大学物理上海交通大学章课后习题答案.docx
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大学物理上海交通大学章课后习题答案
习题14
14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心O处的磁感应强度
解：
圆弧在O点的磁感应强度：
B1
0I
4R
0I
6R，方向：
；
直导线在O点的磁感应强度：
B24Rc0os600[sin600sin（600）]
30I
2R，方向：
∴总场强：
14-2．如图所示，两个半径均为中通以电流强度均为I
R的线圈平行共轴放置，其圆心O1、O2相距为的同方向电流。
（1）以O1O2连线的中点O为原点，求轴线上坐标为的磁感应强度大小；
（2）试证明：
当aR时，O点处的磁场最为均匀。
a，在两线圈
x的任意点
0IR2
1）左线圈在x处P点产生的磁感应强度：
解：
见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：
0IR2a（a2
2（R2
z2
BP1
2[R2
x）2]2
BP2
R2
右线圈在x处P点产生的磁感应强度：
2[R2
0I
（a2x）2]32
P1和
P2方向一致，均沿轴线水平向右，
0IR2
2
∴P点磁感应强度：
BPBP1BP2
2
[R2（x
3
a2）2]2[R2
（x
a2
a2）2]
dB
2）因为BP随x变化，变化率为dx
，若此变化率在x
0处的变化最缓慢，则O点处的
磁场最为均匀，
面讨论O点附近磁感应强度随
x变化情况，即对BP的各阶导数进行讨论。
对B求一阶导数：
dB
dx
30IR2
2
（x
5
R2（xa2）2]2
a2
（xa2）[R2
a2
（xa2）2]
dB
0
当x0时，dx，可见在O点，磁感应强度B有极值。
对B求二阶导数：
d（dB）d2B
dx（dx）dx2
30IR2
2
[R2（x
5
a2）2]2
[R2
当x0时，
d2B
dx2
0I
R2
a2
5（x）
2
7
a）2]2
2
R2
7
（x
x0
[R2（2a）2]2，
，
5
2a22[R2（x）2]2
2
a2
5（x）
2
7
2a22[R2（x）2]2
2
d2B
可见，当a
当aR时，
R时，d2Bdx2
dx2
x0
0
，O点的磁感应强度B有极小值，
0
，O点的磁感应强度B有极大值，
d2Bdx
0
，说明磁感应强度B在O点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀
当aR时，强磁场。
【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】
解：
14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c部分是在xoy平面内半径为R的半圆，试求通以电流I时O点的磁感应强度。
∵a段对O点的磁感应强度可用S
I求得，
则：
O点的总场强：
0I
0I
BaBa
0j
有：
a4R，∴a
4R
b段的延长线过O点，Bb
0，
Bc40
c段产生的磁感应强度为：
4
R
40RIj+40RI
BO
，方向如图。
14-4．如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，均匀覆盖住半个球面。
设线圈的总匝数为N，
解：
从O点引出一根半径线，与水平方向呈
xRcos
0I
4R，
0I
c
c4R
线圈平面彼此平行，通过线圈的电流为I，求球心角，则有水平投影：
rRsin，取微元dl
且以单层线圈
O的磁感强度。
Rd，
，圆环半径：
0NIsin2d
∴B
0NI02sin2d
R0
0NI021cos2d
R0
4R。
14-5．无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示）
，空腔与导体的两轴线
平行，间距为a，若导体内的电流密度均匀为磁感应强度
，j的方向平行于轴线。
求腔内任意点的
解：
采用补偿法，将空腔部分看成填满了
以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，利用
的电流，那么，
0I，有：
2RB10jR2，
B
0jR
B1
同理，
还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路：
2r
B20（
j）
由图示可知：
r2，有：
B2
）a
那么，
1
20
14-6．在半径R示。
试求圆柱轴线上一点P处的磁感应强度的大小。
dlRd
1cm的无限长半圆柱形金属片中，有电流I
O?
?
