1998考研数学一真题及答案详解.docx

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1998考研数学一真题及答案详解

　　　　　　　　1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题　　一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）

（1）limx?

01?

　　.x21?

（2）设z?

f（xy）?

（x?

y）,f,?

具有二阶连续导数,则?

　　.　　x?

yx2y222（2xy?

3x?

4y）ds?

1,其周长记为a,则?

（3）设L为椭圆?

L43（4）设A为n阶矩阵,A?

0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值?

　　则（A*）2?

E必有特征值　　.（5）设平面区域D曲线y?

*　　12及直线y?

0,x?

1,x?

e所围成,二维随机变量（X,Y）在x区域D上服从均匀分布,则（X,Y）关于X的边缘概率密度在x?

2处的值为　　_.　　二、选择题（本题共5小题,每小题3分,共15分.）

（1）设f（x）连续,则　　2dx22tf（x?

t）dt?

　　　　　　（）?

0dx222（A）xf（x）　　（B）?

xf（x）　　（C）2xf（x）　　（D）?

2xf（x）　　23

（2）函数f（x）?

（x?

2）x?

x不可导点的个数是　　　　（）　　（A）3　　（B）2　　（C）1　　（D）0（3）已知函数y?

y（x）在任意点x处的增量?

且当?

0时,?

是?

x的高21?

x阶无穷小,y（0）?

则y

（1）等于　　　　　　（）（A）2?

　　（B）?

　　（C）e　　（D）?

e4　　?

a1?

（4）设矩阵a2?

a3b1b2b3c1?

a3y?

b3z?

c3c2?

是满秩的,则直线与直线?

a1?

a2b1?

b2c1?

c2c3?

a1y?

b1z?

c1?

　　　　　　　　（）　　a2?

a3b2?

b3c2?

c3（A）相交于一点　　　　（B）重合　　1　　　　（C）平行但不重合　　　　（D）异面　　（5）设A、B是两个随机事件,且0?

P（A）?

1,P（B）?

0,P（B|A）?

P（B|A）,则必有（）　　（A）P（A|B）?

P（A|B）　　　　（B）P（A|B）?

P（A|B）（C）P（AB）?

P（A）P（B）　　（D）P（AB）?

P（A）P（B）　　三、（本题满分5分）　　求直线L:

1yz?

在平面?

2z?

0上的投影直线L0的方程,并求11?

1L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.　　　　四、（本题满分6分）　　确定常数?

使在右半平面x?

0上的向量A（x,y）?

2xy（x4?

y2）?

x2（x4?

y2）?

j为某二元函数u（x,y）的梯度,并求u（x,y）.　　　　五、（本题满分6分）　　从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为?

仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k（k?

0）.试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y?

.　　六、（本题满分7分）　　计算　　?

axdydz?

（z?

a）2dxdy（x2?

y2?

z2）12,其中?

为下半球面z?

a2?

x2?

y2的上侧,a为大　　于零的常数.　　　　七、（本题满分6分）　　?

sinsin?

sin?

nn求lim?

.n?

11n?

2n?

　　八、（本题满分5分）　　2　　　　设正项数列?

an?

单调减少,且明理.　　　　九、（本题满分6分）　　设y?

f（x）是区间[0,1]上的任一非负连续函数.　　

（1）试证存在x0?

（0,1）,使得在区间?

0,x0?

上以f（x0）为高的矩形面积,等于在区间?

x0,1?

上以y?

f（x）为曲边的梯形面积.

（2）又设f（x）在区间（0,1）内可导,且f?

（x）?

　　十、（本题满分6分）　　已知二次曲面方程x2?

ay2?

z2?

2bxy?

2xz?

2yz?

4,可以经过正交变换　　?

（?

1）an发散,试问级数?

（nn?

11n）是否收敛？

并说an?

12f（x）,证明

（1）中的x0是唯一的.x?

化为椭圆柱面方程?

4,求a,b的值和正交矩阵P.　　十一、（本题满分4分）　　设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Ax?

0有解向量?

且A?

0,证明：

向量组?

A　　十二、（本题满分5分）　　已知线性方程组　　k?

1kk?

