1998考研数学一真题及答案详解.docx
《1998考研数学一真题及答案详解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《1998考研数学一真题及答案详解.docx(7页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
1998考研数学一真题及答案详解
1998考研数学一真题及答案详解
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)limx?
01?
x?
1?
x?
2?
.x21?
2z
(2)设z?
f(xy)?
y?
(x?
y),f,?
具有二阶连续导数,则?
. x?
x?
yx2y222(2xy?
3x?
4y)ds?
.?
?
1,其周长记为a,则?
(3)设L为椭圆?
L43(4)设A为n阶矩阵,A?
0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?
则(A*)2?
E必有特征值 .(5)设平面区域D曲线y?
* 12及直线y?
0,x?
1,x?
e所围成,二维随机变量(X,Y)在x区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?
2处的值为 _. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)
(1)设f(x)连续,则 2dx22tf(x?
t)dt?
()?
0dx222(A)xf(x) (B)?
xf(x) (C)2xf(x) (D)?
2xf(x) 23
(2)函数f(x)?
(x?
x?
2)x?
x不可导点的个数是 () (A)3 (B)2 (C)1 (D)0(3)已知函数y?
y(x)在任意点x处的增量?
y?
y?
x?
?
且当?
x?
0时,?
是?
x的高21?
x阶无穷小,y(0)?
?
则y
(1)等于 ()(A)2?
(B)?
(C)e (D)?
e4 ?
4?
?
a1?
(4)设矩阵a2?
?
?
a3b1b2b3c1?
x?
a3y?
b3z?
c3c2?
是满秩的,则直线与直线?
?
?
a1?
a2b1?
b2c1?
c2c3?
?
x?
a1y?
b1z?
c1?
?
() a2?
a3b2?
b3c2?
c3(A)相交于一点 (B)重合 1 (C)平行但不重合 (D)异面 (5)设A、B是两个随机事件,且0?
P(A)?
1,P(B)?
0,P(B|A)?
P(B|A),则必有() (A)P(A|B)?
P(A|B) (B)P(A|B)?
P(A|B)(C)P(AB)?
P(A)P(B) (D)P(AB)?
P(A)P(B) 三、(本题满分5分) 求直线L:
x?
1yz?
1?
?
在平面?
:
x?
y?
2z?
1?
0上的投影直线L0的方程,并求11?
1L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程. 四、(本题满分6分) 确定常数?
使在右半平面x?
0上的向量A(x,y)?
2xy(x4?
y2)?
i?
x2(x4?
y2)?
j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y). 五、(本题满分6分) 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为?
仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k?
0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y?
v?
. 六、(本题满分7分) 计算 ?
?
?
axdydz?
(z?
a)2dxdy(x2?
y2?
z2)12,其中?
为下半球面z?
?
a2?
x2?
y2的上侧,a为大 于零的常数. 七、(本题满分6分) ?
2?
?
?
sinsin?
sin?
?
nn求lim?
?
?
?
?
?
?
?
.n?
?
11n?
1?
n?
n?
?
2n?
?
八、(本题满分5分) 2 设正项数列?
an?
单调减少,且明理. 九、(本题满分6分) 设y?
f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证存在x0?
(0,1),使得在区间?
0,x0?
上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间?
x0,1?
上以y?
f(x)为曲边的梯形面积.
(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f?
(x)?
?
十、(本题满分6分) 已知二次曲面方程x2?
ay2?
z2?
2bxy?
2xz?
2yz?
4,可以经过正交变换 ?
(?
1)an发散,试问级数?
(nn?
1?
?
n?
11n)是否收敛?
并说an?
12f(x),证明
(1)中的x0是唯一的.x?
x?
?
?
?
?
y?
?
P?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z?
?
?
?
?
?
化为椭圆柱面方程?
2?
4?
2?
4,求a,b的值和正交矩阵P. 十一、(本题满分4分) 设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Ax?
0有解向量?
且A?
?
0,证明:
向量组?
A?
?
A 十二、(本题满分5分) 已知线性方程组 k?
1kk?
1?
是线性无关的. ?
a11x1?
a12x2?
?
?
?
