高考数学总复习 94 线面面面平行的判定与性质但因为测试 新人教B版.docx

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高考数学总复习94线面面面平行的判定与性质但因为测试新人教B版

高考数学总复习9-4线面、面面平行的判定与性质但因为测试新人教B版

1.（文）（2011·泰安模拟）设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是（　　

）

A．若m∥α，m∥

n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

[答案]　D

[解析]　A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．

（理）（2011·邯郸期末）设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（　　）

A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β

B．若m∥α，m∥n，则n∥α

C．若m∥α，n∥α，则m∥n

D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β

[答案]　D

[解析]　选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．

2．（文）（2011·宁波模拟）已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是（　　）

A．若α∥β，l⊂α，则l∥β

B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

[答案]　C

[解析]　对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.

（理）（2010·北京顺义一中月考）已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

D．若l∥α，α∥β，则l∥β

[答案]　C

[解析]　如下图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取平面ABD1A1为α，平面ABCD为β，B1C1为l，则排除A、B；

又取平面ADD1A1为α，平面BCC1B1为β，B1C1为l，排除D.

3．（2011·北京海淀期中）已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（　　）

A．若m∥β，则m∥lB．若m∥l，则m∥β

C．若m⊥β，则m⊥lD．若m⊥l，则m⊥β

[答案]　D

[解析]　A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．

4．（文）（2011·浙江省温州市高三适应性测试）已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）

A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n

B．l⊥β，α⊥β⇒l∥α

C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α

D．α∥β，l⊥α⇒l⊥β

[答案]　D

[解析]　对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l⊂α这种情形；对于选项C，可能出现n⊂α这种情形．故选D.

（理）（2011·河南省郑州市模拟）设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（　　）

A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β

C．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β

D．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b

[答案]　C

[解析]　∵a⊥α，a∥b，∴b⊥α.又b⊥β，∴α∥β.选项C正确，对于A选项可能出现两直线相交或异面的情况，选项B中可能出现两平面相交的情况，选项D可能出现a与b异面的情况．

5．（2011·广东揭阳模拟）若a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是（　　）

A．α内的所有直线与a异面

B．α内与a平行的直线不存在

C．α内存在唯一的直线与a平行

D．α内的直线与a都相交

[答案]　B

[解析]　由条件知a与α相交，故在平面α内的直线与a相交或异面，不存在与a平行的直线．

6．（文）（2010·福建福州市）对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是（　　）

A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n

B．若m∥α，n∥α，则m∥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m⊂α，n∥α，则m∥n

[答案]　D

[解析]　正三棱锥P－ABC的侧棱PA、PB与底面成角相等，但PA与PB相交应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C.

∵m、

n共

面，设经过m、n的平面为β，

∵m⊂α，∴α∩β＝m，

∵n∥α，∴n∥m，故D正确．

（理）（2011·苏州模拟）下列命题中，是假命题的是（　　）

A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面

B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a

C．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥d

D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件

[答案]　D

[解析]　三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β内经过B点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c∥d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c∥d，故C真；正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与平面AA1D1D和平面CC1D1D所成角相等，但平面AA1D1D∩平面CC1D1D＝DD1，故D假．

7．（2011·浙江五校联考）已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：

①若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；

②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n；

③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；

④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n.

其中正确命题的序号是________．

[答案]　②④

[解析]　命题①中，直线m，n不一定相交，即命题①不正确；命题②中，垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以平行或相交，若相交，其交线必与第三个平面垂直，∴m⊥γ，又n⊂γ，∴m⊥n，即命题②正确；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α⊥β，则n∥β或n⊂β，即命题③不正确；由线面平行的判定与性质定理可知命题④正确．则正确命题的序号为②④.

8．（2011·福建文，15）如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

[答案]　

[解析]　∵EF∥平面AB1C，

平面ABCD经过直线EF与平面AB1C相交于AC，

∴EF∥AC，

∵E为AD的中点，∴F为CD的中点，

∴EF＝

AC＝

×2

＝

.

