大学高等数学等价无穷小.docx

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大学高等数学等价无穷小

大学高等数学等价无穷小

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。

其实这种讲法是不对的！

关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。

1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。

如果f（x）～u（x），g（x）～v（x），那么limf（x）/g（x）=limu（x）/v（x）。

关键要记住道理

limf（x）/g（x）=limf（x）/u（x）*u（x）/v（x）*v（x）/g（x）

其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。

2.加减法的时候也可以替换！

但是注意保留余项。

f（x）～u（x）不能推出f（x）+g（x）～u（x）+g（x），这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：

f（x）～u（x）等价于f（x）=u（x）+o（f（x）），那么f（x）+g（x）=u（x）+g（x）+o（f（x）），注意这里是等号，所以一定是成立的！

问题就出在u（x）+g（x）可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o（f（x））成为主导，所以不能忽略掉。

当u（x）+g（x）的阶没有提高时，o（f（x））仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln（1+x）+x是可以替换的，因为

ln（1+x）+x=[x+o（x）]+x=2x+o（x），

所以ln（1+x）+x和2x是等价无穷小量。

但是如果碰到ln（1+x）-x，那么

ln（1+x）+x=[x+o（x）]-x=o（x），

此时发生了相消，余项o（x）成为了主导项。

此时这个式子仍然是成立的！

只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。

碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：

ln（1+x）=x-x^2/2+o（x^2）

那么

ln（1+x）-x=-x^2/2+o（x^2）

这个和前面ln（1+x）-x=o（x）是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o（x^2）可以忽略。

也就是说用x-x^2/2作为ln（1+x）的等价无穷小量得到的结果更好。

从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。

而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换（注意上面我写的都是等式）而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。

等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。

高数教了一段时间了，对于等价无穷小量代换法求极限为什么只能在乘除中使用，而不能在加减的情况下使用的条件感到有些疑惑，于是找了一些资料，仔细的研究了这个问题，整理如下：

等价无穷小的定义及常用的等价无穷小

无穷小量是指某变化过程中极限为0的变量。

而等价无穷小量是指在某变化过程中比值极限为1的两个无穷小量。

常用的等价无穷小有：

sinx∼tanx∼arctanx∼arcsinx∼ln（1+x）∼x（x→0）

sin⁡x∼tan⁡x∼arctan⁡x∼arcsin⁡x∼ln⁡（1+x）∼x（x→0）

1−cosx∼x22,1+x−−−−−√n−1∼xn（x→0）1−cos⁡x∼x22,1+xn−1∼xn（x→0）

等价无穷小量在求极限问题中非常重要。

恰当的使用等价无穷小量代换常常使极限问题大大简化。

但是有时却不能使用等价无穷小量代换。

等价无穷小替换原理

定理1：

设α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一变化过程中的无穷小量，且α∼α1,β∼β1α∼α1,β∼β1，若limαβlimαβ存在，则limαβ=limα1β1limαβ=limα1β1。

例1：

limx→0ln（1+3x）sin2x.limx→0ln⁡（1+3x）sin⁡2x.

解：

limx→0ln（1+3x）sin2x=limx→03x2x=32.limx→0ln⁡（1+3x）sin⁡2x=limx→03x2x=32.

例2：

limx→0tanx−sinxx3.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3.

错误解法：

limx→0tanx−sinxx3=limx→0x−xx3=0.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3=limx→0x−xx3=0.

正确解法：

limx→0tanx−sinxx3=limx→0sinx（1−cosx）x3⋅cosx=limx→01−cosxx2⋅cosx=limx→012cosx=12.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3=limx→0sin⁡x（1−cos⁡x）x3⋅cos⁡x=limx→01−cos⁡xx2⋅cos⁡x=limx→012cos⁡x=12.

从上面的解法可以看出，该题分子不能直接用等价无穷小量替代来做，下面我们分析产生错误的原因：

等价无穷小之间本身一般并不相等，它们之间一般相差一个较它们高阶的无穷小，由函数f（x）f（x）在点x=0x=0处的泰勒公式，即麦克劳林公式：

f（x）=f（0）+f′（0）x+f”（0）2!

x2+⋯+f（n）（0）n!

xn+o（xn）f（x）=f（0）+f′（0）x+f”（0）2!

x2+⋯+f（n）（0）n!

xn+o（xn）

很容易有：

tanx=x+x33+2x515+o（x5）.（x→0）tan⁡x=x+x33+2x515+o（x5）.（x→0）

sinx=x+x33!

