完整版高考一轮复习教案函数的单调性.docx

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完整版高考一轮复习教案函数的单调性

函数的单调性与最值

x1－x2

、函数的单调性

1．单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1

当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间A上是减少的

图象描述

自左向右看图象是逐渐上升

的

自左向右看图象是逐渐下降的

2.单调区间的定义

如果函数y＝f（x）在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．

3求函数单调区间的两个注意点：

（1）单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．

（2）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

4必记结论

1．单调函数的定义有以下若干等价形式：

设x1，x2∈[a，b]，那么

fx1－fx2

①1－2>0?

f（x）在[a，b]上是增函数；

x1－x2

<0?

f（x）在[a，b]上是减函数．

fx1－fx2

②（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0?

f（x）在[a，b]上是增函数；

（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]<0?

f（x）在[a，b]上是减函数．

2．复合函数y＝f[g（x）]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f（u）与u＝g（x）若具有相同的单调性，则y＝f[g（x）]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g（x）]必为减函数．

考点一函数单调性的判断

1．下列四个函数中，在（0，＋∞）上为增函数的是（

解析：

当x>0时，f（x）＝3－x为减函数；

32

当x∈0，2时，f（x）＝x2－3x为减函数，

3

当x∈2，＋∞时，f（x）＝x2－3x为增函数；

1

当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－x＋1为增函数；

当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－|x|为减函数．故选C.答案：

C

－2x

2．判断函数g（x）＝在（1，＋∞）上的单调性．

x－1

解：

法一：

定义法

任取x1，x2∈（1，＋∞），且x1

－2x1－2x22x1－x2

则g（x1）－g（x2）＝x1－1－x2－1＝x1－1x2－1，

因为1

所以x1－x2<0，（x1－1）（x2－1）>0，

因此g（x1）－g（x2）<0，即g（x1）

导数法

－2x－1＋2x2

∵g′（x）＝x－12＝x－12>0，

∴g（x）在（1，＋∞）上是增函数．

给出解析式函数单调性的两种判定方法

1．定义法（基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断）．*2．导数法（基本步骤为求定义域、求导、变形、判断）．

考点二函数的单调区间的求法|

1求下列函数的单调区间：

（1）y＝－x2＋2|x|＋1；

（2）y＝log21（x2－3x＋2）．

[解]

（1）由于

2

－x＋2x＋1，x≥0，＝2

－x2－2x＋1，x<0，

画出函数图象如图所示，

单调递增区间为（－∞，－1]和[0,1]，

单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞）．

1

（2）令u＝x－3x＋2，则原函数可以看作y＝log2u与u＝x2－3x＋2的复合函数．

令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2.

12

∴函数y＝log2（x2－3x＋2）的定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞）．23

又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝2，且开口向上．

∴u＝x2－3x＋2在（－∞，1）上是单调减函数，在（2，＋∞）上是单调增函数．

1

而y＝log2u在（0，＋∞）上是单调减函数，

1

∴y＝log2（x2－3x＋2）的单调递减区间为（2，＋∞），单调递增区间为（－∞，1）．

函数单调区间的四种求法

（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．

（2）定义法：

先求定义域，再利用单调性定义．

（3）图象法：

如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

*（4）导数法：

利用导数取值的正负确定函数的单调区间．

A．（－∞，0）

B.

0，12

C．［0，＋∞）

D.

1

，＋∞

2，＋∞

解析：

y＝|x|（1－x）

x1－xx≥0

－x1－xx<0

－x－212＋41x≥0

121x－－x－2－4

x<0

画出函数的草图，如图．

1

由图易知原函数在0，2上单调递增．

答案：

B

考点三函数单调性的应用函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．见的命题探究角度有：

1．求函数的值域或最值．

2．比较两个函数值或两个自变量的大小．3．解函数不等式．

4．求参数的取值范围或值．

归纳起来，常

求函数的值域或最值

2

x＋－3，x≥1，

1.已知函数f（x）＝x

lgx2＋1，x<1，

则f（f（－3））＝

，f（x）的

最小值是

2比较两个函数值或两自变量的大小

1

2．已知函数f（x）＝log2x＋，若x1∈（1,2），x2∈（2，＋∞），则（）

1－x

A．f（x1）<0，f（x2）<0B．f（x1）<0，f（x2）>0

C．f（x1）>0，f（x2）<0D．f（x1）>0，f（x2）>0

3解函数不等式

x3，x≤0，2

3．已知函数f（x）＝若f（2－x2）>f（x），则实数x的

lnx＋1，x>0，

取值范围是（）

A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

B．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

C．（－1,2）

D．（－2,1）

4利用单调性求参数的取值范围

2－ax＋1x<1，

4．已知f（x）＝x满足对任意x1≠x2，都有ax≥1

fx1－fx2

1－2>0成立，那么a的取值范围是（）

x1－x2

33

A.2，2B.1，2

C．（1,2）D．（1，＋∞）

1.解析：

由题知，f（－3）＝1，f

（1）＝0，即f（f（－3））＝0.又f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0,1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，所以f（x）min＝min{f（0），f

（2）}＝22－3.

