122证明说课稿.docx

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122证明说课稿

12.2证明（3）说课稿

敦义初中顾靖楠

一、教材分析

1、教材的地位和作用

《证明（3）》是苏科版七年级下册第十二章第二节第三课时的内容，是学生在学习了命题、定理的概念、与图形有关的命题证明方法以及感受了证明的必要性的基础上所学的一节内容。

它的作用体现如下：

第一、学生对与图形有关的命题的证明方法，需要再次通过对具体的命题的证明来巩固和提高，而三角形内角和定理提供了这样的条件；第二、三角形内角和定理及其推论的证明过程提供了添加辅助线的证明手段、分析证明问题的方法、综合法证明的格式，为今后的学习打下了基础；第三、三角形内角和定理及其推论在证明中的应用，进一步强调了证明过程中要具有严密的逻辑性，每一步都要做到有理有据，以便培养学生演绎推理中严密的逻辑思维能力及正确的书写格式。

2、重点与难点分析

重点：

1、三角形内角和定理及其推论的证明；

2、证明过程中规范、严密的书写格式；

3、添加辅助线的方法。

难点：

证明思路及添加辅助线的方法；

二、目标分析

美国著名心理学家布鲁姆认为，“科学地确立学习目标是教学的首要环节”。

根据上述分析及学生认知特点，本节课教学目标为以下三个方面。

1、知识目标

（1）能证明并掌握三角形内角和定理及其推论；

（2）能应用三角形内角和定理及其推论来证明相关问题。

2、能力目标

通过对三角形内角和定理及其推论的证明让学生经历了先合情推理，再演绎推理的过程提高了学生的推理能力，而定理及其推理在证明题中的应用，又进一步发展了学生合乎逻辑的思考和有条理的表达能力。

3、情感目标

让学生在探索证明思路的过程中获得成功的喜悦，增强自信心和克服困难的意志，并从交往中获益，培养自主意识和协作学习的精神。

三、教法、学法分析

初中学生的心理还不够成熟，情绪波动大，也容易被调动；同时他们的模仿能力强，思维还依赖于直观形象，抽象概括能力还比较欠缺，而数学课程标准强调让学生充分参与数学活动，在活动中体验数学知识的发生发展过程，基于以上分析，本节课采用如下教学方法：

（1）运用“问题解决”的教学模式，层层深入地设置一系列问题，将学生引向知识的彼岸；

（2）指导学生在独立思考的基础上，以分组讨论等学习方式，积极参与对数学问题的讨论，让学生充分展开思维活动，发表自己的观点，在交流中获益，最终达到共同提高的目的；

（3）适当运用简单的教具和多媒体辅助教学，增强问题的直观性，激发学生的学习兴趣，在演示、观察、讨论、猜想等师生活动中启发学生动口动脑，在观察探索中锻炼学生的思维能力，使其始终处于主动探索问题的积极状态。

四、教学过程分析

准备一个可以拼接的三角形（可展示在黑板上），学生每人一个三角形

教学环节

教学设计

处理方法

设计意图

复习

证明与图形有关的命题的基本步骤是什么？

由学生回答

为证明三角形内角和定理做铺垫

情境创设

一个三角形两个内角分别是100°、20°，第三个内角是多少？

你是怎么得到这个结果的？

由学生回答

1、设计简单的问题，增强学生的学习信心；

2；通过对问题的回答，点出本节课的课题。

探

索

新

知

（一）

探

索

新

知

（一）

探

索

新

知

（一）

以前我们是怎么发现“三角形三个内角的和等于180°？

学生可能会回答用剪拼的方法，或者是用度量的方法，这时，要引导学生认识到剪拼的方法只是直观感受，不能作为证明的依据，度量的方法存在误差也不能作为证明的依据，进一步提问。