O
5A自下而上通过R，如
解：
将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为
dIdl有：
R
的长直电流，
d
，利用
dB
0dI
2R
0Id
22R，
在P点处的磁感应强度为：
0I
22R
20I
2R
dBxdBsin
sin
d
，而因为对称性，
By0
那么，BBxdBx202IR0sin
6.37105T
。
14-7．如图所示，长直电缆由半径为R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R2、R3的导体圆
筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。
求距轴线为r处的磁感应强度大小（
0r
）。
1）当0rR1时，0Ir
解：
利用安培环路定理
B1
2R12；
B12有：
I分段讨论。
r2I
0R12
2）当
R1
r
R2时，有
：
B22
r0I
3）当
R2
r
R3时，有
B32
r0（I
B3
0
IR23
2r
2
rR23
R22；
4）当
r
R3时
，有：
B
42r
0（II）
0Ir
（0
rR1）
2
R12
B
2
0I
r
（R1
rR2）
2
0IR32
rR32
2
r
Rr22（R2
rR3）
则：
（rR3）
v匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密
14-8．一橡皮传输带以速度
求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度
的大
及它所产生的
证明对非相对论情形，运动电荷的速度
1
c
式中00）。
abcda，考虑到橡皮带上等效电流密
c12v
c
磁场B和电场E之间满足下述关系：
解：
（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路度为：
iv，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据安培环路定理有：
安a培bcd环路定理有：
abcd
dl
0Li
B2L
0L
v，
的大小：
∴磁感应强度
（2）非相对论情形下：
0v
2
aLbc
匀速运动的点电荷产生的磁场为：
点电荷产生的电场为：
1
40
即为结论：
q2r?
r
q2r?
r，
0qv
4r2
c
式中
00）。
14-9．一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为半径为R。
若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为求：
（1）圆柱体内距轴线r处的磁感应强度的大小；
（2）两端面中心的磁感应强度的大小。
解：
（1）考察圆柱体内距轴线r处到半径R的圆环等效电流。
dI
dq
2rLdr
R
1
2
2
t
T
Lrdr
，∴
r
Lrdr
2
L（R2
r2）
选环路abcd如图所示，bdSB
S
L（R2
由安培环路定理：
rd
L
0
2
2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强B0R2
B端面中心4。
度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：
14-10．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流
I，电流在两个阴
影所示的横截面的面积皆为S，两圆柱轴线间的距离O1O2的磁感应强度。
解：
因为一个阴影的横截面积为S，那么面电流密度为：
iIS，利用补偿法，将真空部分看成通有电流i，设其中一个阴影在真空部分某点P处产生的磁场为B1，距离为r1，另一个为B2、r2，有：
r1r2d。
利用安培环路定理可得：
d，试求两导体中部真空部分
即空腔处磁感应强度大小为
B0Id
2S，方向向上。
14-11．无限长直线电流I1与直线电流I2共面，几何位置如图所示，试求直线电流I2受到电流I1磁场的作用力。
解：
在直线电流I2上任意取一个小电流元I2dl，此电流元到长直线的距离为x，无限长直线电流I1
在小电流元处产生的磁感应强度为：
0I1
2x
b0I1I2dx0I1I2b
Fa2xcos600lna
14-12．在电视显象管的电子束中，电子能量为12000eV，这个显像管的取向使电子沿水
平方向由南向北运动。
该处地球磁场的垂直分量向下，大小为B5.510T，问：
（1）电子束将偏向什么方向
（2）电子的加速度是多少（3）电子束在显象管内在南北方向上通过
解：
（
1）根据
fqv
12
mv
2
B可判断出电子束将偏向东。
南
（2）
E利用
v
，有：
2Em，
而f
qvB
ma，∴
qvBa
m
qmB2Em6.28
mm
141
10ms
20cm时将偏转多远
3）
y
12at2
北
电子束方向B
21a（vL）23mm
14-13．一半径为R的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的长直导线的电流I等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力。
I1
i解：
设半圆柱面导体的线电流分布为R，
如图，由安培环路定理，i电流在O点处产生的磁感应强度为：
dB0iRd
2R，
14-14．如图14-55所示，一个带有电荷q（q0）的粒子，
以速度v平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为（0），并载有传导电流I。
