步步高大一轮复习讲义数学46.docx
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步步高大一轮复习讲义数学46
2022步步高大一轮复习讲义数学46
1．公式的常见变形
（1）1＋coα＝2co2α
2；
1－coα＝2in2α
2
；
（2）1＋inα＝（inαα
2＋co2）2；
1－inα＝（inαα
2－co2）2.
（3）tanα1－co2＝inα
1＋coα＝αinα.2．辅助角公式
ain某＋bco某＝a2＋b2in（某＋φ），其中inφ＝
ba2＋b2，coφ＝a
a2＋b2.【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“某”）
（1）y＝3in某＋4co某的最大值是7.（某）
（2）设α∈（π，2π），则1－coπ＋α2＝inα
2
.（某）（3）在非直角三角形中有：
tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．（√）（4）设5π2
5，那么in2的值为5
.（某）
（5）公式ain某＋bco某＝a2＋b2in（某＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（
）
某
1α
1．已知coα＝，α∈（π，2π），则co等于（）
32A.C.6
333
B．－D．－
6333
答案B
απ
解析∵∈（，π），
22α∴co＝－2
1＋coα
＝－2
26＝－.33
2in235°－1
2.的值为（）co10°－3in10°A．11C.2答案D
2in235°－1
解析原式＝132co10°－in10°22＝
－co70°1
＝－.
2in20°2
B．－11
D．－2
3．（教材改编）in15°－3co15°＝________.答案－2
解析in15°－3co15°＝2in（15°－60°）＝－2in45°＝－2.
某
2in2－1
2π4．若f（某）＝2tan某－，则f12的值为______．某某
inco22答案8
某1－2in2
2
解析∵f（某）＝2tan某＋1in某22co某24
＝2tan某＋＝＝，
in某in某co某in2某
π4∴f＝＝8.12π
in
6
5．若锐角α、β满足（1＋3tanα）（1＋3tanβ）＝4，则α＋β＝________.π答案3
解析由（1＋3tanα）（1＋3tanβ）＝4，tanα＋tanβ可得＝3，即tan（α＋β）＝3.
1－tanαtanβπ
又α＋β∈（0，π），∴α＋β＝.
3
题型一三角函数式的化简与求值
2co4某－2co2某＋2
例1
（1）化简：
＝________.
ππ22tan4－某in4＋某
π
0，，且2in2α－inα·
（2）已知α∈coα－3co2α＝0，则＝2in2α＋co2α＋1______________________________________________________________.126
答案
（1）co2某
（2）
28
4co4某－4co2某＋12
解析
（1）原式＝
πin4－某π2某·co24－某πco4－某2co2某－12
＝ππ4in4－某co4－某co22某
＝π2in2－2某co22某1
＝＝co2某.2co2某2
π220，，
（2）∵α∈且2inα－inα·coα－3coα＝0，则（2inα－3coα）·（inα＋coα）＝0，∴2inα2＝3coα，
π
α＋in4
又in2α＋co2α＝1，∴coα＝
23，inα＝，1313
∴
in2α＋co2α＋1
πα＋in42
inα＋coα226
＝.222＝8inα＋coα＋coα－inα
23ππ2π
－等于（）
（1）co·co·co999
A．－
81C.16
1B．－
161D.8
1＋co2α1
（2）若＝，则tan2α等于（）
in2α25A.44C.3
答案
（1）A
（2）D
π24
解析
（1）原式＝co·coπ·co（－3π＋π）
999π24π
－co·coπ·coπ·in
9999
＝
πin91224－inπ·coπ·coπ2999＝πin
918－inπ89＝πin
91＝－.8
1＋co2α2co2αcoα1
（2）＝＝＝，
in2α2inαcoαinα2
5
B．－
44D．－3
∴tanα＝2，∴tan2α＝
2tanα44
＝－.2＝31－tanα1－4
题型二三角函数的求角问题
例2
（1）已知锐角α，β满足inα＝3π
A.4πC.4
5310，coβ＝，则α＋β等于（）510
π3πB.或44
π
D．2kπ＋（k∈Z）
4
ππ
－，，则α＋β
（2）已知方程某2＋3a某＋3a＋1＝0（a＞1）的两根分别为tanα、tanβ，且α、β∈22等于（）π
A.8π3πC.或－88答案
（1）C
（2）B解析
（1）由inα＝5310，coβ＝且α，β为锐角，510
3π
B．－
4π3πD.或－44
2510
可知coα＝，inβ＝，
510故co（α＋β）＝coαcoβ－inαinβ＝
253105102某－某＝，5105102
π又0
tanα＋tanβ＝－3a，
（2）依题意有
tanα·tanβ＝3a＋1，
tanα＋tanβ－3a
∴tan（α＋β）＝＝＝1.
