（ ）
图1
A．与E、F位置有关
B．与Q位置有关
C．与E、F、Q位置都有关
D．与E、F、Q位置均无关，是定值
解析：
VA′－EFQ＝VQ－A′EF.
答案：
D
6．设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连结MB、MC，若∠BMC＝90°，则的值为
（ ）
A.B.
C.D．1
解析：
设正四面体的棱长为a，MH＝x，则MC2＝MB2＝MH2＋BH2＝x2＋a2，在Rt△BMC中，由MB2＋MC2＝BC2，得2（x2＋a2）＝a2，解得x＝a，∴AM＝MH＝AH，即＝1.
答案：
D
7．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为
（ ）
A.B.
C.D.
解析：
设球心O到平面ABC的距离为h，由等体积法可知，VO－ABC＝VC－AOB，即h·S△ABC＝OC·S△AOB，即h＝＝＝.
答案：
B
8．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成的角的余弦值是
（ ）
A.B.
C.D.
解析：
由题意易知∠ABC1即为AD与BC1所成的角，解△ABC1，得余弦为.
答案：
D
9．（2010·保定调研）在正四面体S—ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的大小为
（ ）
A．arccosB．45°
C．arctanD．arctan
解析：
连接SF，则SF⊥平面ABC.连接AF并延长交BC于H，取线段AF的中点G，连接EG，由E为SA的中点，则EG∥SF，∴EG⊥平面ABC，∴∠EFG即为EF与平面ABC所成的角．
图2
设正四面体的边长为a，则AH＝a，且AF＝AH＝a；
在Rt△AGE中，AE＝，AG＝AF＝a，∠EGA＝90°，
∴EG＝＝a.
在Rt△EGF中，FG＝AF＝a，EG＝a，∠EGF＝90°，
∴tan∠EFG＝＝，∴∠EFG＝arctan，即EF与平面ABC所成的角为arctan，故选C.
答案：
C
10．（2010·江西五校联考）如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD将△ABD折起，使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上，若二面角C—AB—D的平面角大小为θ，则sinθ的值等于
（ ）
图3
A.B.
C.D.
解析：
由题意可知，折起后平面ABC⊥平面BCD，又∵DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB，又∵AB⊥AD，AD∩DC＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∴∠CAD即为二面角C—AB—D的平面角θ，在直角三角形ACD中，易求得
sinθ＝，故选C.
答案：
C
11．（2009·全国卷Ⅱ）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是
图4
（ ）
A．南B．北
C．西D．下
解析：
将展开图还原成原来的正方体可知选B.
答案：
B
12．（2010·南昌一调）如图5，在棱长为4的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A—A′D′—B′所围成的几何体的体积为
（ ）
图5
A. B. C. D.
解析：
依题意可知|FP|＝|MN|＝1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面，于是所求的体积是×（π×13）＝π，选C.
答案：
C
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（2010·郑州一检）下列命题：
①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面内的两个不同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行．其中的真命题是__________（把正确的命题序号全部填在横线上）．
解析：
对于①，相应的两个平面可能相交，因此①不正确；对于②，其中的两条直线可能是两条平行直线，此时相应的两个平面不一定平行，因此②不正确；对于③④，显然正确．
答案：
③④
14．设球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，A与B、A与C的球面距离为，B与C的球面距离为，则球O在二面角B－OA－C内的这部分球面的面积是__________．
解析：
如图6所示．
图6
∵A与B，A与C的球面距离都为，
∴OA⊥OB，OA⊥OC.
从而∠BOC为二面角B－OA－C的平面角．
又∵B与C的球面距离为，
∴∠BOC＝.
这样球O在二面角B－OA－C的部分球面的面积等于×4πR2＝R2.
答案：
R2
15．如图7，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面成60°的二面角，则AB与平面BCD所成角的大小为________．
图7
解析：
作AE⊥BD，连结CE，则CE⊥BD，∠AEC＝60°.
作AO⊥EC，则AO⊥面BCD，
连结BO，∠ABO即为AB与面BCD所成的角．
设AB＝a，则AE＝a，AO＝AEsin60°＝a×＝a.∴sin∠ABO＝＝.
∴∠ABO＝arcsin.
答案：
arcsin
16．（2010·东北三校一模）如图8，将∠B＝，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B—AC—D，若θ∈[，]，M、N分别为AC、BD的中点，则下面的四种说法：
图8
①AC⊥MN；
②DM与平面ABC所成的角是θ；
③线段MN的最大值是，最小值是；
④当θ＝时，BC与AD所成的角等于.
其中正确的说法有__________（填上所有正确说法的序号）．
解析：
如图9
（1），AC⊥BM，AC⊥MD⇒AC⊥平面BMD，所以AC⊥MN，①正确；因为θ∈[，]，且线与面所成角的范围为[0，]，所以DM与平面ABC所成的角不一定是θ，②错；BM＝DM＝，MN⊥BD，∠BMD＝θ，所以MN＝BM·cos＝·cos，所以线段MN的最大值是，最小值是，③正确；当θ＝时，过C作CE∥AD，连接DE（如图9
（2）），且DE∥AC，则∠BCE（或补角）即为两直线的夹角，BM⊥DM，BM＝DM＝，BD2＝，又DE∥AC，则DE⊥平面BDM，∴DE⊥BD，BE2＝＋1＝，cosBCE＝＝－≠0，所以④错．
图9
答案：
①③
三、解答题（本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分）
17．（12分）（2010·石家庄质检）如图10，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、A1D1的中点，G、H分别为BC、B1D1的中点．
图10
（1）指出直线GH与平面EFDB的位置关系，并加以证明；
（2）求异面直线GH与DF所成角的大小．
解：
（1）连结EH，易知EH＝BG且EH∥BG，
所以四边形EHGB为平行四边形，所以GH∥BE，所以GH∥平面EFDB.
