考研强化班绝密资料 第四讲 向量组的线性关系和秩.docx

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考研强化班绝密资料第四讲向量组的线性关系和秩

第四讲向量组的线性关系与秩

特点:

全课程的理论基础概念复杂，抽象，深刻.

准确理解,提高逻辑推理能力

线路:

线性表示线性相关性极大无关组和秩矩阵的秩

注意秩的作用

概念部分

一.线性表示

设α1,α2,…,αs是一个n维向量组.

1.n维向量β可用α1,α2,…,αs线性表示，即β可以写为α1,α2,…,αs线性组合,也就是存在数组c1,c2,…,cs使得

c1α1+c2α2+…+csαs=β.

判断β可否用α1,α2,…,αs线性表示?

这也就是问：

线性方程组

x1α1+x2α2+…+xsαs=β

是否有解？

反过来,判别“以（A|β）为增广矩阵的线性方程组是否有解？

”的问题又可转化为“β是否可以用A的列向量组线性表示?

”的问题.

三种情况:

不可以表示,可以表示并且表示方式唯一,有无穷多表示.

2.向量组β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示,即其中的每一个都可以用α1,α2,…,αs线性表示.

向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系:

乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,

γi=AβI=b1iα1+b2iα2+…+bniαn.

于是AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示.

反过来,如果向量组β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示,则矩阵（β1,β2,…,βt）可分解为矩阵（α1,α2,…,αs）和一个矩阵C的乘积.（矩阵分解）

其中C可以这样构造:

它的第i个列向量就是βi对α1,α2,…,αs的分解系数.称C为β1,β2,…,βt对α1,α2,…,αs的一个表示矩阵.（C不是唯一的）

3.当向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt互相都可以线性表示时,就说它们等价,并记作{α1,α2,…,αs}{β1,β2,…,βt}.

向量组的线性表示关系有传递性,等价关系也有传递性.

例如,最矩阵A作一次初等行变换化为B,则A的行向量组和B的行向量组等价.

于是如果矩阵A用初等行变换化为B,则A的行向量组和B的行向量组等价.

如果矩阵A用初等列变换化为B,则A的列向量组和B的列向量组等价.

二.向量组的线性相关性

讨论向量组的内在关系的性质.

1．意义和定义

（1）意义

线性相关性是描述向量组内在关系的概念.

说向量组α1,α2,…,αs线性相关.是指此向量组有内在的线性表示关系,具体地说,就是其中有向量可以用其它的s-1个向量线性表示..

如果向量组α1,α2,…,αs中每个向量都不可以用其它的s-1个向量线性表示,就说α1,α2,…,αs线性无关.

当向量组中有零向量时,则一定线性相关.

两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.

如α=（a1,a2,,an）和β=（b1,b2,,bn）相关,不妨设β=cα,即b1=ca1,b2=ca12,,bn=can.

（2）定义如果存在不全为0的一组数c1,c2,…,cs使得

c1α1+c2α2+…+csαs=0,

则说α1,α2,…,αs线性相关,否则就说它们线性无关.

（α1,α2,…,αs线性无关即:

要使得c1α1+c2α2+…+csαs=0,必须c1,c2,…,cs全为0.）

当向量组中只有一个向量α时,α线性相关就是它是零向量.α线性无关就是它不是零向量

（3）用齐次方程组看

α1,α2,…,αs“线性相关还是无关”就是向量方程x1α1+x2α2+…+xsαs=0“有没有非零解”.

这个向量方程就是齐次方程组AX=0,其中A=（α1,α2,…,αs）.于是

α1,α2,…,αs线性相关（无关）齐次方程组AX=0有非零解（无非零解）.

2.性质

（1）线性无关向量组的每个部分组都无关.

比如α1,α2,α3,α4,α5线性无关α1,α3,α5线性无关

（逆否命题:

如果向量组有线性相关的部分组,则它本身也线性相关.）

（2）若向量的个数s等于维数n,则α1,α2,…,αn线性相关|α1,α2,…,αn|=0.

当向量的个数s大于维数n时,α1,α2,…,αs一定线性相关.

用齐次方程组看,注意:

n是AX=0的方程数,s是AX=0的未知数个数.

s=n时用克莱姆法则.

s>n即方程数n少于是AX=0的未知数个数s,一定有非零解.

（逆否命题:

如果α1,α2,…,αs线性无关,则sn.）

（3）如果β1,β2,…,βt可用α1,α2,…,αs线性表示,并且t>s,则β1,β2,…,βt线性相关.