?
a1,2nx2n?
0,?
?
a21x1?
a22x2?
?
?
?
?
a2,2nx2n?
0,(I)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
an1x1?
an2x2?
?
?
?
?
an,2nx2n?
0?
的一个基础解系为(b11,b12,?
?
?
b1,2n),(b21,b22,?
?
?
b2,2n),?
?
?
(bn1,bn2,?
?
?
bn,2n),试写出线性方程组 TTT3 ?
b11y1?
b12y2?
?
?
?
?
b1,2ny2n?
0,?
?
b21y1?
b22y2?
?
?
?
?
b2,2ny2n?
0,(II)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
bn1y1?
bn2y2?
?
?
?
?
bn,2ny2n?
0?
的通解,并说明理. 十三、(本题满分6分) 设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为 1的正态分布,求随机变量2X?
Y的方差. 十四、(本题满分4分) 从正态总体N(,62)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(,)内的概率不小于,问样本容量n至少应取多大?
附表:
标准正态分布表?
(z)?
?
z?
?
1edt2?
?
t22z ?
(z) 十五、(本题满分4分) 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为分,标准差为15分,问在显著性水平下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?
并给出检验过程.附表:
t分布表 P{t(n)?
tp(n)}?
p p tp(n)n3536 4 1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】?
14【解析】方法1:
用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换, ?
原式?
limx?
01?
x?
1?
x?
2x2?
?
?
1?
x?
1?
x?
21?
x?
1?
x?
2?
?
?
?
limx?
01?
x?
1?
xx2?
?
2?
41?
x?
1?
x?
2?
?
limx?
02?
1?
x2?
14x2?
1?
x211?
1?
x2?
1?
?
x2?
lim22?
?
. x?
02x24方法2:
采用洛必达法则. ?
原式?
洛?
limx?
011?
1?
x?
1?
x?
2?
lim21?
x21?
xx?
02xx2?
?
?
?
?
?
11?
1?
x?
1?
x1?
x?
1?
x?
洛?
lim21?
x21?
x?
lim?
limx?
0x?
0x?
044x4x1?
x21?
?
?
1lim?
?
?
x?
021?
x121?
x?
?
?
?
?
. 44方法3:
将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至x项, 211111?
x?
1?
x?
x2?
o1?
x2?
1?
x?
1?
x?
x2?
o2?
x2?
282811111?
x?
x2?
o1?
x2?
?
1?
x?
x2?
o2?
x2?
?
22828从而 原式?
lim2x?
0x1?
x2?
o1?
x2?
?
o2?
x2?
1?
?
.?
lim42x?
04x
(2)【答案】yf?
?
(xy)?
?
?
(x?
y)?
y?
?
?
(x?
y) 5
【分析】因为z?
1f(xy)?
y?
(x?
y),f,?
具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续x?
z?
z或均可,但不同的选择可能影响计算的繁简.?
x?
y的条件下与求导次序无关,先求 方法1:
先求 ?
z.?
x?
z?
?
11y?
?
?
f(xy)?
y?
(x?
y)?
?
?
2f(xy)?
f?
(xy)?
y?
?
(x?
y),?
x?
x?
xxx?
?
2z?
?
1y?
?
?
?
2f(xy)?
f?
(xy)?
y?
?
(x?
y)?
?
x?
y?
y?
xx?
11y?
?
2f?
(xy)x?
f?
(xy)?
f?
?
(xy)x?
?
?
(x?
y)?
y?
?
?
(x?
y)xxx11?
?
f?
(xy)?
f?
(xy)?
yf?
?
(xy)?
?
?
(x?
y)?
y?
?
?
(x?
y)xx?
yf?
?
(xy)?
?
?
(x?
y)?
y?
?
?
(x?
y).方法2:
先求 ?
z.?
y?
z?
?
1?
1?
?
f(xy)?
y?
(x?
y)?
?
f?
(xy)x?
?
(x?
y)?
y?
?
(x?
y)?
y?
y?
x?
x?
f?
(xy)?
?
(x?
y)?
y?
?
(x?
y),?
2z?
2z?
?
?
?
f?
(xy)?
?