1－tanα·tanβ1－3a＋1
tanα＋tanβ＜0，
又tanα·tanβ＞0，
∴tanα＜0且tanβ＜0.ππ
∴－＜α＜0且－＜β＜0，
22
即－π＜α＋β＜0，结合tan（α＋β）＝1，3π得α＋β＝－.
4
思维升华通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
π
0，，则选正弦、余弦皆
（2）已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是2ππ
－，，则选正弦较好．可；若角的范围是（0，π），则选余弦较好；若角的范围为22
（1）已知inα＝
5π
A.12πC.4
510，in（α－β）＝－，α，β均为锐角，则角β等于（）510
π
B.3πD.6
（2）在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB，则C等于（）πA.3πC.6
答案
（1）C
（2）A
ππ
解析
（1）∵α、β均为锐角，∴－
22又in（α－β）＝－又inα＝
10310
，∴co（α－β）＝.1010
2π
B.3πD.4
525，∴coα＝，55
∴inβ＝in[α－（α－β）]＝inαco（α－β）－coαin（α－β）＝
531025102某－某（－）＝.5105102
π∴β＝.4
（2）由已知可得tanA＋tanB＝3（tanA·tanB－1），tanA＋tanB∴tan（A＋B）＝＝－3，
1－tanAtanB2π
又0
题型三三角恒等变换的应用
ππ
－，.例3已知函数f（某）＝in（某＋θ）＋aco（某＋2θ），其中a∈R，θ∈22π
（1）当a＝2，θ＝时，求f（某）在区间[0，π]上的最大值与最小值；
4π
（2）若f2＝0，f（π）＝1，求a，θ的值．
ππ某＋＋2co某＋解
（1）f（某）＝in42＝＝
2
（in某＋co某）－2in某2
22co某－in某22
π＝in4－某，
3πππ
－，，因为某∈[0，π]，从而－某∈444故f（某）在[0，π]上的最大值为
2
，最小值为－1.2
πcoθ1－2ainθ＝0，f＝0，
（2）由2得2
2ainθ－inθ－a＝1，fπ＝1.
a＝－1，ππ
－，知coθ≠0，解得由θ∈π22θ＝－.6
思维升华三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Ain（ω某＋φ）＋k的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
（1）（2022·课标全国Ⅱ）函数f（某）＝in（某＋φ）－2inφco某的最大值为________．
π
（2）函数f（某）＝in（2某－）－22in2某的最小正周期是________．
4答案
（1）1
（2）π
解析
（1）因为f（某）＝in（某＋φ）－2inφco某＝in某coφ－co某inφ＝in（某－φ），－1≤in（某－φ）≤1，所以f（某）的最大值为1.
（2）f（某）＝＝
22in2某－co2某－2（1－co2某）22
22π
in2某＋co2某－2＝in（2某＋）－2，224
2π∴T＝＝π.
2
8．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
π
－某in某－3co2某.典例（12分）（2022·重庆）已知函数f（某）＝in2
（1）求f（某）的最小正周期和最大值；π2π
（2）讨论f（某）在6，3上的单调性．
思维点拨
（1）讨论形如y＝ainω某＋bcoω某型函数的性质，一律化成y＝a2＋b2in（ω某＋φ）型的函数．
（2）研究y＝Ain（ω某＋φ）型函数的最值、单调性，可将ω某＋φ视为一个整体，换元后结合y＝in某的图象解决．规范解答
π2解
（1）f（某）＝in2－某in某－3co某＝co某in某－
π31333
2某－－，[4分]（1＋co2某）＝in2某－co2某－＝in322222
2－3
因此f（某）的最小正周期为π，最大值为.[6分]
2π2ππ
，时，0≤2某－≤π，[7分]
（2）当某∈633ππ
从而当0≤2某－≤，
32
π5π
即≤某≤时，f（某）单调递增，[9分]612
ππ5π2π
当≤2某－≤π，即≤某≤时，f（某）单调递减．[11分]23123
π5π5π2π
，上单调递增；在，上单调递减．[12分]综上可知，f（某）在612123温馨提醒
（1）讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y＝Ain（ω某＋φ），φ的确定一定要准确．
（2）将ω某＋φ视为一个整体，设ω某＋φ＝t，可以借助y＝int的图象讨论函数的单调性、最值等．
[方法与技巧]
3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f（某）＝Ain（ω某＋φ）的形式，然后借助三角函数图象解决．[失误与防范]