+x55!

+x77!

+⋯+（−1）m−1x2m−1（2m−1）!

+o（x2m−1）.（x→0）sin⁡x=x+x33!

+x55!

+x77!

+⋯+（−1）m−1x2m−1（2m−1）!

+o（x2m−1）.（x→0）

由此可知，\sin{x}与\tan{x}相差一个较xx的三阶无穷小，此三阶无穷小与分母x3x3相比不可忽略，因为把上述结论代入原式得

limx→0tanx−sinxx3=limx→0x33+x33!

+o（x3）x3=12.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3=limx→0x33+x33!

+o（x3）x3=12.

由此，我们可以得出：

加减情况下不能随便使用等价无穷小。

下面我们给出一个在加减情况下使用等价无穷小的定理并加以证明。

在这里我们只讨论减的情况，因为我们知道加上一个数可以看成减去这个数的负数。

为方便，首先说明下面的定理及推论中的无穷小量其自变量都是xx，其趋近过程都相同：

x→0x→0，在有关的极限中都省去了极限的趋近过程。

定理2：

设α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一变化过程中的无穷小量，且α∼α1,β∼β1α∼α1,β∼β1，则α−β∼α1−β1α−β∼α1−β1的充分必要条件是limαβ=k≠1limαβ=k≠1。

证明：

1∘1∘充分性：

α∼α1,β∼β1⇒limαα1=limββ1=1α∼α1,β∼β1⇒limαα1=limββ1=1

又

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1

则

limα−βα1−β1=limαβ1−ββ1α1β1−1=k−1k−1=1limα−βα1−β1=limαβ1−ββ1α1β1−1=k−1k−1=1

即

α−β∼α1–β1.α−β∼α1–β1.

2∘2∘必要性：

α∼β,α1∼β1⇒limα−βα1−β1=1α∼β,α1∼β1⇒limα−βα1−β1=1

即

lim（α−βα1−β1−1）=0lim（α−βα1−β1−1）=0

通分得

limα−α1α1−β1−limβ−β1α1−β1=0limα−α1α1−β1−limβ−β1α1−β1=0

所以

limαα1−11−βα1−lim1−ββ1α1β1−1=0limαα1−11−βα1−lim1−ββ1α1β1−1=0

又

limαα1=1,limββ1=1limαα1=1,limββ1=1

所以

lim01−βα1−lim0α1β1−1=0lim01−βα1−lim0α1β1−1=0

所以

limβ1α1=k≠1⇒limα1β1=k≠1limβ1α1=k≠1⇒limα1β1=k≠1

又

limαβ=limα1β1.limαβ=limα1β1.

所以

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.

由1∘,2∘1∘,2∘得，原命题成立。

证毕。

这样一来，就得到了差形式无穷小量等价代换的充要条件。

例3：

limx→01−cosx+2sinxarcsin2x−sinx.limx→01−cos⁡x+2sin⁡xarcsin⁡2x−sin⁡x.

解：

1−cosx∼x22,−2sinx∼−2x,2arcsinx∼2x,sinx∼x（x→0）1−cos⁡x∼x22,−2sin⁡x∼−2x,2arcsin⁡x∼2x,sin⁡x∼x（x→0）

所以

limx→01−cosx−2sinx=0≠1,limx→02arcsinxsinx=2≠1limx→01−cos⁡x−2sin⁡x=0≠1,limx→02arcsin⁡xsin⁡x=2≠1

由定理2得

limx→01−cosx+2sinxarcsin2x−sinx=limx→x22+2xx=2.limx→01−cos⁡x+2sin⁡xarcsin⁡2x−sin⁡x=limx→x22+2xx=2.

例4：

limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x.limx→0arctan⁡2x+arcsin⁡5xsin⁡3x.

解：

arctan2x∼2x,arcsin5x∼5x,sin3x∼3x（x→0）arctan⁡2x∼2x,arcsin⁡5x∼5x,sin⁡3x∼3x（x→0）

又

limarctan2x−arcsin5x=−25≠1limarctan⁡2x−arcsin⁡5x=−25≠1

由定理2得

limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x=2x+5x3x=73.limx→0arctan⁡2x+arcsin⁡5xsin⁡3x=2x+5x3x=73.

总结

本文指出，在有加减的情况下不能随便运用等价无穷小代换求极限，并且指出了在有加减的情况下能够使用等价无穷小代换的充分必要条件。

对于不满足条件的情况，根据给出的泰勒展开公式，可以求出。