且1y-2x.
两式相加得2•x•y_2x•2y,
所以x•y_2,这与已知条件xy2矛盾，
1x1y,、
所以2、2中至少有一个成立.
yx
【总结升华】从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证
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