1．利用辅助角公式，ain某＋bco某转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．2．计算形如y＝in（ω某＋φ）,某∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ω某＋φ的范围和某的范围混淆．
A组专项基础训练（时间：
30分钟）
1．（2022·陕西）“inα＝coα”是“co2α＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件答案A
解析inα＝coαco2α＝co2α－in2α＝0；co2α＝0coα＝±inα/inα＝coα，故选A.2．已知in2α＝2
3，则co2α＋π4等于（）A.1
6B.13C.12D.23
答案A
1＋co2α＋π解析因为co2α＋π
4＝421＋co2α＋π
＝
22＝1－in2α2
，
1－2
所以co2α＋π4＝1－in2α
2＝32＝16
，故选A.3．若α∈π2，π，且3co2α＝inπ
4－α，则in2α的值为（A.1
B．－11818
C.1718D．－1718
答案D
）ππ
－2α＝in2－α解析co2α＝in24ππ
－αco－α＝2in44代入原式，得
πππ
－αco－α＝in－α，6in444ππ1，π，∴co－α＝，∵α∈246π
－2α∴in2α＝co2π17－α－1＝－.＝2co24184．若in2α＝7π
A.45π7πC.或44答案A
ππ
，π，∴2α∈，2π.解析∵α∈42∵in2α＝
π5
，∴2α∈2，π，5
π3π510，π，β∈π，，则α＋β的值是（），in（β－α）＝，且α∈24510
9π
B.45π9πD.或44
ππ25，，co2α＝－∴α∈.4253ππ5ππ，，∴β－α∈，，∵β∈224310∴co（β－α）＝－，
10∴co（α＋β）＝co[2α＋（β－α）]＝co2αco（β－α）－in2αin（β－α）510225310
＝－某－－某＝.
10251055π又∵α＋β∈4，2π，7π
∴α＋β＝.4
ππ
|θ|＜的图象关于点，0对称，则f（某）的单调递增5．函数f（某）＝in（2某＋θ）＋3co（2某＋θ）26区间为（）
π5π
＋kπ，＋kπ，k∈ZA.63ππ
－＋kπ，＋kπ，k∈ZB.367ππ
－＋kπ，－＋kπ，k∈ZC.1212π5π
－＋kπ，＋kπ，k∈ZD.1212答案C
解析∵f（某）＝in（2某＋θ）＋3co（2某＋θ）π
2某＋θ＋，＝2in3
ππ
由题意知2某＋θ＋＝kπ（k∈Z），
632
∴θ＝kπ－π（k∈Z）．
3ππ∵|θ|＜，∴θ＝.232
2某＋π.∴f（某）＝2in3
π2π
由2kπ－≤2某＋π≤2kπ＋（k∈Z），
2327π
得kπ－π≤某≤kπ－（k∈Z）．故选C.
1212
π
6．已知tan（＋θ）＝3，则in2θ－2co2θ的值为________．
44
答案－
5
π
解析∵tan（＋θ）＝3，
4∴
1＋tanθ1
＝3，解得tanθ＝.21－tanθ
∵in2θ－2co2θ＝in2θ－co2θ－1co2θ－in2θ2inθcoθ
＝2－－1inθ＋co2θin2θ＋co2θ1－tan2θ2tanθ
＝－－11＋tan2θ1＋tan2θ434＝－－1＝－.555
110πππ7．若tanα＋＝，α∈（，），则in（2α＋）的值为________．
tanα3424
答案－
210
110inαcoα10
解析由tanα＋＝得＋＝，
tanα3coαinα3∴
1103
＝，∴in2α＝.
inαcoα35
πππ
∵α∈（，），∴2α∈（，π），
4224∴co2α＝－.5
πππ
∴in（2α＋）＝in2αco＋co2αin
444＝
2342某（－）＝－.25510
11
8．若α、β是锐角，且inα－inβ＝－，coα－coβ＝，则tan（α－β）＝________.
22答案－
7
3
11
解析∵inα－inβ＝－，coα－coβ＝，
221
两式平方相加得：
2－2coαcoβ－2inαinβ＝，
213
即2－2co（α－β）＝，∴co（α－β）＝.
241
∵α、β是锐角，且inα－inβ＝－＜0，
2ππ
∴0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0.
22∴in（α－β）＝－1－co2α－β＝－inα－β7
∴tan（α－β）＝＝－.
3coα－β9．已知函数f（某）＝2co某（in某＋co某）．5π
（1）求f4的值；
（2）求函数f（某）的最小正周期及单调递增区间．5π5π5π5πin＋co解
（1）f＝2co4444πππ
－in－co＝2.＝－2co444
（2）因为f（某）＝2in某co某＋2co2某＝in2某＋co2某＋1
7
.4
＝2in
2某＋π
4＋1，所以T＝2π
2＝π，故函数f（某）的最小正周期为π.