（逆否命题:

如果β1,β2,…,βt可用α1,α2,…,αs线性表示,且β1,β2,…,βt线性无关.则ts.）

推论:

两个等价的线性无关向量组一定包含有相同多个向量.

（4）如果α1,α2,…,αs线性无关,则

α1,α2,…,αs,β线性相关β可用α1,α2,…,αs线性表示.

（α1,α2,…,αs,β线性无关β不可用α1,α2,…,αs线性表示.）

（5）如果β可用α1,α2,…,αs线性表示,则表示方式唯一α1,α2,…,αs线性无关.

（表示方式无穷α1,α2,…,αs线性相关.）

三.向量组的极大无关组和秩

这是对向量组的内在性质的定量的讨论.向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组有多大（指包含向量的个数）的线性无关的部分组.

1.定义与简单性质

定义设α1,α2,…,αs是n维向量组,（I）是它的一个部分组.如果

①（I）线性无关.

②（I）再扩大就线性相关.

就称（I）为α1,α2,…,αs的一个极大无关组.称（I）中所包含向量的个数为α1,α2,…,αs的秩。

记作r（α1,α2,…,αs）.

说明1α1,α2,…,αs的不同的极大无关组包含向量的个数会不会不同？

任何αi都可用极大无关组（I）线性表示,从而（I）与α1,α2,…,αs等价.

于是任意两个极大无关组等价，因此包含向量的个数相同。

说明2如果α1,α2,…,αs全是零向量,则规定r（α1,α2,…,αs）=0.

说明3秩怎么刻画了“向量组相关的程度”？

如果r（α1,α2,…,αs）=r,则

a）α1,α2,…,αs有包含r个向量的无关部分组.

b）含有多于r个向量的部分组一定线性相关.

于是,α1,α2,…,αs的一个线性无关部分组如果含有r个向量，就一定是极大无关组.

如果r（α1,α2,…,αs）=r,该向量组的一个线性无关部分组含有r个向量,那么它就是极大线性无关组.

0r（α1,α2,…,αs）Min{s,n}

2.性质（应用于相关性和线性表示的判别）

（1）α1,α2,…,αs线性无关r（α1,α2,…,αs）=s.

命题：

r（α1,α2,…,αs,β）=r（α1,α2,…,αs），若β可用α1,α2,…,αs表示，

r（α1,α2,…,αs）+1，若β不可用α1,α2,…,αs表示.

证明思路:

看α1,α2,…,αs的一个极大无关组（I）是否也是α1,α2,…,αs,β的极大无关组?

β可用α1,α2,…,αs表示β可用（I）表示（I）,β线性相关（I）也是α1,α2,…,αs,β的极大无关组，则r（α1,α2,…,αs,β）=r（α1,α2,…,αs）.

β不可用α1,α2,…,αs表示β不可用（I）表示（I）,β线性无关.

则（I）不是α1,α2,…,αs的极大无关组,而{（I）,β}是α1,α2,…,αs,β的极大无关组,因此r（α1,α2,…,αs,β）=r（α1,α2,…,αs）+1.

（2）β可用α1,α2,…,αs线性表示r（α1,α2,…,αs,β）=r（α1,α2,…,αs）.

（3）β可用α1,α2,…,αs唯一线性表示r（α1,α2,…,αs,β）=r（α1,α2,…,αs）=s.

（4）β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示

r（α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt）=r（α1,α2,…,αs）.

推论:

如果β1,β2,…,βt可以用α1,α2,…,αs线性表示,则

r（β1,β2,…,βt）r（α1,α2,,αs）.

r（β1,β2,…,βt）r（α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt）=r（α1,α2,,αs）.

（5）α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt等价

r（α1,α2,…,αs）=r（α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt）=r（β1,β2,…,βt）.

3.秩的计算（有相同线性关系的向量组）

两个向量个数相同的向量组α1,α2,…,αs,和β1,β2,…,βs称为有相同线性关系,如果向量方程

x1α1+x2α2+…+xsαs=0和x1β1+x2β2+…+xsβs=0

同解,即齐次线性方程组（α1,α2,…,αs）X=0和（β1,β2,…,βs）X=0同解.

当α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs有相同线性关系时,

①它们的对应部分组有一致的线性相关性.

例如α1,α3,α4和β1,β3,β4相对应.

如果α1,α3,α4相关,比如3α1-α3+5α4=0,则（3,0,-1,5,0,…,0）是x1α1+x2α2+…+xsαs=0的解,从而也是x1β1+x2β2+…+xsβs=0的解,就得到3β1-β3+5β4=0,β1,β3,β4相关.

