届高考数学一轮复习第八章立体几何考点规范练40直线平面垂直的判定与性质文新人教A版03304122.docx
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届高考数学一轮复习第八章立体几何考点规范练40直线平面垂直的判定与性质文新人教A版03304122
考点规范练40 直线、平面垂直的判定与性质
基础巩固
1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则（ ）
A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直
2.设α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是（ ）
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a⊥α,a∥b,则b⊥α
C.若a⊥α,a⊥b,则b∥α
D.若a∥α,a⊥b,则b⊥α
3.
如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是（ ）
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
4.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是（ ）
A.l⊂α,m⊂β,且l⊥m
B.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n
C.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m
D.l⊂α,l∥m,且m⊥β
5.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有（ ）
A.平面ABD⊥平面ADC
B.平面ABD⊥平面ABC
C.平面ADC⊥平面BDC
D.平面ABC⊥平面BDC
6.
如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在的平面,那么（ ）
A.PA=PB>PC
B.PA=PBC.PA=PB=PC
D.PA≠PB≠PC
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）.
8.
如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有 ;与AP垂直的直线有 .
9.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:
（用序号表示）.
10.
（2017山东临沂一模）如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,AE=BE,ED⊥平面ABCD.
（1）若M是AB的中点,求证:
平面CEM⊥平面BDE;
（2）若N为BE的中点,求证:
CN∥平面ADE.
11.
（2017广东江门一模）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.
（1）求四棱锥F-ADEC的体积;
（2）求证:
平面ADF⊥平面ACF.
12.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.
图①
图②
（1）证明:
CD⊥平面A1OC;
（2）当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.
能力提升
13.已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,有下列命题:
①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;
②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;
③若m,n是两条异面直线,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
其中正确命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
14.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
15.
如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是（ ）
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
16.若有直线m,n和平面α,β,下列四个命题中,正确的是（ ）
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α⊥β,m⊂α,则m⊥β
D.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α
17.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.
（1）若D为线段AC的中点,求证:
AC⊥平面PDO;
（2）求三棱锥P-ABC体积的最大值;
（3）若BC=,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.
高考预测
18.在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=DC=1,BP=BC=,PC=2,AB⊥平面PBC,F为PC中点.
（1）求证:
BF∥平面PAD;
（2）求证:
平面ADP⊥平面PDC;
（3）求VP-ABCD.
答案：
1.D 解析:
对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.
2.B 解析:
如图
（1）β∥α,知A错;如图
（2）知C错;如图（3）,a∥a',a'⊂α,b⊥a',知D错;由线面垂直的性质定理知B正确.
3.C 解析:
因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.
同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.
因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.
又由于AC⊂平面ACD,
所以平面ACD⊥平面BDE,所以选C.
4.D 解析:
对于A,l⊂α,m⊂β,且l⊥m,如图
（1）,α,β不垂直;
对于B,l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n,如图
（2）,α,β不垂直;
图
（1）
图
（2）
对于C,m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m,直线l没有确定,则α,β的关系也不能确定;
对于D,l⊂α,l∥m,且m⊥β,则必有l⊥β,根据面面垂直的判定定理知,α⊥β.
5.C 解析:
∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,
∴AD⊥平面BDC.
又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC.故选C.
6.C 解析:
∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,
∴BM=AM=CM.
又PM⊥平面ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,
故PA=PB=PC.
7.DM⊥PC（或BM⊥PC） 解析:
∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,
∴平面MBD⊥平面PCD.
8.AB,BC,AC AB 解析:
∵PC⊥平面ABC,
∴PC垂直于直线AB,BC,AC.
∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥AP,与AP垂直的直线是AB.
9.①③④⇒②（或②③④⇒①） 解析:
逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.
10.证明:
（1）∵ED⊥平面ABCD,
∴ED⊥AD,ED⊥BD,ED⊥CM.
∵AE=BE,∴Rt△ADE≌Rt△BDE,∴AD=BD.
连接DM,则DM⊥AB,
∵AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,
∴四边形BCDM是正方形,∴BD⊥CM.
又DE⊥CM,BD∩DE=D,
∴CM⊥平面BDE,∵CM⊂平面CEM,
∴平面CEM⊥平面BDE.
（2）由
（1）知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG,
在△EBA中,∵N为BE的中点,
∴NG∥AB且NG=AB,
又AB∥CD,且AB=2CD,
∴NG∥CD,且NG=CD,
∴四边形CDGN为平行四边形,∴CN∥DG.
又CN⊄平面ADE,DG⊂平面ADE,
∴CN∥平面ADE.
11.
（1）解:
∵D,E分别是AB,BC边的中点,
∴DEAC,DE⊥BC,DE=1.
依题意,DE⊥EF,BE=EF=2,
∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面CEF,
∵DE⊂平面ACED,
∴平面ACED⊥平面CEF.
作FM⊥EC于M,则FM⊥平面ACED,
∵∠CEF=60°,∴FM=,
梯形ACED的面积S=（AC+ED）×EC=（1+2）×2=3.
四棱锥F-ADEC的体积V=Sh=×3×.