是线性无关的.　　?

a11x1?

a12x2?

a1,2nx2n?

0,?

a21x1?

a22x2?

a2,2nx2n?

0,（I）?

an1x1?

an2x2?

an,2nx2n?

的一个基础解系为（b11,b12,?

b1,2n）,（b21,b22,?

b2,2n）,?

（bn1,bn2,?

bn,2n）,试写出线性方程组　　TTT3　　　　?

b11y1?

b12y2?

b1,2ny2n?

0,?

b21y1?

b22y2?

b2,2ny2n?

0,（II）?

bn1y1?

bn2y2?

bn,2ny2n?

的通解,并说明理.　　十三、（本题满分6分）　　设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为　　1的正态分布,求随机变量2X?

Y的方差.　　　　十四、（本题满分4分）　　从正态总体N（,62）中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间（,）内的概率不小于,问样本容量n至少应取多大？

附表：

标准正态分布表?

（z）?

1edt2?

t22z　　?

（z）　　　　十五、（本题满分4分）　　设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为分,标准差为15分,问在显著性水平下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？

并给出检验过程.附表：

t分布表　　P{t（n）?

tp（n）}?

p　　p　　tp（n）n3536　　　　4　　　　1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析　　一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）

（1）【答案】?

14【解析】方法1：

用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,　　?

原式?

limx?

01?

2x2?

21?

limx?

01?

xx2?

41?

limx?

02?

x2?

14x2?

x211?

x2?

lim22?

.　　x?

02x24方法2：

采用洛必达法则.　　?

原式?

洛?

limx?

011?

lim21?

x21?

xx?

02xx2?

11?

x1?

洛?

lim21?

x21?

lim?

limx?

0x?

044x4x1?

x21?

1lim?

021?

x121?

.　　44方法3：

将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至x项,　　　　211111?

x2?

o1?

x2?

o2?

x2?

　　282811111?

x2?

o1?

x2?

o2?

x2?

22828从而　　原式?

lim2x?

0x1?

x2?

o1?

x2?

o2?

x2?

lim42x?

04x

（2）【答案】yf?

（xy）?

（x?

y）?

（x?

y）　　5

　　　　　　　　【分析】因为z?

1f（xy）?

（x?

y）,f,?

具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续x?

z或均可,但不同的选择可能影响计算的繁简.?

y的条件下与求导次序无关,先求　　方法1：

先求　　?

z.?

11y?

f（xy）?

（x?

y）?

2f（xy）?

（xy）?

（x?

y）,?

xxx?

2z?

1y?

2f（xy）?

（xy）?

（x?

y）?

xx?

11y?

2f?

（xy）x?

（xy）?

（xy）x?

（x?

y）?

（x?

y）xxx11?

（xy）?

yf?

（xy）?

（x?

y）?

（x?

y）xx?

yf?

（xy）?

（x?

y）?

（x?

y）.方法2：

先求　　?

z.?

f（xy）?

（x?

y）?

（xy）x?

（x?

y）?

（x?

y）?

（xy）?

（x?

y）?

（x?

y）,?

2z?

（xy）?

（x?

y）?

（x?

y）?

yf?

（xy）?

（x?

y）?

（x?

y）.方法3：

对两项分别采取不同的顺序更简单些：

2z?

f（xy）?

（x?

y）?

（xy）x?

（x?

y）?

（xy）?

（x?

y）?

yf?

（xy）?

（x?

y）?

（x?

y）.评注：

本题中,f,?

中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x求导时,y视为常数；对y求导时,x视为常数就可以了.（3）【答案】12a　　【解析】L关于x轴（y轴）对称,2xy关于y（关于x）为奇函数?

　　6　　?

2xyds?

0.　　L　　又在L上,　　x2y2?

3x2?

4y2?

12?

（3x2?

4y2）ds?

12ds?

12a.　　LL43因此,　　原式?

2xyds?

（3xLL2?

4y2）ds?

12a.　　【相关知识点】对称性：

平面第一型曲线积分　　?

x,y?

ds,设f?

x,y?

在l上连续,如果l关　　l于y轴对称,l1为l上x?

0的部分,则有结论：

2f?

x,y?

ds,?

x,y?