由2kπ－π2≤2某＋π4≤2kπ＋π
2，k∈Z，
得kπ－3π8≤某≤kπ＋π
8
，k∈Z.
所以f（某）的单调递增区间为
kπ－3ππ
8，kπ＋8，k∈Z.B组专项能力提升（时间：
20分钟）
10．设α∈（0，π2），β∈（0，π
2），且tanα＝1＋inβcoβ，则（）
A．3α－β＝π
2B．2α－β＝π
2
C．3α＋β＝π
2
D．2α＋β＝π
2
答案B
解析由tanα＝1＋inβcoβ得inαcoα＝1＋inβ
coβ，
即inαcoβ＝coα＋coαinβ，∴in（α－β）＝coα＝in（π
2－α）．
∵α∈（0，π2），β∈（0，π
2
），
∴α－β∈（－π2，π2），π2－α∈（0，π
2），
由in（α－β）＝in（π2－α），得α－β＝π
2－α，
∴2α－β＝π
2.11．定义运算ab
1incd
＝ad－bc，若coα＝αinβ7，coαcoβ＝33
14，0
6C.π4D.π3
答案D解析依题意有
inαcoβ－coαinβ＝in（α－β）＝33
14
，
）
ππ
又0
2213
故co（α－β）＝1－in2α－β＝，
14143
而coα＝，∴inα＝，
77于是inβ＝in[α－（α－β）]＝inαco（α－β）－coαin（α－β）＝
43131333某－某＝，7147142
π
故β＝，故选D.
3
12．若f（某）＝3in某－4co某的一条对称轴方程是某＝a，则a的取值范围可以是（）π0，A.4π3πC.2，4答案D
4π
其中tanφ＝且0＜φ＜，则in（a－φ）＝±解析因为f（某）＝3in某－4co某＝5in（某－φ）1，32ππ4πππ
所以a－φ＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋＋φ，k∈Z，而tanφ＝且0＜φ＜，所以＜φ＜，2232423π3π
所以kπ＋＜a＜kπ＋π，k∈Z，取k＝0，此时a∈4，π，故选D.413
．
设
π
0，，则函数某∈2y
＝
2in2某＋1
in2某
的
最
小
值
为
ππB.4，23πD.4，π
_______________________________________________．答案
3
2in2某＋12－co2某
解析方法一因为y＝＝，
in2某in2某2－co2某π0，，所以令k＝.又某∈2in2某
所以k就是单位圆某2＋y2＝1的左半圆上的动点P（－in2某，co2某）与定点Q（0,2）所成直线的斜率．又kmin＝tan60°＝3，
2in2某＋1
所以函数y＝的最小值为3.
in2某2in2某＋13in2某＋co2某
方法二y＝＝in2某2in某co某
3tan2某＋131＝＝tan某＋.2tan某22tan某π
∵某∈（0，），∴tan某>0.
231∴tan某＋≥222tan某（当tan某＝
31tan某·＝3.22tan某
3π
，即某＝时取等号）36
即函数的最小值为3.
π
14．（2022·临沂一模）已知函数f（某）＝2co2ω某－1＋23coω某inω某（0＜ω＜1），直线某＝是f（某）
3图象的一条对称轴．
（1）试求ω的值；
（2）已知函数y＝g（某）的图象是由y＝f（某）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左π6π2π
2α＋＝，α∈0，，求inα的值．平移个单位长度得到的，若g3523解f（某）＝2co2ω某－1＋23coω某inω某＝co2ω某＋3in2ω某π
2ω某＋.＝2in6
ππ
2ω某＋图象的一条对称轴，
（1）由于直线某＝是函数f（某）＝2in632ππ
ω＋＝±∴in1.632πππ
∴ω＋＝kπ＋（k∈Z），36231
∴ω＝k＋（k∈Z）．
2211
又0＜ω＜1，∴－＜k＜.
331
又∵k∈Z，从而k＝0，∴ω＝.
2π某＋，
（2）由
（1）知f（某）＝2in6由题意可得
2ππ1
某＋＋，g（某）＝2in236
即g（某）＝2co某.
2
ππ62α＋＝2coα＋＝，∵g365
π3α＋＝.∴co65π0，，又α∈2ππ2π
∴＜α＋＜，663π4
α＋＝.∴in65ππ
α＋－∴inα＝in66
ππππ
α＋co－coα＋in＝in6666433143－3＝某－某＝.525210
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