答案：

022－3

1

2.解析：

∵函数f（x）＝log2x＋在（1，＋∞）上为增函数，且f

（2）＝0，

1－x

∴当x1∈（1,2）时，f（x1）

（2）＝0，

当x2∈（2，＋∞）时，f（x2）>f

（2）＝0，

即f（x1）<0，f（x2）>0.

答案：

B

3.解析：

∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f（x）＝x3为增函数，当x>0时，f（x）＝ln（x＋1）也是增函数，且当x1<0，x2>0时，f（x1）f（x）等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2

答案：

D

2－a>0，

4.解析：

依题意，f（x）是在R上的增函数，于是有a>1，

1

2－a×1＋1≤a.

3

解得2≤a<2，故选A.

答案：

A

函数单调性应用问题的四种类型及解题策略

（1）比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

（3）利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

（4）利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．

1.确定抽象函数的单调性以及解含“f”的不等式

【典例】函数f（x）对任意a，b∈R，都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，当x>0时，有f（x）>1.

（1）求证：

f（x）是R上的增函数；

（2）若f（4）＝5，解不等式f（2t－1）－f（1＋t）<2.

[规范解答]

（1）证明：

设x1，x2∈R且x10，

∴f（x2－x1）>1.（2分）

根据条件等式有

2－

f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1＋x1）－f（x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）＝f（xx1）－1>0，

∴f（x1）

（2）由f（a＋b）＝f（a）＋f（b）－1，得f（a＋b）－f（a）＝f（b）－1，

∴f（2t－1）－f（1＋t）＝f（t－2）－1，（8分）

∴f（2t－1）－f（1＋t）<2，即f（t－2）－1<2，

∴f（t－2）<3.

又f（2＋2）＝f

（2）＋f

（2）－1＝5，

∴f

（2）＝3，

∴f（t－2）<3＝f

（2）．（10分）

∵f（x）是R上的增函数，

∴t－2<2，∴t<4，故不等式的解集为（－∞，4）．

1．

A．

下列函数中，定义域是

－x

y＝e

C．

2．

y＝lnx下列四个函数：

1

①y＝3－x；②y＝x2＋1；

③y＝x2＋2x－10；④y＝

练习A组

R且为增函数的是（）

B．

D．

y＝x

y＝|x|

－x

－1

x

x≤0

x>0

其中值域为R的函数有（A．1个B．2个C．3个

2

3．若函数f（x）＝－x＋2ax

与函数g（x）

a

＝x＋1在区间[1,2]上都是减函数，

则实数a的取值范围为（

A．（0,1）∪（0,1）

B．（0,1）

C．（0,1）

D．（0,1]

2

x2－4x＋3，x≤0，

4．已知函数f（x）

＝2

－x－2x＋3，x>0，

）

∪（0,1]

）

则不等式f（a2－4）>f（3a）的解

集为（

A．

（2,6）

B．（－1,4）

C．

（1,4）

D．（－3,5）

5．

如果函数y＝f（x）

在区间I上是增函数，且函数y＝

在区间

I上是减函数，那么称函数y＝f（x）是区间I上的“缓增函

x

x

13

数”，区间I叫作“缓增区间”．若函数f（x）＝12x2－x＋32是区间I上的“缓增

函数”

，则“缓增区间”I为（）

A．[1，＋∞）

C．[0,1]

B．[0，3]

D．[1，3]

6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，若对任意的x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），fx2－fx1

有2－<0，则f（3），f（－2），f

（1）的大小关系为．

x2－x1

1，x>0，

7．设函数f（x）＝0，x＝0，g（x）＝x2f（x－1），则函数g（x）的递减

－1，x<0，

区间是．

8．已知函数f（x）＝|x＋a|在（－∞，－1）上是单调函数，则a的取值范围是．

x9．已知f（x）＝x－a（x≠a）．

（1）若a＝－2，试证f（x）在（－∞，－2）上单调递增；

（2）若a>0且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，求a的取值范围．

练习B组

1．下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（）

A．y＝x＋1B．y＝（x－1）

C．y＝2－xD．y＝log0.5（x＋1）

*2．“a≤0”是“函数f（x）＝|（ax－1）x|在区间（0，＋∞）内单调递增”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

－x＋6，x≤2，

3．若函数f（x）＝（a>0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），3＋logax，x>2

则实数a的取值范围是．

4．a为实数，函数f（x）＝|x2－ax|在区间[0,1]上的最大值记为g（a）．当a＝时，g（a）的值最小．

答案

1.解析：

因为定义域是R，排除C，又是增函数，排除A、D，所以选B.