(x?
y)?
y?
?
(x?
y)?
?
x?
y?
y?
x?
x?
yf?
?
(xy)?
?
?
(x?
y)?
y?
?
?
(x?
y).方法3:
对两项分别采取不同的顺序更简单些:
?
2z?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
f(xy)?
?
?
?
?
y?
(x?
y)?
?
?
x?
y?
x?
?
y?
x?
?
?
y?
?
x?
?
?
1?
?
?
?
f?
(xy)x?
?
?
y?
?
(x?
y)?
?
x?
x?
?
y?
?
?
?
f?
(xy)?
?
?
y?
?
(x?
y)?
?
x?
y?
yf?
?
(xy)?
?
?
(x?
y)?
y?
?
?
(x?
y).评注:
本题中,f,?
中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x求导时,y视为常数;对y求导时,x视为常数就可以了.(3)【答案】12a 【解析】L关于x轴(y轴)对称,2xy关于y(关于x)为奇函数?
6 ?
2xyds?
0. L 又在L上, x2y2?
?
1?
3x2?
4y2?
12?
?
(3x2?
4y2)ds?
?
12ds?
12a. LL43因此, 原式?
?
2xyds?
?
(3xLL2?
4y2)ds?
12a. 【相关知识点】对称性:
平面第一型曲线积分 ?
f?
x,y?
ds,设f?
x,y?
在l上连续,如果l关 l于y轴对称,l1为l上x?
0的部分,则有结论:
?
l?
2f?
x,y?
ds,?
?
f?
x,y?
关于x为偶函数,?
?
f?
x,y?
ds?
?
l1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f?
x,y?
关于x为奇函数.?
?
0,类似地,如果l关于x轴对称,l2为l上y?
0的部分,则有结论:
?
l?
2f?
x,y?
ds,?
?
f?
x,y?
关于y为偶函数,?
?
f?
x,y?
ds?
?
l2?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
f?
x,y?
关于y为奇函数.?
?
0,2?
A?
(4)【答案】?
?
?
1 ?
?
?
【解析】方法1:
设A的对应于特征值?
的特征向量为?
特征向量的定义有 A?
?
?
?
(?
?
0). ?
A?
0,知?
?
0(如果0是A的特征值?
A?
0),将上式两端左乘A,得 A?
A?
?
A?
?
A?
?
?
?
?
A?
?
从而有 A?
?
?
*A?
?
(即A?
的特征值为 A?
). 将此式两端左乘A,得 ?
A?
又E?
?
?
所以 *2?
A?
*?
?
A?
?
?
?
?
. ?
?
?
?
*22?
?
A?
2?
?
A?
?
E?
?
?
?
?
?
1?
?
故(A*)2?
E的特征值为?
?
?
1. ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A2?
?
A?
?
?
1方法2:
A?
0,A的特征值?
?
0(如果0是A的特征值?
A?
0),则A有特征值 7 ?
A?
?
,A的特征值为;(A*)2?
E的特征值为?
?
?
1.?
?
?
?
?
【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义:
设A是n阶矩阵,若存在数?
及非零的n维列向量X使得AX?
?
X成立,则称?
是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特1A2征向量. ?
1?
1?
为A的特征值可知,存在非零向量?
使A?
?
?
?
两端左乘A,得?
?
?
A?
. ?
1因为?
?
0,故?
?
0,于是有A?
?
1?
?
.按特征值定义知 1?
是A的特征值. ?
1若AX?
?
X,则(A?
kE)X?
AX?
kX?
(?
?
k)X.即若?
是A的特征值,则 A?
kE的特征值是?
?
k. 2.矩阵A可逆的充要条件是A?
0,且A?
1?
1?
A.Ay(5)【答案】 14【解析】首先求(X,Y)的联合概率密度f(x,y). y?
1x1(2,)21?
?
D?
?
(x,y)|1?
x?
e2,0?
y?
?
x?
?
区域D的面积为SD?
?
e211e2dx?
lnx1?
2.x?
1(x,y)?
D,?
f(x,y)?
?
2?
?
0, 其他.其次求关于X的边缘概率密度.当x?