②它们的极大无关组相对应,从而它们的秩相等.

③它们有相同的内在线性表示关系.

α2=2α1+α3-α4β2=2β1+β3-β4.

推论:

当A经过初等行变换化为B时,AX=0和BX=0同解,从而A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.于是它们的极大无关组相对应,秩相等.

阶梯形矩阵的非零行数就是它的列向量组的秩

简单阶梯形矩阵的台角所在的那几个列向量构成列向量组的极大无关组.

这样,就产生了计算一个向量组α1,α2,…,αs的秩和极大无关组的方法:

把此向量组作为列向量组构造矩阵（α1,α2,…,αs）,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B,则B的非零行数就是r（α1,α2,…,αs）,B的各台角所在列号对应的α1,α2,…,αs的部分组是的一个极大无关组.

（如果A经过初等列变换化为B，则A的列向量组和B的列向量组是等价关系，秩也相等,但是极大无关组并没有对应关系.）

四.矩阵的秩

1.定义:

一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称此数为矩阵A的秩,记作r（A）.

命题r（A）就是A的非0子式的阶数的最大值.（即A的每个阶数大于r（A）的子式的值都为0,但是A有阶数等于r（A）的非0子式.）

如果A是mn矩阵,则

0r（A）Min{m,n}.

r（A）=0A=0.

当r（A）=m时,称A为行满秩的.（即A的行向量组线性无关）

当r（A）=n时,称A为列满秩的.（即A的列向量组线性无关）

对于n阶矩阵A,行满秩和列满秩是一样的,就称A满秩.于是:

n阶矩阵A满秩r（A）=nA的行（列）向量组无关|A|0A可逆.

2.计算

①初等变换保持矩阵的秩.

②阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

矩阵秩的计算:

用初等变换将其化为阶梯形矩阵,则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩.

3.矩阵秩的性质

①r（AT）=r（A）.

②如果c不为0,则r（cA）=r（A）.

③r（AB）r（A）+r（B）.

④r（AB）Min{r（A）,r（B）}.

AB的列向量组可用A的列向量组线性表示,r（AB）r（A）.

BTAT=（AB）T，

r（AB）=r（（AB）T）r（BT）=r（B）.

⑤当A可逆时,r（AB）=r（B）,B可逆时,r（AB）=r（A）.

A-1（AB）=B,因此r（AB）r（B）.

（A可逆可弱化为A列满秩,B可逆可弱化为B行满秩,）

⑥如果AB=0,n为A的列数（B的行数）,则r（A）+r（B）n.

⑦设A*为n阶矩阵A的伴随矩阵,则

n,若r（A）=n,

r（A*）=1,若r（A）=n-1,

0,若r（A）

r（A*）=0A*=0每个代数余栽子式=0每个余栽子式=0每个n-1阶子式=0r（A）

r（A）=n-1时AA*=0,用⑥,r（A）+r（A*）n.

⑧

A行C

BD（有r（A）+r（B）个非零行向量）

r（A|B）r（A）+r（B）.

r（α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt）r（α1,α2,…,αs）+r（β1,β2,…,βt）.

例题部分

计算题

例1已知α1=（1,2,-1,0）,α2=（1,1,0,2）,α3=（2,1,1,a）生成的向量空间是2维空间，则a=（）.分析：

所谓三个向量生成的向量空间是2维空间，也就是说这三个向量的秩是2.我们采用初等变换计算秩的办法。

所得到的阶梯形矩阵的非零行数就是向量组的秩.

又因为该向量组的秩是2,因此

即

.

例2设

问：

a,b满足什么条件时r（A）=2?

分析:

我们用矩阵的初等行变换把A化成阶梯形矩阵.

讨论:

若b=0,第二行都是0,容易继续往下做;若b≠0,第二行可化为（0,1,1）,也容易继续往下做.b=0时,第三行变为（0,-a,-a）,要使秩为2，应有a≠0.b≠0时,第二行提出b,变为（0,1,1）,把它的a倍加到第三行,第三行变为（0,0,ab+b）,由于b≠0，因此可化为（0,0,a+1），由秩是2，得a+1=0,即a=-1.

例3已知

求r（AB-A）．

本题考查的是⑤当A可逆时,r（AB）=r（B）,B可逆时,r（AB）=r（A）.

AB-A=A（B-E）,而容易看出（B-E）是可逆的,因此

r（AB-A）=r（A）

用初等行变换容易得出r（A）=2,因此r（AB-A）=2

例4设

已知r（A）+r（A*）=3,求a,b应该满足的关系.

