中考动态几何题探究.docx

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中考动态几何题探究

中考动态几何问题探索

题型一：

点动型

1.单动点型

例1如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

点F是否在直线NE上？

都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?

若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?

若成立?

请直接写出结论，不必证明或说明理由．

2.双动点型

例2如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．

（1）求证：

；

（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点

与

的运动速度相同，当动点

停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，

与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；

　　（3）在

（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．

练习1

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想

如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：

　　　　　②BC，CD，CF之间的数量关系为：

　　　　　　；（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考

如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸：

如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2

，CD=

BC，请求出GE的长．

练习2

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．

（1）请判断：

FG与CE的数量关系是　　　　　　，位置关系是　　　　　　；

（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，

（1）中结论是否仍然成立？

请作出判断并给予证明；

（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，

（1）中结论是否仍然成立？

请直接写出你的判断．

题型二：

线动型

1.线平移型

例3如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．

（1）当∠CPD=30°时，求AE的长；

（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？

若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

2.线旋转型

例4已知：

点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？

请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

题型三：

1.图形平移型

例5在三角形ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

　　（3）当三角尺在

（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，

（2）中的猜想是否仍然成立？

（不用说明理由）

练习

已知：

如图①，将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE，点M为边BC上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．

（1）①求证：

∠ANB=∠AMC；

②探究△AMN的形状；

（2）如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他条件不变，

（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？

若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

2.图形旋转型

　　例6　如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.

　　⑴在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N.

　　①证明DM＝DN；

　　②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？

若发生变化，请说明是如何变化的？

若不发生变化，求出其面积；

　　⑵继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

　　⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？

若成立，请写出结论，不用证明.

练习

如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？

若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．

①求证：

BD⊥CF；

②当AB=2，AD=3

时，求线段DH的长．

3.图形翻折型

　　例7如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.

（1）求证：

△PBE∽△QAB；

（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？

如果相似给出证明，如不相似请说明理由；

　　（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？

为什么？

练习

在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：

　　第一步：

对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；

　　第二步：

再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.

图1　　　　　　　　　　　　　　　　图2

　　请解答以下问题：

（1）如图1，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？

请证明你的结论；

（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合

（1）中结论的三角形纸片BMP？

　　（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？

为什么？

图3