1或x?
e时,fX(x)?
0;当1?
x?
e时,fX(x)?
故fX
(2)?
2O12e2x2?
?
?
?
?
f(x,y)dy?
?
1x011dy?
.22x1.4 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)
(1)【答案】(A) 【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换u?
x?
t, 22t:
0?
x?
u:
x2?
0,du?
d?
x2?
t2?
?
?
2tdt?
dt?
?
1du,2t8 0?
1?
2222tf(x?
t)dtu?
x?
ttf(u)?
?
?
dt?
0?
x2?
2t?
2011x?
?
2?
f(u)du?
?
f(u)du,x220xdx1dx222tf(x?
t)dt?
f(u)dudx?
02dx?
0 11?
f(x2)?
?
x2?
?
?
f(x2)?
2x?
xf(x2),22选(A). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式:
若F(t)?
可导,则F?
(t)?
?
?
(t)?
f?
(t)(t)?
?
f(x)dx,?
(t),?
(t)均一阶 ?
?
(t)?
?
?
?
(t)?
f?
?
(t)?
.
(2)【答案】(B) 【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是 22分段函数.f(x)?
(x?
x?
2)xx?
1,当x?
0,?
1时f(x)可导,因而只需在x?
0,?
1处 考察f(x)是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数. ?
(x2?
x?
2)x(1?
x2),?
22?
(x?
x?
2)x(x?
1), f(x)?
?
22?
(x?
x?
2)x(1?
x),22?
(x?
x?
2)x(x?
1),?
x?
?
1,?
1?
x?
0,0?
x?
1,1?
x,f?
x?
?
f?
?
1?
(x2?
x?
2)x(1?
x2)?
0?
lim?
?
0,?
f?
?
(?
1)?
lim?
x?
?
1x?
?
1x?
1x?
1f?
x?
?
f?
?
1?
(x2?
x?
2)x(1?
x2)?
0f?
?
(?
1)?
lim?
?
lim?
?
0, x?
?
1x?
?
1x?
1x?
1即f(x)在x?
?
1处可导.又 f?
x?
?
f?
0?
(x2?
x?
2)x(x2?
1)?
0f?
?
(0)?
lim?
lim?
2, x?
0?
x?
0?
xxf?
x?
?
f?
0?
(x2?
x?
2)x(1?
x2)?
0f?
?
(0)?
lim?
lim?
?
2,?
x?
0?
x?
0xx所以f(x)在x?
0处不可导. 类似,函数f(x)在x?
1处亦不可导.因此f(x)只有2个不可导点,故应选(B). 9 评注:
本题也可利用下列结论进行判断:
设函数f(x)?
x?
a?
(x),其中?
(x)在x?
a处连续,则f(x)在x?
a处可导的充要条件是?
(a)?
0.(3)【答案】(D)【解析】?
y?
y?
x?
yy?
?
?
?
?
.有1?
x2?
x1?
x2?
x令?
x?
0,得?
是?
x的高阶无穷小,则lim?
?
x?
x?
0?
0, ?
yyy?
?
?
?
y?
?
lim?
lim?
lim?
?
?
?
x?
01?
x2?
x?
0?
x1?
x2?
x?
0?
x?
x?
01?
x2?
x?
?
lim即 dyy?
.dx1?
x2分离变量,得 dydx?
y1?
x2两边积分,得lny?
arctanx?
C,即y?
C1earctanx.代入初始条件y(0)?
?
得y?
0?
?
C1e故 y
(1)?
?
earctanxarctan0?
C1?
?
.所以,y?
?
earctanx. ?
?
?
ex?
1arctan1?
?
e4. 【相关知识点】无穷小的比较:
设在同一个极限过程中,?
(x),?
(x)为无穷小且存在极限lim
(1)若l?
0,称?
(x),?
(x)在该极限过程中为同阶无穷小;
(2)若l?
1,称?
(x),?
(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为?
(x)?
?
(x);(3)若l?
0,称在该极限过程中?
(x)是?
(x)的高阶无穷小,记为?
(x)?
o?
?
(x)?
.若lim?
(x)?
l,?
(x)?
(x)不存在(不为?