关于x为偶函数,?

x,y?

ds?

l1?

x,y?

关于x为奇函数.?

0，类似地,如果l关于x轴对称,l2为l上y?

0的部分,则有结论：

2f?

x,y?

ds,?

x,y?

关于y为偶函数,?

x,y?

ds?

l2?

x,y?

关于y为奇函数.?

0，2?

（4）【答案】?

1　　?

【解析】方法1：

设A的对应于特征值?

的特征向量为?

特征向量的定义有　　A?

（?

0）.　　?

0,知?

0（如果0是A的特征值?

0）,将上式两端左乘A,得　　A?

　　从而有　　A?

　　*A?

（即A?

的特征值为　　A?

）.　　将此式两端左乘A,得　　?

又E?

所以　　*2?

.　　?

*22?

故（A*）2?

E的特征值为?

1.　　?

A2?

1方法2：

0,A的特征值?

0（如果0是A的特征值?

0）,则A有特征值　　7　　　　?

　　,A的特征值为；（A*）2?

E的特征值为?

1.?

【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：

设A是n阶矩阵,若存在数?

及非零的n维列向量X使得AX?

X成立,则称?

是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特1A2征向量.　　?

为A的特征值可知,存在非零向量?

使A?

两端左乘A,得?

.　　?

1因为?

0,故?

0,于是有A?

.按特征值定义知　　1?

是A的特征值.　　?

1若AX?

X,则（A?

kE）X?

AX?

kX?

（?

k）X.即若?

是A的特征值,则　　A?

kE的特征值是?

k.　　2.矩阵A可逆的充要条件是A?

0,且A?

A.Ay（5）【答案】　　14【解析】首先求（X,Y）的联合概率密度f（x,y）.　　y?

1x1（2,）21?

（x,y）|1?

e2,0?

区域D的面积为SD?

e211e2dx?

lnx1?

2.x?

1（x,y）?

D,?

f（x,y）?

0,　　其他.其次求关于X的边缘概率密度.当x?

1或x?

e时,fX（x）?

0；当1?

e时,fX（x）?

故fX

（2）?

2O12e2x2?

f（x,y）dy?

1x011dy?

.22x1.4　　二、选择题（本题共5小题,每小题3分,共15分.）

（1）【答案】（A）　　【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换u?

t,　　22t:

x2?

0,du?

x2?

t2?

2tdt?

dt?

1du,2t8　　　　0?

2222tf（x?

t）dtu?

ttf（u）?

dt?

x2?

2t?

　　2011x?

f（u）du?

f（u）du,x220xdx1dx222tf（x?

t）dt?

f（u）dudx?

02dx?

0　　11?

f（x2）?

x2?

f（x2）?

2x?

xf（x2）,22选（A）.　　【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：

若F（t）?

可导,则F?

（t）?

（t）（t）?

f（x）dx,?

（t）,?

（t）均一阶　　?

（t）?

（2）【答案】（B）　　【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是　　22分段函数.f（x）?

（x?

2）xx?

1,当x?

0,?

1时f（x）可导,因而只需在x?

0,?

1处　　考察f（x）是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.　　?

（x2?

2）x（1?

x2）,?

22?

（x?

2）x（x?

1）,　　f（x）?

22?

（x?

2）x（1?

x）,22?

（x?

2）x（x?

1）,?

1,?

0,0?

1,1?

x,f?

（x2?

2）x（1?

x2）?

lim?

0,?

（?

1）?

lim?

1x?

1f?

（x2?

2）x（1?

x2）?

0f?

（?

1）?

lim?

0,　　x?

1x?

1即f（x）在x?

1处可导.又　　f?

（x2?

2）x（x2?

1）?

0f?

（0）?

lim?

2,　　x?

xxf?

（x2?

2）x（1?

x2）?

0f?

（0）?

lim?

2,?

0xx所以f（x）在x?

0处不可导.　　类似,函数f（x）在x?

1处亦不可导.因此f（x）只有2个不可导点,故应选（B）.　　9　　　　评注：

本题也可利用下列结论进行判断：

　　设函数f（x）?

（x）,其中?

（x）在x?

a处连续,则f（x）在x?

a处可导的充要条件是?

