高中数学必修5《111正弦定理》教学设计.docx
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高中数学必修5《111正弦定理》教学设计
高中数学必修5《1.1.1正弦定理》教学设计
一、教学内容分析
“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（人教版）第一章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。
为什么要研究正弦定理？
正弦定理是怎样发现的？
其证明方法是怎样想到的？
还有别的证法吗？
这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。
本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究，能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
二、学生学习情况分析
学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。
正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，《课程标准》强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，
可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。
三、设计思想
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改
革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢？
建构主义认为：
“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。
”这个观点从教学的角度来理解就是：
知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习
经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得
的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生
的意义建构起帮助和促进作用。
本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行
设计。
四、教学目标
1、知识与技能：
通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理
的内容及其证明方法。
2、过程与方法：
让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对
角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理
等方法，体验数学发现和创造的历程。
3、情感态度与价值观：
在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、
合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。
五、教学重点与难点
重点：
正弦定理的发现和推导
难点：
正弦定理的推导
教学准备：
制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
六、教学过程设计
（一）设置情境
教师：
展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，
船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如
果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？
学生：
思考提出测量角A，C。
教师：
若已知测得，，如何计算A、B两地距离？
师生共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及
两个角。
②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。
教师引导：
是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？
学生：
（思考交流）得出过点A作ADBC于D（如图2），把分为两
个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。
解：
过点A作ADBC于D
在中，
在中，
教师继续引导：
在上述问题中，若AC=b，AB=c，能否用B、b、C表示c呢？
学生：
发现，
教师：
引导，在刚才的推理过程中，你能想到什么？
你能发现什么？
学生：
发现即然有，那么也有，。
教师：
引导，，，我们习惯写成对称形式
，，，因此我们可以发现
，是否任意三角形都有这种边角关系呢？
设计意图：
兴趣是最好的老师。
如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一
半。
因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生
的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一
般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养
学生创造性思维能力。
（二）数学实验，验证猜想
教师：
给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。
（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：
b：
c为1：
1：
1，对应角的正弦值分别为，，，引导学生考察，，
的关系。
（学生回答它们相等）
（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C
分别为
，，
，对应的边长
a：
b：
c为
1：
1：
，对应角的正弦值分别为
，，1；（学生回答它们相等）
（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为c为1：
：
2，对应角的正弦值分别为，
，，，对应的边长a：
b：
，1。
（学生回答它们相等）（图
3）
教师：
对于呢？
学生：
思考交流得出，如图
4，在
RtABC
中，设
BC=a,AC=b,AB=c,
则有，，又,
则
从而在直角三角形ABC中，
教师：
那么任意三角形是否有呢？
借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。
边演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。
结论：
对于任意三角形都成立。
设计意图：
通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。
（三）证明猜想，得出定理
师生活动：
教师：
我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数
学的思想方法证明呢？
前面探索过程对我们有没有启发？
学
生分组讨论，每组派一个代表总结。
（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）
学生：
思考得出
（1）在中，成立，如前面检验。
（2）在锐角三角形中，如图5设BC=a，CA=b，AB=c
作：
，垂足为D
在中，
在中，
同理，在中，
（3）在钝角三角形中，如图
6设
为钝角,BC=a，CA=b，AB=c，作
交
BC的延长线于D
在中，
在中，
同锐角三角形证明可知：
教师：
我们把这条性质称为正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的
正弦的比相等，即
教师：
还有其它证明方法吗？
学生：
思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：
，
而由图中可以看出：
，，
=
=
等式中均除以后
可得，
即。
教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。
在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高，
三角形的面积：
，能否得到新面积公式
学生：
得到三角形面积公式
设计意图：
经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。
（四）利用定理，解决引例
师生活动：
教师：
现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。
学生：
马上得出
在中，
（五）了解解三角形概念
设计意图：
让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性。
教师：
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形
的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。
设计意图：
利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，
解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。
（六）运用定理，解决例题
师生活动：
教师：
引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
学生：
讨论正弦定理可以解决的问题类型：
（1）如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如
；
（2）如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如
。
师生：
例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：
在中，已知，，，解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：
在中，已知，，，解三角形。
例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流。
学生：
反馈练习（教科书第5页的练习）
用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。
设计意图：
自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。
（七）尝试小结：
教师：
提示引导学生总结本节课的主要内容。
学生：
思考交流，归纳总结。
师生：
让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：
（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。
（2）正弦定理的应用范围：
①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。
（3）分类讨论的数学思想。
设计意图：
通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
（八）作业设计
作业：
第10页[习题1.1]A组第1、2题。
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