版高考数学一轮复习集合与常用逻辑用语11集合及其运算理.docx

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版高考数学一轮复习集合与常用逻辑用语11集合及其运算理

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算理

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB（或BA）

集合相等

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

3.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

Venn图

交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

【知识拓展】

1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U（∁UA）＝A.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集．（　×　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×　）

（4）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　√　）

（5）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（　√　）

（6）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

1．（教材改编）若集合A＝{x∈N|x≤

}，a＝2

，则下列结论正确的是（　　）

A．{a}⊆AB．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

答案　D

解析　由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2

，知a∉A.

2．（2016·江西重点中学联考）已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝

}，则A∩B等于（　　）

A．[1,3]B．[1,5]C．[3,5]D．[1，＋∞）

答案　C

解析　根据题意，得A＝{x|x2－6x＋5≤0}＝{x|1≤x≤5}，

B＝{x|y＝

}＝{x|x≥3}，

所以A∩B＝{x|3≤x≤5}＝[3,5]．

3．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于（　　）

A．{－1,0,1,2}B．{－2，－1,0,1}

C．{0,1}D．{－1,0}

答案　A

解析　因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A.

4．（2016·天津）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于（　　）

A．{1}B．{4}

C．{1,3}D．{1,4}

答案　D

解析　因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；

当x＝2时，y＝3×2－2＝4；

当x＝3时，y＝3×3－2＝7；

当x＝4时，y＝3×4－2＝10；

即B＝{1,4,7,10}．

又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.

5．（2016·云南名校联考）集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x

答案　[2，＋∞）

解析　由A∩B＝A，知A⊆B，

从数轴观察得a≥2.

题型一　集合的含义

例1　

（1）（2017·济南调研）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是（　　）

A．9B．8C．7D．6

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

答案　

（1）B　

（2）0或

解析　

（1）当a＝0时，a＋b＝1,2,6；

当a＝2时，a＋b＝3,4,8；

当a＝5时，a＋b＝6,7,11.

由集合中元素的互异性知P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素．

（2）若a＝0，则A＝

，符合题意；

若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝

.

综上，a的值为0或

.

思维升华　

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

（1）（2016·临沂模拟）已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是（　　）

A．－1∉AB．－11∈A

C．3k2－1∈A（k∈Z）D．－34∉A

（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝________.

答案　

（1）C　

（2）2

解析　

（1）∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.

（2）因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，

所以a＋b＝0，得

＝－1，

所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.

题型二　集合的基本关系

例2　

（1）（2016·唐山一模）设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的B的个数是（　　）

A．5B．4C．3D．2

（2）已知集合A＝{x|x2－2017x＋2016<0}，B＝{x|x

答案　

（1）B　

（2）[2016，＋∞）

解析　

（1）∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，

∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

（2）由x2－2017x＋2016<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

可得a≥2016.

引申探究

本例

（2）中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

答案　（－∞，1]

解析　A＝{x|1

可得a≤1.

思维升华　

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

（1）已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（　　）

A.

或－

B．－

或

C.

或－

或0D．－

或

或0

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

答案　

（1）D　

（2）（－∞，4]

解析　

（1）由题意知A＝{2，－3}．

当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝

，

由B⊆A，可得

＝－3或

＝2，

∴a＝－

或a＝

.

综上，a的值为－

或

或0.

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；

当B≠∅时，若B⊆A，如图，

则

解得2

综上，m的取值范围为（－∞，4]．

题型三　集合的基本运算

命题点1　集合的运算

例3　

（1）（2016·全国乙卷）设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B等于（　　）

A.

B.

C.

D.

（2）（2016·浙江）已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）等于（　　）

A．[2,3]B．（－2,3]

C．[1,2）D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）

答案　

（1）D　

（2）B

解析　

（1）由A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1

B＝{x|2x－3>0}＝{x|x>

}，

得A∩B＝{x|

，故选D.

（2）由已知得Q＝{x|x≥2或x≤－2}．

∴∁RQ＝（－2,2）．又P＝[1,3]，

∴P∪（∁RQ）＝[1,3]∪（－2,2）＝（－2,3]．

命题点2　利用集合的运算求参数

例4　

（1）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．－12

C．a≥－1D．a>－1

（2）集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为（　　）

A．0B．1C．2D．4

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

（2）由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.

