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考研数二答案
考研数二答案
【篇一：
2013考研数学二真题及答案解析（完整版）】
txt>数学二答案：
【篇二：
2016年考研数学二真题与解析】
txt>一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．
1
１．当x?
0时，若ln（1?
2x），（1?
cosx）?
均是比x高阶的无穷小，则?
的可能取值范围是（）
（a）（2,?
?
）（b）（1,2）（c）（,1）（d）（0,）
?
?
1212
?
?
?
1?
【详解】ln?
（1?
2x）~2?
x?
，是?
阶无穷小，（1?
cosx）?
~1x?
是阶无穷小，由题意可知?
2
?
?
1?
2?
?
?
1
1
2
2
所以?
的可能取值范围是（1,2），应该选（b）．2．下列曲线有渐近线的是
（a）y?
x?
sinx（b）y?
x2?
sinx（c）y?
x?
sin（d）y?
x?
1x
2
1x
【详解】对于y?
x?
sin，可知x?
?
1xy1
?
1且lim（y?
x）?
lim?
0，所以有斜渐近线y?
x
x?
?
x?
?
xx
应该选（c）
3．设函数f（x）具有二阶导数，g（x）?
f（0）（1?
x）?
f
（1）x，则在[0,1]上（）
（a）当f（x）?
0时，f（x）?
g（x）（b）当f（x）?
0时，f（x）?
g（x）（c）当f?
?
（x）?
0时，f（x）?
g（x）（d）当f?
?
（x）?
0时，f（x）?
g（x）【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然
g（x）?
f（0）（1?
x）?
f
（1）x就是联接（0,f（0））,（1,f
（1））两点的直线方程．故当f?
?
（x）?
0时，曲线是凹
的，也就是f（x）?
g（x），应该选（d）
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令
f（x）?
f（x）?
g（x）?
f（x）?
f（0）（1?
x）?
f
（1）x，则f（0）?
f
（1）?
0，且f（x）?
f（x），故当f?
?
（x）?
0时，曲线是凹的，从而f（x）?
f（0）?
f
（1）?
0，即f（x）?
f（x）?
g（x）?
0，也就是
f（x）?
g（x），应该选（d）
?
x?
t2?
7,
4．曲线?
上对应于t?
1的点处的曲率半径是（）2
?
y?
t?
4t?
1
（Ａ）
（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）550100
y（1?
y2）3
2
【详解】曲线在点（x,f（x））处的曲率公式k?
，曲率半径r?
1
．k
22dxdydy2t?
42dy1?
2t,?
2t?
4，所以?
?
1?
，2?
本题中?
?
3，
dtdtdx2tt2tdxt
?
对应于t?
1的点处y?
3,y?
?
1，所以k?
应该选（c）
5．设函数f（x）?
arctanx，若f（x）?
xf（?
），则x?
0
y（1?
y2）3
?
110，曲率半径r?
1
?
10．k
?
2
x
2
?
（）
（Ａ）1（Ｂ）
121
（Ｃ）（Ｄ）
332
1133
x?
0时,arctanx?
x?
x?
o（x）．，
（2）2
31?
x
【详解】注意
（1）f（x）?
由于f（x）?
xf（?
）．所以可知f（?
）?
1f（x）arctanxx?
arctanx2，，?
?
?
?
xx1?
?
2（arctanx）2
13
x）?
o（x3）
1?
．3x3
x?
0
?
2
x2
?
x?
0
x?
arxtanx
?
x（arctanx）2x?
0
x?
（x?
?
2u
6．设u（x,y）在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足?
0及
?
x?
y?
2u?
2u
．?
2?
0，则（）2
?
x?
y
（a）u（x,y）的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；（b）u（x,y）的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；
（c）u（x,y）的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；
（d）u（x,y）的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的边界上．
【详解】u（x,y）在平面有界闭区域d上连续，所以u（x,y）在d内必然有最大值和最小值．并且如果在
?
2u?
2u?
2u?
2u?
u?
u
内部存在驻点（x0,y0），也就是，由?
?
0，在这个点处a?
2,c?
2,b?
?
?
x?
y?
x?
y?
y?
x?
x?
y
条件，显然ac?
b?