),称?
(x),?
(x)不可比较.?
(x)(4)【答案】(A)【解析】设L1:
x?
a3y?
b3z?
c3x?
a1y?
b1z?
c1?
?
?
?
L2:
题设矩阵 a1?
a2b1?
b2c1?
c2a2?
a3b2?
b3c2?
c310
?
a1?
a?
2?
?
a3b1b2b3c1?
c2?
?
是满秩的,则行列式的性质,可知c3?
?
a1a2a3b1b2b3c1c3a1?
a2a3b1?
b2b2?
b3b3c1?
c2c2?
c3?
0,c3c21行减2行,2行减3行a2?
a3故向量组(a1?
a2,b1?
b2,c1?
c2)与(a2?
a3,b2?
b3,c2?
c3)线性无关,否则线性相关的定义知,一定存在k1,k2,使得k1(a1?
a2,b1?
b2,c1?
c2)?
k2(a2?
a3,b2?
b3,c2?
c3)?
0,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾. (a1?
a2,b1?
b2,c1?
c2)与(a2?
a3,b2?
b3,c2?
c3)分别为L1,L2的方向向量,方向向 量线性相关,两直线平行,可知L1,L2不平行. 又 x?
a3y?
b3z?
c3得?
?
a1?
a2b1?
b2c1?
c2x?
a3y?
b3z?
c3?
1?
?
1?
?
1, a1?
a2b1?
b2c1?
c2即 x?
a3?
?
a1?
a2?
y?
b3?
?
b1?
b2?
z?
c3?
?
c1?
c2?
.?
?
a1?
a2b1?
b2c1?
c2同样 x?
a1y?
b1z?
c1,得?
?
a2?
a3b2?
b3c2?
c3x?
a1y?
b1z?
c1?
1?
?
1?
?
1, a2?
a3b2?
b3c2?
c3x?
a1?
?
a2?
a3?
y?
b3?
?
b2?
b3?
z?
c3?
?
c2?
c3?
即 ,?
?
a2?
a3b2?
b3c2?
c3可见L1,L2均过点?
a2?
a1?
a3,b2?
b1?
b3,c2?
c1?
c3?
故两直线相交于一点,选(A).(5)【答案】C 【分析】题设条件P(B|A)?
P(B|A),知A发生与A不发生条件下B发生的条件概率相等,即A发生不发生不影响B的发生概率,故A,B相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑P(A|B)与P(A|B)是否相等,选项(C)和(D)才是事件A与B是否独立. 11 【解析】条件概率公式及条件P(B|A)?
P(B|A),知 P?
AB?
PABP?
B?
?
P?
AB?
?
?
P?
A?
1?
P?
A?
PA于是有 P?
AB?
?
?
1?
P?
A?
?
?
?
P?
A?
?
?
?
P?
B?
?
P?
AB?
?
?
可见 P?
AB?
?
P?
A?
P?
B?
.应选(C). 【相关知识点】条件概率公式:
P?
B|A?
?
三、(本题满分5分) 【解析】方法1:
求直线L在平面?
上的投影L0:
?
?
?
?
P?
AB?
. P?
A?
?
x?
1?
t,?
方法1:
先求L与?
的交点N1.以L:
?
y?
t,代入平面?
的方程,得 ?
z?
1?
t?
(1?
t)?
t?
2(1?
t)?
1?
0?
t?
1. 从而交点为N1(2,1,0);再过直线L上点M0(1,0,1)作平面?
的垂线L?
:
x?
1yz?
1?
?
1?
12?
x?
1?
t,?
即?
y?
?
t,?
z?
1?
2t.?
并求L?
与平面?
的交点N2:
1(1?
t)?
(?
t)?
2(1?
2t)?
1?
0?
t?
?
3211交点为N2(,,). 333N1与N2的连接线即为所求L0:
x?
2y?
1z?
?
.42?
1方法2:
求L在平面?
上的投影线的最简方法是过L作垂直于平面?
的平面?
0,所求投影线就是平面?
与?
0的交线.平面?
0过直线L上的点(1,0,1)与不共线的向量l?
(1,1,?
1)(直线L的方向向量)及n?