9．（2011·郑州一检）已知两条不重合的直线m、n，两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若n⊥α，m⊥β，且n∥m，则α∥β；

③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.

其中正确命题的序号是________．

[答案]　②④

[解析]　对于①，直线m可能位于平面α内，此时不能得出m∥α，因此①不正确；对于②，由n⊥α，m∥n，得m⊥α，又m⊥β，所以α∥β，因此②正确；对于③，直线m，n可能是两条平行直线，此时不一定能得出α∥β，因此③不正确；对于④，由“如果两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面”可知，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是②④.

10．（2011·广东揭阳一模）如下图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．

（1）求证：

GH∥平面CDE；

（2）若CD＝2，DB＝4

，求四棱锥F－ABCD的体积．

[解析]　

（1）证法1：

∵E

F∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.

又EF＝AD＝BC，

∴四边形EFBC是平行四边形，∴H为FC的中点．

又∵G是FD的中点，∴GH∥CD.

∵GH⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE.

证法2：

连接EA，∵ADEF是正方形，

∴G是AE的中点．

∴在△EAB中，GH∥AB.

又∵AB∥CD，∴GH∥CD.

∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，

∴GH∥平面CDE.

（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵AD＝BC＝6，∴FA＝AD＝6.

又∵CD＝2，DB＝4

，CD2＋DB2＝BC2，∴BD⊥CD.

∵S▱ABCD＝CD·BD＝8

，

∴VF－ABCD＝

S▱ABCD·FA＝

×8

×6＝16

.

11.（2011·广东省广州市质检）如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（　　）

A．不存在B．有1条

C．有2条D．有无数条

[答案]　D

[解析]　由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且

它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行，故选D.

12．（文）（2011·北京模拟）给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为（　　）

A．3　　　　B．2　　　　

C．1　　　　D．0

[答案]　C

[解析]　①设α∩β＝a，当l，m都与a相交且交点不重合时，满足①的条件，故①假；②中分别在两个平行平面内的两条直线可能平行，也可能异面，故②假；由三棱柱知③真；故选C.

（理）如下图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（　　）

A．KB．H

C．GD．B′

[答案]　C

[解析]　假如平面PEF与侧棱BB′平行则和三条侧棱都平行，不满足题意，而FK∥BB′，排除A；假如P为B′点，则平面PEF即平面A′B′C，此平面只与一条侧棱AB平行，排除D.

若P为H点，则HF为△BA′C′的中位线，∴HF∥A′C′；EF为△ABC′的中位线，∴EF∥AB

，HE为△AB′C′的中位线，∴HE∥B′C′，显然不合题意，排除B.

[点评]　此题中，∵EF是△ABC′的中位线，∴EF∥AB∥A′B′，故点P只要使得平面PEF与其它各棱均不平行即可，故选G点．

13．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______（写出所有符合要求的图形序号）．

[答案]　①③

[解析]　如图①，∵MN∥AD，NP∥AC，∴平面MNP∥平面ADBC，∴AB∥平面MNP.

如图②，假设AB∥平面MNP，设BD∩MP＝Q，则NQ为平面ABD与平面MNP的交线，∴AB∥NQ，∵N为AD的中点，∴Q为BD的中点，但由M、P分别为棱的中点知，Q为BD的

分点，矛盾，∴AB∥\平面MNP.

如图③，∵BD綊AC，∴四边形ABDC为平行四边形，

∴AB∥CD，又∵MP为棱的中点，∴MP∥CD，∴AB∥MP，从而可得AB∥平面MNP.

如图④，假设AB∥平面MNP，并设直线AC∩平面MNP＝D，则有AB∥MD，∵M为BC中点，∴D为AC中点，这样平面MND∥平面AB，显然与题设条件不符，∴AB∥\平面MNP.

14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：

当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

[解析]　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，

∴QB∥PA.