0，显然u（x,y）不是极值点，当然也不是最值点，所以u（x,y）的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上．
所以应该选（a）．
2
7．行列式
0a
a0b00b
0cd0c00d
等于
（a）（ad?
bc）2（b）?
（ad?
bc）2（c）ad?
bc（d）?
ad?
bc【详解】
22222222
0a0cab0
a0ba0b
00babab
?
?
a0d0?
b0c0?
?
ad?
bc?
?
（ad?
bc）2
cd0cdcd
c0dc0d
00d
应该选（b）．
8．设?
1,?
2,?
3是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?
1?
k?
3，?
2?
l?
3线性无关是向量?
1,?
2,?
3线性无关的
（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d）非充分非必要条件【详解】若向量?
1,?
2,?
3线性无关，则
?
10?
?
?
（?
1?
k?
3，?
2?
l?
3）?
（?
1,?
2,?
3）?
01?
?
（?
1,?
2,?
3）k，对任意的常数k,l，矩阵k的秩都等
?
kl?
?
?
于2，所以向量?
1?
k?
3，?
2?
l?
3一定线性无关．
?
1?
?
0?
?
0?
?
?
?
?
?
?
而当?
1?
?
0?
?
2?
?
1?
?
3?
?
0?
时，对任意的常数k,l，向量?
1?
k?
3，?
2?
l?
3线性无关，但
?
0?
?
0?
?
0?
?
?
?
?
?
?
．?
1,?
2,?
3线性相关；故选择（a）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
1
dx?
2
x?
2x?
5
11dx1x?
11
dx?
?
|?
?
?
?
?
?
x2?
2x?
5?
?
?
（x?
1）2?
4221
9．
?
1?
?
【详解】
1?
?
?
?
3?
．?
?
（?
）?
?
2?
42?
8
10．设f（x）为周期为4的可导奇函数，且f（x）?
2（x?
1）,x?
?
0,2?
，则f（7）?
．【详解】当x?
?
0,2?
时，f（x）?
?
2（x?
1）dx?
x2?
2x?
c，由f（0）?
0可知c?
0，即
f（x）?
x2?
2x；f（x）为周期为4奇函数，故f（7）?
f（?
1）?
f
（1）?
1．
11．设z?
z（x,y）是由方程e
2yz
?
x?
y2?
z?
7
确定的函数，则dz|?
11?
?
．
?
?
4?
22?
【详解】设f（x,y,z）?
e
2yz
71
?
x?
y2?
z?
，fx?
1,fy?
2ze2yz?
2y,fz?
2ye2yz?
1，当x?
y?
42
时，z?
0，
fyf11?
z1?
z1
?
?
x?
?
，?
?
?
?
，所以dz|?
11?
?
?
dx?
dy．
?
?
22?
xfz2?
yfz2?
22?
?
?
?
?
?
处的切线方程为22?
?
12．曲线l的极坐标方程为r?
?
，则l在点（r,?
）?
?
【详解】先把曲线方程化为参数方程?
?
x?
r（?
）cos?
?
?
cos?
?
?
，于是在?
?
处，x?
0,y?
，
22?
y?
r（?
）sin?
?
?
sin?
?
2dysin?
?
?
cos?
2?
?
?
?
|?
?
|?
?
?
，则l在点（r,?
）?
?
?
处的切线方程为y?
?
?
（x?
0），即
2?
dx2cos?
?
?
sin?
2?
?
22?
y?
?
2x?
?
2
?
.
2
13．一根长为1的细棒位于x轴的区间?
0,1?
上，若其线密度?
（x）?
?
x?
2x?
1，则该细棒的质心坐标
x?
11
（?
x?
2x?
x）dx?
11?
00
【详解】质心坐标x?
1．?
1?
?
25
?
0?
（x）dx?
0（?
x?
2x?
1）dx320
1
x?
（x）dx
1
32
22
14．设二次型f（x1,x2,x3）?
x1?
x2?
2ax1x3?
4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围
是．【详解】由配方法可知
2
f（x1,x2,x3）?
x12?
x2?
2ax1x3?
4x2x3
2
?
（x1?
ax3）2?
（x2?