(1,?
1,2)(平面?
的法向量)平行,于是?
0的方程是 12 x?
1yz?
111?
1?
0,即x?
3y?
2z?
1?
0.1?
12?
x?
y?
2z?
1?
0,投影线为 L0:
?
x?
3y?
2z?
1?
0.?
下面求L0绕y轴旋转一周所成的旋转曲面S的方程.为此,将L0写成参数y的方程:
?
x?
2y,?
?
1z?
?
(y?
1).?
?
2按参数式表示的旋转面方程得S的参数方程为 ?
122?
x?
(2y)?
((1?
y))cos?
2?
?
?
y?
y,?
?
z?
(2y)2?
(1(1?
y))2sin?
.?
2?
?
1?
消去?
得S的方程为x2?
z2?
?
2y?
?
?
?
(y?
1)?
即4x2?
17y2?
4z2?
2y?
1?
0. ?
2?
22 四、(本题满分6分) 【解析】令P(x,y)?
2xy(x4?
y2)?
Q(x,y)?
?
x(x?
y),则A(x,y)?
(P(x,y),Q(x,y))在单联通区域右半平面x?
0上为某二元函数u(x,y)的梯度?
Pdx?
Qdy在x?
0上?
原函数u(x,y)?
242?
?
Q?
P?
x?
0.?
x?
y其中, ?
Q?
?
2x(x4?
y2)?
?
?
x2(x4?
y2)?
?
1?
4x3,?
x?
P?
2x(x4?
y2)?
?
2?
xy(x4?
y2)?
?
1?
2y.?
y ?
Q?
P?
即满足?
x?
y?
2x(x4?
y2)?
?
?
x2(x4?
y2)?
?
1?
4x3?
2x(x4?
y2)?
?
2?
xy(x4?
y2)?
?
1?
2y, ?
4x(x4?
y2)?
(?
?
1)?
0?
?
?
?
1. 13 可见,当?
?
?
1时,所给向量场为某二元函数的梯度场. 为求u(x,y),采用折线法,在x?
0半平面内任取一点,比如点(1,0)作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有 u(x,y)?
?
?
(x,y)(1,0)2xydx?
x2dy?
C42x?
y?
?
x1y2x?
0?
x2dx?
?
4dy?
C(折线法) 0x?
y2x4?
0 ?
y0?
x2dy?
C42x?
y ?
?
y?
x2?
y?
x4(1?
?
2?
)?
x?
y20dy?
C(第一类换元法) ?
?
?
0y1?
y?
?
y?
d?
C?
?
d?
2?
?
2?
?
C22?
0x?
?
?
x?
?
y?
?
y?
4x(1?
?
2?
)(1?
?
2?
)x?
?
?
x?
x2?
x2 ?
?
arctan其中C为任意常数. y?
C(基本积分公式)2x?
u?
ui+j.?
x?
y【相关知识点】1.二元可微函数u(x,y)的梯度公式:
gradu?
2.定理:
设D为平面上的单连通区域,函数P(x,y)与Q(x,y)在D内连续且有连续的一阶偏导数,则下列六个命题等价:
(1) ?
Q?
P?
(x,y)?
D;?
x?
y
(2)(3) ?
?
Pdx?
Qdy?
0,L为D内任意一条逐项光滑的封闭曲线; LLAB?
Pdx?
Qdy仅与点A,B有关,与连接A,B什么样的分段光滑曲线无关; (4)存在二元单值可微函数u(x,y),使 du?
Pdx?
Qdy (即Pdx?
Qdy为某二元单值可微函数u(x,y)的全微分; (5)微分方程Pdx?
Qdy?
0为全微分方程; (6)向量场Pi+Qj为某二元函数u(x,y)的梯度gradu?
Pi+Qj. 14 换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线法求函数u(x,y). 五、(本题满分6分) 【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O,铅直向下作为Oy轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小:
mg,浮力的大小:
F浮?
?
?
B;阻力:
?
kv,则牛顿第二定律得 d2ym2?
mg?
B?
g?
kv,ydtt?
0?
0,vt?
0?
0. (*) dyd2ydvdvd