1、回忆过去的方法，为接下来的操作做准备；

2、进一步强调基于操作、直观感受的合情推理不能作为证明的依据；

3、为利用演绎推理来证明这个命题作铺垫。

那我们如何来用数学的方法证明“三角形三个内角的和等于180°”？

引导学生作图，写出已知、求证。

这一步骤主要由学生回答，同时提出，证明过程怎么来写呢？

引导学生进行分析。

１、点出了本节课的第一个重点，证明“三角形三个内角的和等于180°

；

２、利用具体的命题来复习了证明与图形有关的命题，与一开始的复习互相呼应。

观察∠A+∠B+∠C=180°，这个式子里的180°我们过去在哪些地方遇到？

学生易得：

平角180°、两直线平行同旁内角互补。

进一步引导学生，先从平角为180°这一角度来分析。

将一个学生不会证明的问题转化成一个学生非常熟悉，而且会的问题，为本节课的重点、难点“添加辅助线”打下伏笔。

设定平角是为了学生活动更有目的性。

下面，我们来把刚才每位同学都领到的三角形拿出来，一起来通过剪拼看看你们能不能拼出一些看起来很像平角的角。

分小组讨论，拼接，得出结论，在这个过程中，我会走进各个小组中，参与讨论、提示，结束后，请几个有代表性的小组展示他们的拼图，并对他们的拼图逐个分析。

1、激发学生的兴趣；

2、初中生的思维还依赖于直观形象，因此这样的操作有一定的必要性，同时也让学生结合“数学基本活动经验”和合情推理寻找拼图中可能的平角；

3、利用小组讨论，培养了学生合作探究的学习精神。

学生可能拼出的图1

∠A→∠1，∠B→∠2

这里∠BCD看起来很像平角，我们可以通过作图将∠BCD成为一个确确实实的平角吗？

学生很容易得出延长BC，而对于CE，可能有学生会说，作∠A=∠1，此时我会提示，虽然这种作法是可行的，但是要作角相等比较麻烦，也不容易作准，因此一般不采用这种方法，进一步引导学生通过过C作CE的平行线将∠A转化到∠1，∠B转化到∠2上。

到了这里，我会提出，刚才的延长BC到E，过C作CE∥AB，在数学上把它称为添加辅助线，添加辅助线要用虚线，要在证明的开始写出作法。

1、点出了本节课的重点、难点“添加辅助线”，并强调了添加辅助线的注意点；

2、利用这种情况，由教师出面，规范语言，并将合情推理与演绎推理相结合，充分培养学生的逻辑推理能力；

3、培养了学生“转化”的数学思想。

学生可能拼出的图2

∠A→∠ECD，∠B→∠ACE

这里要强调，我们不能够利用这个图形，结合已经学过的知识来证明三角形三个内角的和等于180°。

教学中有些意想不到的问题出现，应该在课前做好预设，这种情况确实是学生比较容易拼出来的。

学生可能拼出的图3

∠B→∠BAE，∠C→∠CAD

这里∠EAD看起来像平角，因此引导学生自己说出添加辅助线的方法：

过点A作DE∥BC。

利用这种方法，再次的让学生说出添加辅助线的方法，进一步规范语言。

刚才是利用平角180°，那用“两直线平行，同旁内角互补”怎么证明呢？

你们再拼一拼！

在这里可以适当的提示一下，在刚才的操作过程中已经有平行了！

很快学生就会找到方法。

拼出图4，让学生自主说出辅助线的添加方法。

另一个角度来证明三角形三个内角的和等于180°。

下面，我们根据刚才添加的辅助线，来证明这个命题。

图1的拼法得到的方法，请一位学生说，我按照他的说法写，这个过程中，我会强调书写的格式、规范，强调每一步的理由。

而图3、图4的方法留给学生自主完成。

图1的拼法有一个学生和教师共同完成是为了突出本节课的另外一个重点，就是证明题书写的规范性，因为初中生模仿能力比较强，所以教师的示范是必须的；对于其他方法，则可以让学生模仿教师的写法，进一步规范自己的书写格式。

课后思考：

刚才我们添加的辅助线都是过三角形三个顶点作平行线的，那能不能在三角形三条边上或是内部选择一个点来作平行线呢？

进一步拓展学生的思维。

通过证明，我们发现“三角形的三个内角的和等于180°”是一个真命题，因此我们把它称为“三角形内角和定理”今后它可以作为进一步证明的依据。

板书在黑板上

点出本节课的主题“三角形内角和定理”。

例

题

教

学

例1：

已知：

如图，AC、BD相交于点O，求证：

∠A+∠B=∠C+∠D

1、引导学生从本题要证明的结论出发，结合三角形内角和定理，寻找出∠A+∠B与∠C+∠D的联系。

学生很快会发现：

∠A+∠B=180°－∠AOB；∠C+∠D=180°－∠COD，而∠AOB与∠COD对顶角，相等的，从而得出证明的方法。

2、学生自主写出证明的过程，我会进行巡视，对书写有困难的进行帮助，对一些典型的错误进行集体改正。

1、将本题做为例题基于以下几点：

第一、这个图形是一个非常基本的常见图形，对今后的解题有一定帮助；第二、本题不仅可以应用到刚刚所学的内角和定理，也可以作为下一步三角形内角和定理推论的一个简单应用。