（2）取BD中点M，连结MF，易知MF∥BE，所以MF∥GH，
所以∠DFM为异面直线GH与DF所成的角，
设正方体棱长为2，
可得，MF＝，DF＝，MD＝，
在三角形MDF中，由余弦定理可得cos∠MFD＝，
∴异面直线GH与DF所成的角的大小为arccos.
18．（12分）如图11，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D在斜边AB上，∠BCD＝α（0<α<）．把△BCD沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD.
图11
（1）求点B′到平面ACD的距离（用α表示）；
（2）当AD⊥B′C时，求三棱锥B′－ACD的体积．
解：
（1）作B′E⊥CD于E.
∵平面B′CD⊥平面ACD，
∴B′E⊥平面ACD.
∴B′E的长为点B′到平面ACD的距离．
B′E＝B′C·sinα＝sinα.
图12
（2）∵B′E⊥平面ACD，
∴CE为B′C在平面ACD内的射影．
又AD⊥B′C，∴AD⊥CD（CE）．
∵AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，
∴D为AB中点，且α＝.
∴S△ACD＝·AC·BC＝，B′E＝sin＝.
∴VB′－ACD＝··＝.
19．（12分）（2009·湖北联考）如图13，长方体AC1中，AB＝2，BC＝AA1＝1.E、F、G分别为棱DD1、D1C1、BC的中点．
（1）试在底面A1B1C1D1上找一点H，使EH∥平面FGB1；
（2）求四面体EFGB1的体积．
图13
解：
（1）取A1D1的中点P，D1P的中点H，连接DP、EH，则DP∥B1G，EH∥DP，∴EH∥B1G，又B1G⊂平面FGB1，∴EH∥平面FGB1.
即H在A1D1上，且HD1＝A1D1时，EH∥平面FGB1.
20．（12分）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB＝CC1＝a，BC＝b.
（1）设E，F分别为AB1，BC1的中点，求证：
EF∥平面ABC；
（2）求证：
A1C1⊥AB；
（3）求点B1到平面ABC1的距离．
图14
解：
（1）∵E，F分别为AB1，BC1的中点，∴EF∥A1C1.
∵A1C1∥AC，
∴EF∥AC，∴EF∥平面ABC.
（2）∵AB＝CC1，∴AB＝BB1.
又三棱柱为直三棱柱，
∴四边形ABB1A1为正方形，
连结A1B，则A1B⊥AB1.
又∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面A1BC1，∴AB1⊥A1C1.
又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面A1ABB1，∴A1C1⊥AB.
（3）∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1，
∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离，过A1作A1G⊥AC1于G.
∵AB⊥平面ACC1A1，∴AB⊥A1G，
从而A1G⊥平面ABC1，故A1G即为所求的距离，
求得A1G＝.
21．（12分）（2009·唐山二模）如图15，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面所成的角为60°，AB＝BC，A1A＝A1C＝2，AB⊥BC，侧面AA1C1C⊥底面ABC.
（1）证明：
A1B⊥A1C1；
（2）求二面角A－CC1－B的大小；
（3）求经过A1、A、B、C四点的球的表面积．
解：
取AC中点为O，由A1A＝A1C，AB＝BC，知A1O⊥AC，BO⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC，所以A1O⊥OB.
建立如图16所示的坐标系O－xyz，则A（0，－1,0），
B（1,0,0），A1（0,0，），C（0,1,0）．
（1）∵＝（1,0，－），＝＝（0,2,0），
∴·＝0，∴A1B⊥A1C1.
（2）设n＝（x，y，z）为面BCC1的一个法向量．
∵＝（－1,1,0），＝＝（0,1，），
又n·＝n·＝0，
∴取n＝（，，－1）．
又m＝（1,0,0）是面ACC1的法向量，
cosm，n＝＝＝.
由点B在平面ACC1内的射影O在二面角的面ACC1内，知二面角A－CC1－B为锐角，
所以二面角A－CC1－B的大小为arccos.
（3）设球心为O1，因为O是△ABC的外心，A1O⊥平面ABC，
所以点O1在A1O上，则O1是正三角形A1AC的中心．
则球半径R＝A1A＝，球表面积S＝4πR2＝π.
22．（14分）
（2009·北京东城模拟）如图17所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．
图17
（1）求证：
PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E－AC－D的大小；
（3）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？
若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
解：
（1）证明：
∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA.
同理CD⊥PA，
∴PA⊥平面ABCD.
（2）建立如图18所示的空间直角坐标系A－xyz，
图18
则A（0,0,0），C（2,2,0）、E（0,1,1）．
设m＝（x，y，z）为平面AEC的一个法向量．
则m⊥，m⊥.
又＝（0,1,1），＝（2,2,0），
∴
令x＝1，则y＝－1，z＝1，得m＝（1，－1,1）
又＝（0,0,2）是平面ACD的一个法向量，
设二面角E－AC－D的大小为θ，则
cosθ＝cosm，＝＝＝.
∴二面角E－AC－D的大小为arccos.
（3）设F（2，t,0）（0≤t≤2），n＝（a，b，c）为平面PAF的一个法向量，则n⊥，n⊥.
又＝（0,0,2），＝（2，t,0），∴
令a＝t，则b＝－2，c＝0，
得n＝（t，－2,0）．
又＝（0,1,1）．
∴点E到平面PAF的距离为＝，
∴＝，解得t＝1，即F（2,1,0）．
∴在线段BC上存在点F，且F为BC中点，使得点E到平面PAF的距离为.
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