分析:

关键之处在于分析r（A）+r（A*）=3,该等式说明了r（A）=2.我们把A用初等变换化为阶梯形矩阵：

显然,若a-b≠0且a+2b≠0,不满足r（A）+r（A*）=3;若a-b=0，则r（A）≤1,亦不满足条件；故而只有当a+2b=0且a-b≠0时满足题中条件.

例53阶矩阵

已知r（AB）小于r（A）和r（B）,求a,b和r（AB）.

关键在于看出“r（AB）小于r（A）和r（B）”这个条件说明A和B都是不可逆矩阵.r（A）和r（B）都小于等于2,因此r（AB）小于2;又因为r（AB）大于0,所以r（AB）=1.

因为AB的秩是1,因此它的任何两个行向量线性相关.我们具体来看它的第二和第三个行向量,得出2b-2=2（3b-5）,2a+4=6a.由以上两个式子，得出b=2,a=1.事实上,还可以用别的办法求a,b.B的行列式为0,A的行列式也为0,|A|=2（4b-2a-6）=0,可以得出2b-a-3=0；|B|=b+a-3=0,可以得出b+a-3=0,上述两个等式解得b=2,a=1.

例6有一组n维向量α1,α2,…,αs,秩r（α1,α2,…,αs,β）=r（α1,α2,…,αs）=k,而又已知r（α1,α2,…,αs,β,）=k+1,求r（α1,α2,…,αs,β-）.

分析:

由于r（α1,α2,…,αs,）=k,因此r（α1,α2,…,αs,β-）为k或k+1.当β-可以被α1,α2,…,αs,线性表示时,r（α1,α2,…,αs,β-）=k;否则r（α1,α2,…,αs,β-）=k+1.由于r（α1,α2,…,αs,β）=r（α1,α2,…,αs,）=k,因此β可以被α1,α2,…,αs线性表示;而r（α1,α2,…,αs,β,）=k+1,因此不可以被α1,α2,…,αs线性表示.因此β-不可以被α1,α2,…,αs线性表示.所求答案是k+1.

例7设α1=（2,1,2,3）,α2=（-1,1,5,3）,α3=（0,-1,-4,-3）,α4=（1,0,-2,-1）,α5=（1,2,9,8）.

（1）求r（α1,α2,α3,α4,α5）.

（2）找α1,α2,α3,α4,α5的一个极大无关组,并且把其余向量用此极大无关组线性表示．

分析:

基础是用初等行变换

台角所对应的列号是1,2,4,因此r（α1,α2,α3,α4,α5）=3,α1,α2,α4是一个极大线性无关组.我们把简单阶梯形矩阵的列向量记为1,2,3,4,5,则α1,α2,α3,α4,α5与1,2,3,4,5有相同的线性关系.

显然,3=（-1/3）1-（2/3）2,5=（5/3）1+（1/3）2-24于是,α3=（-1/3）α1-（2/3）α2,α5=（5/3）α1+（1/3）α2-2α4

例8对于上题中的向量组,（B）是它的极大无关组．

（A）α1,α2.

（B）α2,α3,α4.

（C）α2,α3,α4,α5.

（D）α1,α2,α3.

例10设α1=（1，0，2，3），α2=（1，1，3，5），α3=（1，-1，a+2，1），α4=（1，2，4，a+8），β=（1,1,b+3,5）．

（1）a，b为何值时，β不可用α1，α2，α3，α4线性表示？

（2）a，b为何值时，β可用α1，α2，α3，α4唯一线性表示？

（3）a，b为何值时，β可用α1，α2，α3，α4线性表示,并且表示方式不唯一?

分析:

做法与上题一样,我们要求出r（α1，α2，α3，α4）和r（α1，α2，α3，α4,β）.若r（α1，α2，α3，α4）≠r（α1，α2，α3，α4,β）,β不可用α1，α2，α3，α4线性表示;若r（α1，α2，α3，α4）=r（α1，α2，α3，α4,β）=4,β可用α1，α2，α3，α4唯一线性表示;若r（α1，α2，α3，α4）=r（α1，α2，α3，α4,β）<4,β可用α1，α2，α3，α4线性表示,且表示方式不唯一.下面我们求矩阵的秩.

用这个阶梯形矩阵我们可以进行讨论:

（1）a+1=0,b≠0时，β不可用α1，α2，α3，α4线性表示;

（2）a≠-1,即a+1≠0时,r（α1，α2，α3，α4）=r（α1，α2，α3，α4,β）=4,,β可用α1，α2，α3，α4唯一线性表示;（3）a=-1,b=0时,r（α1，α2，α3，α4）=r（α1，α2，α3，α4,β）<4,β可用α1，α2，α3，α4线性表示,且表示方式不唯一.