2、处理分析的方法是为了让学生感受到证明某个结论可以从结论出发向已知条件探索，这也是本节课的一个难点。

3、学生自主写证明过程是为了进一步规范书写格式。

探索新知

（二）

探

索

新

知

（二）

刚才我们说到的是三角形三个内角的关系，那三角形除了内角还有什么角？

学生很快会反映出外角，我会适当得复习一下外角的定义。

利用这个问题过渡到下一个新的问题，也为三角形内角和定理的推理作铺垫。

外角与它相邻的内角有怎样的数量关系？

外角与它不相邻的内角有怎样的数量关系？

引导学生先画图，分组讨论、研究。

1、利用“问题解决”教学模式，层层深入地设置问题；

2、培养学生良好的学习习惯，作图的习惯。

通过图形结合三角形内角和定理，学生很容易得到∠ACD=∠A+∠B，进一步地，让学生用文字语言把这个结论归纳出来。

1、得到本节课的一个重点知识：

三角形内角定理的推理；

2、培养学生准确的文字语言表达能力。

结合下图，说说其它外角与不下相邻的两内角的数量关系

让学生口答。

进一步的熟悉三角形内角和定理的推理。

通过简单地说明，我们发现利用三角形内角和定理，我们可以推出“三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和”因此我们将它称为三角形内角和定理的推论，它也可以作为进一步证明的依据。

让学生齐声读一遍推论的内容。

点出三角形内角和定理的推论。

例

题

教

学

例1：

已知：

如图，AC、BD相交于点O，求证：

∠A+∠B=∠C+∠D

刚才我们用“三角形内角和定理”解决了这条例题，那么学习了三角形内角和定理的推论以后，能不能利用它找到新的方法呢？

引导学生找外角，很容易得出证明的方法。

让学生自主写出证明过程并与第一种方法作对比。

通过对比，我们发现方法二要比方法一简单，因此，我会提出：

以后做类似的题目要多关注外角。

本例题在前面已经给予了证明，这里再用三角形内角定理的推论证明了一次，让学生感受一题多解的问题，提醒学生解题的时候要将思维放宽。

通过这条例题，你有什么收获？

1、有的题目可能有多种方法来证明；

2、做证明题时，可以从要证明的结论出发向条件探索。

1、强调证明的基本思路，为今后的学习打下基础；

2、有意识的培养学生解题后反思的好习惯。

小

试

牛

刀

1、已知：

如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC=∠B。

求证：

∠ADE=∠DAE。

1、读题，读题过程中，引导学生将题目中已知的条件尽可能地标在图形中，最好用不同颜色的笔标出；

2、从要证明的∠ADE=∠DAE入手，分析∠ADE作为外角与已知条件中的∠B有关系，∠DAE根据角的定义，可以和已知条件的角平分线有关系，这样在根据已知条件易得到证明的方法；

3、让学生写出解题过程。

1、通过读题，可以有意识的培养学生良好的解题习惯，一边读题一边要在图中标出已知条件；

2、通过师生共同的分析，让学生感受到，证明还可以从已知条件出发向要证明的结论探索、从要证明的结论出发向已知条件探索，两者相互逼近，得到解决问题的方法，这也是本节课的难点之一。