思维升华　

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

（1）（2016·山东）设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于（　　）

A．（－1,1）B．（0,1）

C．（－1，＋∞）D．（0，＋∞）

（2）已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

A．[－1,2）B．[－1,3]

C．[2，＋∞）D．[－1，＋∞）

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1

∴A∪B＝（－1，＋∞），故选C.

（2）由x2－x－12≤0，得（x＋3）（x－4）≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A.

①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.

②当B≠∅时，有

解得－1≤m<2.

综上，m的取值范围为[－1，＋∞）．

题型四　集合的新定义问题

例5　已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则AB中元素的个数为（　　）

A．77B．49C．45D．30

答案　C

解析　如图，集合A表示如图所示的所有圆点“

”，集合B表示如图所示的所有圆点“

”＋所有圆点“

”，集合AB显然是集合{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{（－3，－3），（－3,3），（3，－3），（3,3）}之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合AB表示如图所示的所有圆点“

”＋所有圆点“

”＋所有圆点“

”，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.

思维升华　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

　定义一种新的集合运算△：

A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于（　　）

A．{x|3

C．{x|3

答案　B

解析　A＝{x|1

1．集合关系及运算

典例　

（1）已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于（　　）

A．0或

B．0或3

C．1或

D．1或3或0

（2）设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________．

错解展示

解析　

（1）由A∪B＝A得B⊆A，∴m＝3或m＝

，

故m＝3或m＝0或m＝1.

（2）∵B⊆A，讨论如下：

①当B＝A＝{0，－4}时，

解得a＝1.

②当BA时，由Δ＝0得a＝－1，

此时B＝{0}满足题意，

综上，实数a的取值范围是{1，－1}．

答案　

（1）D　

（2）{1，－1}

现场纠错

解析　

（1）A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝

，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.

（2）因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，

解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，－1]∪{1}．

答案　

（1）B　

（2）（－∞，－1]∪{1}

纠错心得　

（1）集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验．

（2）当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.

1．（2016·四川）设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A．3B．4C．5D．6

答案　C

解析　由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.故选C.

2．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为（　　）

A．8B．4C．3D．2

答案　B

解析　由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．

3．已知集合A＝{x|1

A．[

，＋∞）B．[0，

）

C．（－∞，0]D．[0，＋∞）

答案　D

解析　∵A∩B＝∅，

①若2m≥1－m，即m≥

时，B＝∅，符合题意；

②若2m<1－m，即m<

时，

需满足

或

解得0≤m<

或∅，即0≤m<

.

综上，实数m的取值范围为[0，＋∞）．

4．（2017·潍坊调研）已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则下图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{0,1}B．{1}

C．{1,2}D．{0,1,2}

答案　B

解析　因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{1}．

5．已知集合A＝{x|－1

A．（－∞，0]B．[0，＋∞）

C．（－∞，0）D．（0，＋∞）

答案　B

解析　用数轴表示集合A，B（如图），

由A⊆B，得a≥0.

6．（2016·河北衡水中学模拟）已知U为全集，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|2

A．{x|－1≤x≤4}B．{x|2

C．{x|2≤x<3}D．{x|－1

答案　B

解析　∵A＝{x<－1或x>3}，

∴∁UA＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|2

∴B∩（∁UA）＝{x|2

7．（2016·宁夏银川二中考试）已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是（　　）

A．（0,1]B．[1，＋∞）

C．（0,1）D．（1，＋∞）

答案　B

解析　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

8．（2015·浙江）已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q等于（　　）

A．[0,1）B．（0,2]C．（1,2）D．[1,2]

答案　C

解析　∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，

∴（∁RP）∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.

9．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1B．2C．3D．4

答案　D

解析　由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}．

∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

*10.设集合M＝

，N＝

，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　由已知，可得

即0≤m≤

；

即

≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝

，N＝

，所以M∩N＝

∩

＝

，此时集合M∩N的“长度”的最小值为

－

＝

，故选C.

11．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为__________．

答案　－

解析　∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，

不符合集合的互异性，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－

或m＝1（舍去），

当m＝－

时，m＋2＝

≠3，符合题意，

∴m＝－

.

12．（2017·南阳月考）设全集U＝R，集合A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B＝__________.

答案　（－∞，－1]∪（1，＋∞）

解析　因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y>1}，

所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}．

13．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是__________．

答案　（－∞，1]

解析　∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.

*14.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

答案　6

解析　依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．

*15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.

答案　－1　1

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

则B＝{x|m