试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为d的平行线上解：
由安培环路定律
0I知：
B电流I在q处产生的磁感应强度为：
0I
2d，方向；
F洛qvBqv0I
运动电荷q受到的洛仑兹力方向向左，大小：
2d，同时由于导线带有线电荷密度为，在q处产生的电场强度可用高斯定律求得为：
q
20d；
E
20d，q受到的静电场力方向向右，大小：
欲使粒子保持在一条与导线距离为d的平行线，需qv0Iqv
即：
2d20d，可得00I。
F洛
14-15．截面积为S、密度为可以绕水平轴OO转动，如图直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为的竖直位置偏转
的铜导线被弯成正方形的三边，
14-53所示。
导线放在方向竖
I时，导线离开原来
解：
设
平衡时重力矩等于磁力矩：
，磁力矩的大小：
M
Mmgasin2mg重力矩为：
一个角度
而平衡，
求磁感应强度。
m
aS
边长为
a，质量为
，
BIa2
sin（900
）
BIa2
cos
a
sin
2
2mgasin
2mg
2
gS
Ia
I
平衡时：
BIa2cos
2mgasin
U形导线，质量为m
14-16．有一个导线水平部分的长度为l，处在磁感应强度大小为B的均匀磁场中，如图所示。
当接通电源时，U导线就会从水银槽中跳起来。
假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略，试由导线跳起所达到的高度h计算电流脉冲的电荷量dvmdt
，两端浸没在水银槽中，
BIl
解：
接通电流时有FBIl
I，而
q。
dqdt，
则：
mdvBldq
q
，积分有：
vm
dv
0Bl
mv
Bl
1mv2mgh
又由机械能守恒：
2
，有：
v2gh，
mvBl
Bml2gh。
。
14-17．半径为R的半圆形闭合线圈，载有电流I，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。
求：
（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；
（2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功为多少
2
IR2n解：
（1）线圈的磁矩为：
pmISn2n，
pm
，此时线圈所受力矩的大小为：
12
MpmBsinRIB
m22；
磁力矩的方向由
（2）线圈旋转时，
pmB确定，为垂直于磁力矩作功为：
B的方向向上，如图；
AI
2m
1m
I（B12
R20）
BR2I
2。
Md
或：
21
02
2
R2IBsin
d12
R2IB
】
B
14-1．
在图
思考题
1、
a）
P1
P1
L2
（C）L1B
BP2
。
答：
B的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。
所以（C）对。
和（b）中各有一半径相同的圆形回路L1、
其分布相同，上的对应点，（A）Bdl
L1
BP2；
；
，圆周内有电流I1、I2，
3，P1、P2为两圆形回路
B随x的变化关系（x
14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O）
答：
载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度
0IR22x3。
2（R2
0IR2
232
x2）2
B0IB
∴x0时，2R（xR），
根据上述两式可判断（C）图对。
14-3．取一闭合积分回路L，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：
（A）回路L内的
I不变，
L上各点的
B不变；
（B）回路L内的
I
不变，
L上各点的
B改变；
（C）回路L内的
I改变，
L上各点的
B不变；
（D）回路L内的
I改变，
L上各点的
B改变.
答：
（B）对。
14-4．一载有电流
I的细导线分别均匀密绕在半径为R和r的长直圆筒上形成两个螺线管
（R2r），两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小BR和Br应满
足：
（A）BR2Br；（B）BRBr；（C）2BRBr；（D）BR4Br.答：
对于长直螺线管：
B0nI，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁
感应强度相等。
（B）对。
14-5．均匀磁场的磁感应强度B垂直于半径为r的圆面。
今以该圆周为边线，作一半球面S，则通过S面的磁通量的大小为多少
答：
Br2。
14-6．如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈向什么方向转动答：
ab受力方向垂直纸面向里，cd受力外，在力偶矩的作用下，ab垂直纸面向里运动，cd垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋
14-7．一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则
（A）两粒子的电荷必然同号；
（B）粒子的电荷可以同号也可以异号；
C）两粒子的动量大小必然不同；
D）两粒子的运动周期必然不同。
答：
选（B）
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