2x3）2?
（4?
a2）x3
由于负惯性指数为1，故必须要求4?
a?
0，所以a的取值范围是?
?
2,2?
．
2
三、解答题
15．（本题满分10分）
?
求极限lim
x?
?
?
x1
（t（e?
1）?
t）dt1
x2ln（1?
）
x
．
2
1t
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】
x?
?
?
?
lim
x1
（t（e?
1）?
t）dtx2ln（1?
1
）x
2
1t
?
?
lim
x?
?
?
x
1
（t（e?
1）?
t）dt
x
2
1
t
?
lim（x2（e?
1）?
x）
x?
?
1x
111?
?
1
?
lim?
x2（?
?
o（）?
x?
?
22x?
?
x2xx?
?
2
16．（本题满分10分）
已知函数y?
y（x）满足微分方程x2?
y2y?
1?
y，且y
（2）?
0，求y（x）的极大值和极小值．【详解】
解：
把方程化为标准形式得到（1?
y）
2
dy
?
1?
x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分dx
可得方程通解为：
1312y?
y?
x?
x3?
c，由y
（2）?
0得c?
，333
即
1312
y?
y?
x?
x3?
．333
dy1?
x2d2y?
2x（1?
y2）2?
2y（1?
x2）2令；?
?
0，得x?
?
1，且可知2?
dx1?
y2dx（1?
y2）3
当x?
1时，可解得y?
1，y?
?
1?
0，函数取得极大值y?
1；当x?
?
1时，可解得y?
0，y?
2?
0，函数取得极小值y?
0．17．（本题满分10分）
【篇三：
2009年考研数学二答案】
ss=txt>数学二试题及答案解析
一、选择题：
1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?
x3
（1）函数f?
x?
?
的可去间断点的个数为
sin?
x
?
a?
1
【答案】c
?
b?
2?
c?
3
?
d?
无穷多个
x?
x3
【解析】由于f?
x?
?
则当x取任何整数时,f?
x?
均无意义.
sin?
x
故f?
x?
的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是x?
x?
0的解
3
x1,2,3?
0,?
1.
x?
x31?
3x21lim?
lim?
x?
0sin?
xx?
0?
cos?
x?
x?
x31?
3x22lim?
lim?
x?
1sin?
xx?
1?
cos?
x?
x?
x31?
3x22lim?
lim?
.x?
?
1sin?
xx?
?
1?
cos?
x?
故可去间断点为3个,即0,?
1.
（2）当x?
0时,f?
x?
?
x?
sinax与g?
x?
?
xln?
1?
bx?
是等价无穷小,则
2
?
a?
a?
1,b?
?
6?
b?
a?
1,b?
6?
c?
a?
?
1,b?
?
6?
d?
a?
?
1,b?
6
【答案】a【解析】lim
x?
0
1111
f（x）x?
sinaxx?
sinax
?
lim2?
lim2g（x）x?
0xln（1?
bx）x?
0x?
（?
bx）
1?
acosaxa2sinax洛lim洛limx?
0x?
0?
3bx2?
6bx
a2sinaxa3
?
lim?
?
?
1,x?
06b6b?
?
ax
a
?
a3?
?
6b,故排除b,c.
1?
acosax
存在,蕴含了1?
acosax?
0?
x?
0?
故a?
1.排除d.2x?
0?
3bx
所以本题选a.
另外,lim
（3）设函数z?
f?
x,y?
的全微分为dz?
xdx?
ydy,则点?
0,0?
?
a?
不是f?
x,y?
的连续点?
b?
不是f?
x,y?
的极值点
?
c?
是f?
x,y?
的极大值点?
d?
是f?
x,y?
的极小值点
【答案】d
【解析】因dz?
xdx?
ydy可得
?
z?
z
?
x,?
y.?
x?
y
?
2z?
2z?
2z?
2z
a?
2?
1,?
b?
?
?
0,?
c?
2?
1,
?
x?
x?
y?
y?
x?
y
又在?
0,0?
处,
?
z?
z
?
0,?
0,ac?
b2?
1?
0,?
x?
y
故?
0,0?
为函数z?
f（x,y）的一个极小值点.
（4）设函数f?
x,y?