答案：

B

－xx≤0，

2.解析：

依题意，注意到y＝3－x与函数y＝1的值

－x>0

x

22a≤1，

3.解析：

注意到f（x）＝－（x－a）2＋a2；依题意得即0

a>0，

选D.

答案：

D

4.解析：

作出函数f（x）的图象，如图所示，则函数f（x）在R上是单调递减的．由f（a2－4）>f（3a），可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即（a＋1）（a－4）<0，解得－1

答案：

B

123

5.解析：

因为函数f（x）＝2x－x＋2的对称轴为x＝1，所以函数y＝f（x）在

fx131区间［1，＋∞）上是增函数，又当x≥1时，x＝2x－1＋2x，令g（x）＝2x－

313x2－3

1＋2x（x≥1），则g′（x）＝2－2x2＝2x2，由g′（x）≤0得1≤x≤3，即函数

13

＝2x－1＋2x在区间［1，3］上单调递减，故“缓增区间”I

答案：

D

∴f（x）在（0，＋∞）上为减函数．又f（－2）＝f

（2），1<2<3，

∴f

（1）>f（－2）>f（3）

即f

（1）>f

（2）>f（3）

答案：

f

（1）>f（－2）>f（3）

2

x，x>1，

7.解析：

g（x）＝0，x＝1，

－x2，x<1.

是［0,1）．

答案：

［0,1）

8.解析：

因为函数f（x）在（－∞，－a）上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.

答案：

（－∞，1]

9.解：

（1）证明：

任设x1

x1x2

则f（x1）－f（x2）＝x1＋2－x2＋2

2x1－x2

＝x1＋2x2＋2.

∵（x1＋2）（x2＋2）>0，x1－x2<0，

∴f（x1）

∴f（x）在（－∞，－2）上单调递增．

当a>0时，f（x）在（－∞，a），（a，＋∞）上是减函数，又f（x）在（1，＋∞）上单调递减，

∴0

10.

解：

（1）∵f（x）＝g（x）·h（x）＝（x＋1）x＋13＝xx＋＋31，

1

（2）函数f（x）的定义域为0，4，3

令x＋1＝t，则x＝（t－1）2，t∈1，2，t1

f（x）＝F（t）＝t2－2t＋4＝4.

t＋t－2

4334

∵t＝t时，t＝±2?

1，2，又t∈1，2时，t＋t单调递减，F（t）单调递增，16

∴F（t）∈31，13.

16

即函数f（x）的值域为3，13.

1

1.解析：

y＝（x－1）仅在[1，＋∞）上为增函数，排除B；y＝2－x＝2x为减函数，排除C；因为y＝log0.5t为减函数，t＝x＋1为增函数，所以y＝log0.5（x＋1）为减函数，排除D；y＝t和t＝x＋1均为增函数，所以y＝x＋1为增函数，故选A.

答案：

A

2.解析：

由二次函数的图象和性质知f（x）＝|（ax－1）x|在（0，＋∞）内单调

1

递增，只需f（x）的图象在（0，＋∞）上与x轴无交点，即a＝0或<0，整理得a≤0，a

而当a≤0时，结合图象（图略）可知f（x）在（0，＋∞）上为增函数．故a≤0是f（x）在（0，＋∞）上单调递增的充要条件，故选C.

答案：

C

a>1，数f（x）的值域为[4，＋∞），所以解得1

3＋loga2≥4.

取值范围为（1,2]．

答案：

（1,2]

aa2

4.解析：

f（x）＝x－22－4，其在区间[0,1]上的最大值必在x＝0，x＝1，

2aaax＝2处产生，即g（a）＝maxf0，f1，f2＝max0，|1－a|，4＝

a2a2

max|1－a|，4，在同一坐标系中分别画出y＝|1－a|，y＝4的图象可知（图略），

例题

1．

列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递减的是（）

值范围是（）

1.解析：

根据函数的图象知，函数

f（x）＝x1在（0，＋∞）上单调递减，故选

x

A.答案：

A

1

2.解析：

要使y＝log5（2x＋1）有意义，则2x＋1>0，即x>－2，而y＝log5u

为（0，＋∞）上的增函数，当x>－21时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数

11

的单调增区间是－2，＋∞.答案：

－2，＋∞

3.解析：

要使函数在R上是增函数，

a

－≥1，

－2≥1，则有

a<0，

－1－a－5≤a，

解得－3≤a≤－2，即a的取值范围是[－3，－2]．答案：

B