（a）?

0.（3）【答案】（D）【解析】?

yy?

.有1?

x2?

x1?

x2?

x令?

0,得?

是?

x的高阶无穷小,则lim?

0,　　?

yyy?

lim?

01?

x2?

x1?

x2?

01?

x2?

lim即　　　　dyy?

.dx1?

x2分离变量,得　　dydx?

y1?

x2两边积分,得lny?

arctanx?

C,即y?

C1earctanx.代入初始条件y（0）?

得y?

C1e故　　y

（1）?

earctanxarctan0?

C1?

.所以,y?

earctanx.　　?

ex?

1arctan1?

e4.　　【相关知识点】无穷小的比较：

　　设在同一个极限过程中,?

（x）,?

（x）为无穷小且存在极限lim

（1）若l?

0,称?

（x）,?

（x）在该极限过程中为同阶无穷小；　　

（2）若l?

1,称?

（x）,?

（x）在该极限过程中为等价无穷小,记为?

（x）?

（x）；（3）若l?

0,称在该极限过程中?

（x）是?

（x）的高阶无穷小,记为?

（x）?

.若lim?

（x）?

l,?

（x）?

（x）不存在（不为?

）,称?

（x）,?

（x）不可比较.?

（x）（4）【答案】（A）【解析】设L1:

a3y?

b3z?

c3x?

a1y?

b1z?

c1?

L2:

题设矩阵　　a1?

a2b1?

b2c1?

c2a2?

a3b2?

b3c2?

c310

a1?

a3b1b2b3c1?

c2?

是满秩的,则行列式的性质,可知c3?

a1a2a3b1b2b3c1c3a1?

a2a3b1?

b2b2?

b3b3c1?

c2c2?

c3?

0,c3c21行减2行，2行减3行a2?

a3故向量组（a1?

a2,b1?

b2,c1?

c2）与（a2?

a3,b2?

b3,c2?

c3）线性无关,否则线性相关的定义知,一定存在k1,k2,使得k1（a1?

a2,b1?

b2,c1?

c2）?

k2（a2?

a3,b2?

b3,c2?

c3）?

0,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.　　（a1?

a2,b1?

b2,c1?

c2）与（a2?

a3,b2?

b3,c2?

c3）分别为L1,L2的方向向量,方向向　　量线性相关,两直线平行,可知L1,L2不平行.　　又　　x?

a3y?

b3z?

c3得?

a1?

a2b1?

b2c1?

c2x?

a3y?

b3z?

c3?

1,　　a1?

a2b1?

b2c1?

c2即　　　　x?

a3?

a1?

a2?

b3?

b1?

b2?

c3?

c1?

c2?

a1?

a2b1?

b2c1?

c2同样　　x?

a1y?

b1z?

c1,得?

a2?

a3b2?

b3c2?

c3x?

a1y?

b1z?

c1?

1,　　a2?

a3b2?

b3c2?

c3x?

a1?

a2?

a3?

b3?

b2?

b3?

c3?

c2?

c3?

即　　,?

a2?

a3b2?

b3c2?

c3可见L1,L2均过点?

a2?

a1?

a3,b2?

b1?

b3,c2?

c1?

c3?

故两直线相交于一点,选（A）.（5）【答案】C　　【分析】题设条件P（B|A）?

P（B|A）,知A发生与A不发生条件下B发生的条件概率相等,即A发生不发生不影响B的发生概率,故A,B相互独立.而本题选项（A）和（B）是考虑P（A|B）与P（A|B）是否相等,选项（C）和（D）才是事件A与B是否独立.　　11　　　　【解析】条件概率公式及条件P（B|A）?

P（B|A）,知　　P?

AB?

PABP?

AB?

PA于是有　　P?

AB?

可见　　P?

AB?

.应选（C）.　　【相关知识点】条件概率公式：

B|A?

　　三、（本题满分5分）　　【解析】方法1：

求直线L在平面?

上的投影L0：

AB?

.　　P?

t,?

方法1：

先求L与?

的交点N1.以L:

t,代入平面?

的方程,得　　?

（1?

t）?

2（1?

t）?