连续,则
?
dx?
f?
x,y?
dy?
?
1
x
21
222
1
dy?
x
4?
y
y
f?
x,y?
dx?
?
a?
?
1dx?
1
24?
x
f?
x,y?
dy?
b?
?
dx?
f?
x,y?
dx
2
4?
x
f?
x,y?
dy
?
c?
?
dy?
1
24?
y
1
?
d?
?
2
1
dy?
f?
x,y?
dx
y
2
【答案】c【解析】
?
2
1
dx?
f（x,y）dy?
?
dy?
f（x,y）dx的积分区域为两部分：
x
1
x
22
d1?
?
（x,y）?
x?
2,x?
y?
2?
d2?
?
（x,y）?
y?
2,y?
x?
4?
y?
将其写成一块d?
（x,y）?
y?
2,1?
x?
4?
y,故二重积分可以表示为
?
?
?
2
1
dy?
4?
y
1
f（x,y）dx,故答案为c.
（5）若f?
?
?
x?
不变号,且曲线y?
f?
x?
在点?
1,1?
上的曲率圆为x2?
y2?
2,则函数f?
x?
在区间?
1,2?
内
?
a?
有极值点,无零点?
c?
有极值点,有零点
【答案】b
?
b?
无极值点,有零点?
d?
无极值点,无零点
【解析】由题意可知,f（x）是一个凸函数,即f?
?
（x）?
0,且在点（1,1）处的曲率
?
?
|y?
?
|（1?
（y?
））
322
?
而f?
（1）?
?
1,由此可得,f?
?
（1）?
?
2.在[1,?
2]上,f?
（x）?
f?
（1）?
?
1?
0,即f（x）单调减少,没有极值点.对于f
（2）?
f
（1）?
f?
（?
）?
?
1?
?
?
?
?
（1,?
2）,（拉格朗日中值定理）
?
?
?
?
f
（2）?
0而f
（1）?
1?
0,由零点定理知,在[1,?
2]上,f（x）有零点.故应选b.
（6）设函数y?
f?
x?
在区间
?
?
1,3?
上的图形为：
则函数f?
x?
?
?
f?
t?
dt的图形为
x
?
a?
?
b?
?
c?
【答案】d
?
d?
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由y?
f（x）的图形可见，其图像与x轴及y轴、
x?
x0所围的图形的代数面积为所求函数f（x），从而可得出几个方面的特征：
①x?
?
0,1?
时，f（x）?
0，且单调递减。
②x?
?
1,2?
时，f（x）单调递增。
③x?
?
2,3?
时，f（x）为常函数。
④x?
?
?
1,0?
时，f（x）?
0为线性函数，单调递增。
⑤由于f（x）为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为d。
**
（7）设a,b均为2阶矩阵，a,b分别为a,b的伴随矩阵，若a?
2,b?
3，则分块
矩阵?
?
oa?
?
的伴随矩阵为bo?
?
3b*?
?
.o?
?
o?
a?
?
*
?
2a?
o?
b?
?
*
?
3a2b*?
?
.o?
?
o?
c?
?
*
?
2b
【答案】b
3a*?
?
.o?
?
od?
?
?
*
?
3b2a*?
?
.o?
【解析】根据cc?
?
ce若c?
cc,c
?
?
1
?
1
?
1?
cc
分块矩阵?
?
0?
ba?
0的行列式?
b0?
a?
0
?
0?
b
?
1
a2?
2
?
（?
1）ab?
2?
3?
6即分块矩阵可逆0
?
?
0?
1
b?
?
?
6?
?
1?
0?
?
a?
a
1?
?
b?
b
?
?
0?
?
?
0?
?
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03
3a
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2b?
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0?
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100?
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tt
（8）设a,p均为3阶矩阵，p为p的转置矩阵，且pap?
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010?
，若
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002?
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t
p?
（?
1,?
2?
3）q,?
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（1?
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2?
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2,，则3）qaq为
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【答案】a
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110?
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b?
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002?
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100?
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【解析】q?
（?
1?
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2,?
2,?
3）?
（?
1,?
2,?
3）110?
（?
1,?
2,?
3）e12
（1），即：
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001?
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