连结DB.

∵P、O分别为DD1、DB的中点，

∴D1B∥PO.

又D1B⊄平面PAO，

QB⊄平面PAO，

∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，

又D1B∩QB＝B，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

15．（文）（2010·安徽江南十校联考）如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.

（1）求证：

BB1⊥平面ABC；

（2）求证：

BC1∥平面CA1D；

（3）求三棱锥B1－A1DC的体积．

[解析]　

（1）∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，

又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，

∴BB1⊥平面ABC.

（2）连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点，又D是AB的中点，则DE∥BC1，又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，

∴BC1∥平面CA1D.

（3）由

（1）知CD⊥平面AA1B1B，

故CD是三棱锥C－A1B1D的高，

在R

t△ACB中，AC＝BC＝2

，∴AB＝2

，CD＝

，

又BB1＝2，∴VB1－A1DC＝VC－A1B1D＝

S△A1B1D·CD

＝

A1B1×B1B×CD＝

×2

×2×

＝

.

（理）（2010·安徽合肥质检）如下图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC＝CD＝BO＝PO，EA＝AO＝

CD.

（1）求证：

BC⊥平面ABPE；

（2）直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由．

[解析]　

（1）∵PO⊥平面ABCD，

BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PO，

又BC⊥AB，AB∩PO＝O，AB⊂平面ABP，PO⊂平面ABP，∴BC⊥平面ABP，

又EA∥PO，AO⊂平面ABP，

∴EA⊂平面ABP，∴BC⊥平面ABPE.

（2）点E即为所求的点，即点M与点E重合．

取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，

∵EA＝1，PO＝2，∴NO＝1，

又EA与PO都与平面ABCD垂直，∴EF∥AB，

∴F为PB的中点，∴NF＝

OB＝1，∴EF＝2，

又CD＝2，EF∥AB∥CD，

∴四边形DCFE为平行四边形，∴DE∥CF，

∵CF⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，

∴DE∥平面PBC.

∴当M与E重合时，DM∥平面PBC.

1．（20

10·浙江理）设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

[答案]　B

[解析]　两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选B.

2．（2010·广东惠州一模）已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：

①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n，m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是（　　）

A．3个　　　B．2个　　　

C．1个　　　D．0个

[答案]　B

[解析]　垂直于同一直线的两个平面平行，故①正确；对于②，若平面α上的三点在平面β的异侧，则它们相交，故②错；根据线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，可知③正确．

3.如下图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝

a，点E在PD上，且PEED＝21.

（1）证明：

PA⊥平面ABCD；

（2）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？

如果存在，请求出此时PFFC的值；如果不存在，请说明理由．

[解析]　

（1）因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a.

在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

（2）连结BD，则平面PBD与平面AEC的交线为EO，在△PBD中作BM∥OE交PD于M，则BM∥平面AEC，在△PCE中过M作MF∥CE交PC于F，则MF∥平面AEC，故平面BFM∥平面AEC，所以BF∥平面AEC，F点即为所求的满足条件的点．由条件O为BD的中点可知，E为MD的中点．

又由PEED＝21，∴M为PE的中点，

又FM∥CE，故F是PC的中点，∴此时PFFC＝1.

4．（2010·北京文，17）如下图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，EF∥AC，AB＝

，CE＝EF＝1.

（1）求证：

AF∥平面BDE；

（2）求证：

CF⊥平面BDE.

[证明]　

（1）设AC∩BD＝G，在正方形ABCD中，AB＝

，∴AC＝2，

又∵EF＝1，AG＝

AC＝1，又∵EF∥AG，

∴四边形AGE

F为平行四边形，∴AF∥EG，

∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.

（2）连结FG.

∵EF∥CG，EF＝CG＝1且CE＝1，

∴四边形CEFG为菱形，∴EG⊥CF.

∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.

又∵平面ACEF⊥平面ABCD且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.

又∵BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.