1.　　从而交点为N1（2,1,0）；再过直线L上点M0（1,0,1）作平面?

的垂线L?

1yz?

12?

t,?

即?

t,?

2t.?

并求L?

与平面?

的交点N2：

　　1（1?

t）?

（?

t）?

2（1?

2t）?

　　3211交点为N2（,,）.　　333N1与N2的连接线即为所求L0:

2y?

1z?

.42?

1方法2：

求L在平面?

上的投影线的最简方法是过L作垂直于平面?

的平面?

0,所求投影线就是平面?

与?

0的交线.平面?

0过直线L上的点（1,0,1）与不共线的向量l?

（1,1,?

1）（直线L的方向向量）及n?

（1,?

1,2）（平面?

的法向量）平行,于是?

0的方程是　　12　　　　x?

1yz?

111?

0,即x?

3y?

2z?

0.1?

12?

2z?

0,投影线为　　L0:

3y?

2z?

0.?

下面求L0绕y轴旋转一周所成的旋转曲面S的方程.为此,将L0写成参数y的方程：

2y,?

1z?

（y?

1）.?

2按参数式表示的旋转面方程得S的参数方程为　　?

122?

（2y）?

（（1?

y））cos?

y,?

（2y）2?

（1（1?

y））2sin?

消去?

得S的方程为x2?

z2?

2y?

（y?

1）?

即4x2?

17y2?

4z2?

2y?

0.　　?

22　　四、（本题满分6分）　　【解析】令P（x,y）?

2xy（x4?

y2）?

Q（x,y）?

x（x?

y）,则A（x,y）?

（P（x,y）,Q（x,y））在单联通区域右半平面x?

0上为某二元函数u（x,y）的梯度?

Pdx?

Qdy在x?

0上?

原函数u（x,y）?

242?

0.?

y其中,　　　　?

2x（x4?

y2）?

x2（x4?

y2）?

4x3,?

2x（x4?

y2）?

xy（x4?

y2）?

2y.?

y　　?

即满足?

2x（x4?

y2）?

x2（x4?

y2）?

4x3?

2x（x4?

y2）?

xy（x4?

y2）?

2y,　　?

4x（x4?

y2）?

（?

1）?

1.　　13　　　　可见,当?

1时,所给向量场为某二元函数的梯度场.　　为求u（x,y）,采用折线法,在x?

0半平面内任取一点,比如点（1,0）作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有　　u（x,y）?

（x,y）（1,0）2xydx?

x2dy?

C42x?

x1y2x?

x2dx?

4dy?

C（折线法）　　0x?

y2x4?

0　　　　?

y0?

x2dy?

C42x?

y　　　　?

x2?

x4（1?

）?

y20dy?

C（第一类换元法）　　　　?

0y1?

C22?

0x?

4x（1?

）（1?

）x?

x2?

x2　　　　?

arctan其中C为任意常数.　　y?

C（基本积分公式）2x?

ui+j.?

y【相关知识点】1.二元可微函数u（x,y）的梯度公式：

gradu?

2.定理：

设D为平面上的单连通区域,函数P（x,y）与Q（x,y）在D内连续且有连续的一阶偏导数,则下列六个命题等价：

（1）　　?

（x,y）?

D；?

（2）（3）　　?

Pdx?

Qdy?

0,L为D内任意一条逐项光滑的封闭曲线；　　LLAB?

Pdx?

Qdy仅与点A,B有关,与连接A,B什么样的分段光滑曲线无关；　　（4）存在二元单值可微函数u（x,y）,使　　du?

Pdx?

Qdy　　（即Pdx?

Qdy为某二元单值可微函数u（x,y）的全微分；　　（5）微分方程Pdx?

Qdy?

0为全微分方程；　　（6）向量场Pi+Qj为某二元函数u（x,y）的梯度gradu?

Pi+Qj.　　14　　　　换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线法求函数u（x,y）.　　　　五、（本题满分6分）　　【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O,铅直向下作为Oy轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：

mg,浮力的大小：

F浮?

B；阻力：

kv,则牛顿第二定律得　　d2ym2?

mg?

kv,ydtt?

0,vt?

0.　　　　（*）　　dyd2ydvdvd

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