小

结

反

思

通过本节课你学到了什么？

有什么收获？

1、三角形内角和定理及其推论的证明方法；

2、添加辅助线的方法和注意点；

3、如何做证明题。

这里要引导学生总结出做证明题的一般的方法：

第一：

读题，在读题的过程中要将已知条件在图中适当的标识，第二：

分析，要从已知条件出发向结论探索，也要从结论出发向已知条件探索，也可以从已知条件和结论两个方向逼近，第三：

解题过程的每一步都要有理有据，第四：

做完题目后要有反思的好习惯。

帮助学生总结本节课的主要内容，将学生已经学习到的知识系统化。

课

后

思

考

1、课堂中已经留下的一个问题，你还有其他证明三角形内角和定理的方法吗？

2、直角三角形两个锐角有怎样的数量关系？

为什么？

三角形两个锐角互余是一个很重要的结论。

3、三角形最多有几个锐角，几个钝角？

为什么？

让学生进一步去利用三角形内角和定理及其推论解决问题。

五、课后作业设计

作业设计

设计意图

课

后

作

业

1、在△ABC中：

（1）∠A=52°，∠B=118°，求∠C；

（2）∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B大12°，判断△ABC的形状；

（3）∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，判断△ABC的形状。

本题是利用三角形内角和定理进行的简单的计算，学生已经学习过这一方面的知识，设计这样的课后作业是为了让学生再熟悉一下三角形内角和定理在计算中的应用。

2、如图，点D、E分别在AB、AC上，点F在BC的延长线上，∠A=34°，∠ACF=96°，∠ADE=62°求证：

DE∥BC

本题和本节课的重、难点紧扣，从证明的结论向已知条件推，也要从已知条件向要证明的结论推，另外这条题目也有一种“以求代征”的思想。

3、已知：

如图，AB∥CD。

求证：

∠B+∠C=∠BEC。

本题和本节课的难点“添加辅助线”紧扣，并且“一题多解”，可以用三角形内角和定理来做，也可以用定理的推论来做，因此作为能力提升题。

12.2证明（3）

班级：

_____________姓名：

________________

【学习目标】

1、掌握三角形内角和定理及其推论，并理解证明它们的必要性；

2、经历探索三角形的内角和定理证明的过程，认识添加辅助线的方法；

3、通过对三角形内角定理及其推论的应用，进一步树立“有理有据”的推理意识，发展初步的演绎推理能力；

4、在交流、思考中发展有条理思考和有条理表达的能力。

【学习重点】1、三角形内角和定理及其推论的证明；

2、证明过程中规范、严密的书写格式；

3、添加辅助线的方法。

【学习难点】证明思路及添加辅助线的方法；

【复习旧知】

证明与图形有关的命题的一般步骤是什么？

（1）___________________________________________________________

（2）________________________________________

（3）________________________________________

【情境创设】

一个三角形两个内角分别是100°、20°，第三个内角是多少？

你是怎么得到这个结果的？

【探索新知一】

1、证明命题：

三角形三个内角的和等于180°（思考一下你有几种方法）

经过证明过的真命题称为定理，因此我们将“三角形三个内角的和等于180°”称为三角形内角和定理。

今后我们可以直接把它作为进一步证明的依据。

【例题教学】

例1：

已知：

如图，AC、BD相交于点O，求证：

∠A+∠B=∠C+∠D。

【探索新知二】

思考：

三角形的外角与它相邻的内角有怎样的数量关系？

三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？

为什么？

把这个结论用一句话总结一下：

____________________________________

这句话是由三角形内角和定理推出的正确结论，我们把它称为三角形内角和定理的推论，它和定理一样，可以作为进一步证明的依据。

【例题教学】

例1：

已知：

如图，AC、BD相交于点O，求证：

∠A+∠B=∠C+∠D。

【小试牛刀】

1、已知：

如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC=∠B。

求证：

∠ADE=∠DAE。

【课堂小结】

通过本节课，你学到了什么？

有什么收获？

【课后思考】

1、你还有没有其他证明三角形内角和定理的方法？

2、直角三角形两个锐角有怎样的关系？

为什么？

3、三角形最多可以有几个锐角，几个钝角？

为什么？

【课后作业】

1、在△ABC中

（1）∠A=52°，∠B=118°，求∠C；

（2）∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B大12°，判断△ABC的形状；

（3）∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，判断△ABC的形状。

2、如图，点D、E分别在AB、AC上，点F在BC的延长线上，∠A=34°，∠ACF=96°，∠ADE=62°求证：

DE∥BC

拓展提高题：

3、已知：

如图，AB∥CD。

求证：

∠B+∠C=∠BEC。

（提示：

适当的添加一下辅助线）