（2）证法一如图,取线段AF,CF的中点N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQAC,
∴NQDE,四边形DEQN是平行四边形,DN∥EQ.
∵EC=EF,∠CEF=60°,
∴△CEF是等边三角形,EQ⊥FC,
又DE⊥平面CEF,∴DE⊥EQ,∴AC⊥EQ,
∵FC∩AC=C,∴EQ⊥平面ACF,∴DN⊥平面ACF,
又DN⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.
证法二连接BF,
∵EC=EF,∠CEF=60°,
∴△CEF是边长为2的等边三角形.
∵BE=EF,
∴∠EBF=∠CEF=30°,
∴∠BFC=90°,BF⊥FC.
∵DE⊥平面BCF,DE∥AC,∴AC⊥平面BCF.
∵BF⊂平面BCF,∴AC⊥BF,
又FC∩AC=C,∴BF⊥平面ACF,
又BF⊂平面ADF,∴平面ADF⊥平面ACF.
12.
（1）证明:
在题图①中,因为AD∥BC,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC,四边形BCDE为平行四边形.
所以在题图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,BE∥CD,
从而BE⊥平面A1OC,
又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.
（2）解:
由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,
且平面A1BE∩平面BCDE=BE,
又由
（1）知,A1O⊥BE,
所以A1O⊥平面BCDE,
即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.
由题图①知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.
从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.
13.C 解析:
①若m⊥n,m⊥α,则n可能在平面α内,故①错误;
②∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α.
又∵n⊥β,∴α∥β,故②正确;
③过直线m作平面γ交平面β于直线c,
∵m,n是两条异面直线,∴设n∩c=O.
∵m∥β,m⊂γ,γ∩β=c,∴m∥c.
∵m⊂α,c⊄α,∴c∥α.
∵n⊂β,c⊂β,n∩c=O,c∥α,n∥α,∴α∥β.故③正确;
④∵α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,∴n⊥α.故④正确.
故正确命题有三个,故选C.
14.A 解析:
由BC1⊥AC,又BA⊥AC,
则AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1,
因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.
15.D 解析:
由题意知,在四边形ABCD中,CD⊥BD,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,两平面的交线为BD,所以CD⊥平面ABD,因此有AB⊥CD,又因为AB⊥AD,且CD∩AD=D,所以AB⊥平面ADC,于是得到平面ADC⊥平面ABC,故选D.
16.D 解析:
如图
（1）,β∥α,m⊂β,n⊂β,有m∥α,n∥α,但m与n可以相交,故A错;
如图
（2）,m∥n∥l,α∩β=l,有m∥β,n∥β,故B错;
如图（3）,α⊥β,α∩β=l,m⊂α,m∥l,故C错.故选D.
点评:
D选项证明如下:
如图（4）,α⊥β,设交线为l,在α内作n⊥l,则n⊥β,
∵m⊥β,∴m∥n,∵n⊂α,m⊄α,∴m∥α.
17.
（1）证明:
在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,
所以AC⊥DO.
又PO垂直于圆O所在的平面,所以PO⊥AC.
因为DO∩PO=O,所以AC⊥平面PDO.
（2）解:
因为点C在圆O上,
所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.
又AB=2,所以△ABC面积的最大值为×2×1=1.
又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,
故三棱锥P-ABC体积的最大值为×1×1=.
（3）解:
（方法一）在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°.
所以PB=.
同理PC=,所以PB=PC=BC.
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.
又因为OP=OB,C'P=C'B,
所以OC'垂直平分PB,即E为PB中点.
从而OC'=OE+EC'=,
亦即CE+OE的最小值为.
（方法二）在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,
所以∠OPB=45°,PB=.
同理PC=.
所以PB=PC=BC,所以∠CPB=60°.
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.
所以在△OC'P中,由余弦定理得,
OC'2=1+2-2×1××cos（45°+60°）
=1+2-2=2+.
从而OC'=.
所以CE+OE的最小值为.
18.
（1）证明:
取PD的中点E,连接EF,AE.
因为F为PC中点,所以EF为△PDC的中位线,即EF∥DC且EF=DC.
又AB∥CD,AB=CD,
所以AB∥EF且AB=EF.
所以四边形ABFE为平行四边形,
所以BF∥AE.
又AE⊂平面PAD,BF⊄平面PAD,
所以BF∥平面PAD.
（2）证明:
因为BP=BC,F为PC的中点,所以BF⊥PC.
又AB⊥平面PBC,AB∥CD,
所以CD⊥平面PBC.
又BF⊂平面PBC,所以DC⊥BF.
又DC∩PC=C,所以BF⊥平面PDC.
由
（1）知,AE∥BF,所以AE⊥平面PDC.
又AE⊂平面ADP,所以平面ADP⊥平面PDC.
（3）解:
因为AB⊥平面PBC,AB⊂平面ABCD,
所以平面ABCD⊥平面PBC且交线为BC.
又BP=BC=,PC=2,所以PB⊥BC.
所以PB⊥平面ABCD,即PB是四棱锥的高.
所以VP-ABCD=SABCD·PB=×（1+2）×=1.
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