例11给定向量组（Ⅰ）α1=（1,0,2），α2=（1,1,3），α3=（1,-1,a+2）和（Ⅱ）β1=（1,2,a+3），β2=（2,1,a+6），β3=（2,1,a+4）．当a为何值时（Ⅰ）和（Ⅱ）等价?

a为何值时（Ⅰ）和（Ⅱ）不等价?

（03四）

分析：

首先考虑到两个向量组等价反映到秩上是什么.r（α1，α2，α3,β1,β2,β3）=r（α1，α2，α3）=r（β1,β2,β3）因此我们要求这些向量组的秩.

若a+1=0,r（α1，α2，α3）=2,此时a-1≠0,r（α1，α2，α3,β1,β2,β3）=3,因此不是等价的;若a+1≠0,r（α1，α2，α3,β1,β2,β3）=r（α1，α2，α3）=3,通过初等行变换,可以求出（Ⅱ）的秩为3,故而向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价.

例12求常数a,使得向量组α1=（1,1,a）,α2=（1,a,1）,α3=（a,1,1）可由向量组β1=（1,1,a）,

β2=（-2,a,4）,β3=（-2,a,a）线性表示,但是β1,β2,β3不可用α1,α2,α3线性表示.

分析:

把此要求用秩表示出来.α1,α2,α3可用β1,β2,β3线性表示,则r（α1,α2,α3,β1,β2,β3）=r（β1,β2,β3）,

β1,β2,β3不可用α1,α2,α3线性表示,则r（α1,α2,α3,β1,β2,β3）>r（α1,α2,α3）.我们用两种方法来做.方法一:

与上题方法类似.

我们记所化成的阶梯形矩阵为C,若2-a-a2≠0,即a≠1，a≠-2，此时r（α1,α2,α3）=3,不可能满足上述关系;

a=1时,C可以继续化简为下面矩阵:

此时r（α1,α2,α3）=1,r（α1,α2,α3,β1,β2,β3）=3,r（β1,β2,β3）=3.满足要求.

a=-2时,C可以继续化简为下面矩阵:

容易看出,r（α1,α2,α3）=2,r（β1,β2,β3）=2,不满足要求.综上,a=1时满足要求.

方法二

为了满足要求,r（α1,α2,α3）<3,则α1,α2,α3构成的行列式为0.据此解得a=1或a=-2.

a=1时,α1=α2=α3=β1=（1,1,1）,β2=（-2,1,4）,β3=（-2,1,1）,显然符合要求;a=-2时,α1=（1,1,-2）,α2=（1,-2,1）,α3=（-2,1,1）,β1=（1,1,-2）,β2=（-2,-2,4）,

β3=（-2,-2,-2）,不满足要求.

概念测试题

例13设向量组Ⅰ:

α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:

β1,β2,…,βs线性表示,下列命题正确的是（）

（A）若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s（B）若向量组Ⅰ线性相关,则r>s

（C）若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s（D）若向量组Ⅱ线性相关,则r

正确答案:

（A）本题考查的是对性质"如果β1,β2,…,βt可用α1,α2,…,αs线性表示,并且t>s,则β1,β2,…,βt线性相关."的理解和运用.

例14α1,α2,…,αs线性无关<==>（）．

（A）存在全为零的实数k1,k2,…,ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0；

（B）存在不全为零的实数k1,k2,…,ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs≠0；

（C）每个αi都不能用其它向量线性表示；

（D）有线性无关的部分组．

正确答案：

（C）

例15设A是45矩阵,α1,α2,α3,α4,α5是A的列向量组，r（α1,α2,α3,α4,α5）=3，则（）正确。

（A）A的任何3个行向量都线性无关；

（B）α1,α2,α3,α4,α5的含有3个向量的线性无关部分组一定是它的极大无关组；

（C）A的3阶子式都不为0.

（D）α1,α2,α3,α4,α5的线性相关的部分组含有向量个数一定大于3．

正确答案：

（B）

例16α1,α2,α3线性无关,β可由α1,α2,α3线性表示,不能由α1,α2,α3线性表示,则下列结论不正确的是

（A）α1,α2,α3,线性无关.

（B）α1,α2,α3,β,线性相关.

（C）α1,α2,α3,β-线性相关.

（D）α1,α2,α3,β+线性无关.

正确答案:

（C）

例17设1,2,3,4都是n维向量.判断下列命题是否成立.

①如