高考数学二轮复习专题七数学思想方法选用第1讲函数与方程思想Word格式.docx

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g（x）＋f（x）g′（x）＞0，

所以x＜0时，F（x）为增函数．

因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以x＞0时，F（x）也是增函数．

因为F（－3）＝f（－3）g（－3）＝0＝－F（3），

所以，可作y＝F（x）的示意图如图所示，

由图可知F（x）＜0的解集是（－∞，－3）∪（0，3）．

答案　

（1）4　

（2）（－∞，－3）∪（0，3）

探究提高　

（1）在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；

（2）函数f（x）＞0或f（x）＜0恒成立，一般可转化为f（x）min＞0或f（x）max＜0；

已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．

[应用2]　数列问题的函数（方程）法

【例1－2】已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋p·

3n（n∈N*，p为常数），a1，a2＋6，a3成等差数列．

（1）求p的值及数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足bn＝，证明：

bn≤.

（1）解　由a1＝3，an＋1＝an＋p·

3n，

得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.

因为a1，a2＋6，a3成等差数列，

所以a1＋a3＝2（a2＋6），

即3＋3＋12p＝2（3＋3p＋6），得p＝2.

依题意知，an＋1＝an＋2×

3n.

当n≥2时，a2－a1＝2×

31，

a3－a2＝2×

32，…，

an－an－1＝2×

3n－1.

将以上式子相加得an－a1＝2（31＋32＋…＋3n－1），

所以an－a1＝2×

＝3n－3，

所以an＝3n（n≥2）．又a1＝3符合上式，故an＝3n.

（2）证明　因为an＝3n，所以bn＝.

所以bn＋1－bn＝－＝（n∈N*）．

若－2n2＋2n＋1＜0，则n＞，

即当n≥2时，有bn＋1＜bn，

又因为b1＝，b2＝，故bn≤.

探究提高　数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：

（1）数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解．

（2）数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组求解．

（3）数列中前n项和的最值：

转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an≥0（an≤0）成立时最大的n值即可求解．

[应用3]　解析几何问题的方程（函数）法

【例1－3】设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．

（1）若＝6，求k的值；

（2）求四边形AEBF面积的最大值．

解　

（1）

依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx（k＞0）．如图，设D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，且x1，x2满足方程组

故x2＝－x1＝.①

由＝6知x0－x1＝6（x2－x0），

得x0＝（6x2＋x1）＝x2＝；

由D在AB上知x0＋2kx0＝2，

得x0＝.所以＝，

化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.

（2）根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为

h1＝＝，

h2＝＝.

又|AB|＝＝，所以四边形AEBF的面积为

S＝|AB|（h1＋h2）

＝·

·

＝

＝2≤2，

当4k2＝1（k＞0），即当k＝时，上式取等号．

所以S的最大值为2，

即四边形AEBF面积的最大值为2.

探究提高　解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．

热点二　数形结合思想的应用

[应用1]　利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点

【例2－1】

（1）若函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

（2）设函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝f（x），f（x）＝f（2－x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x3.又函数g（x）＝|xcos（πx）|，则函数h（x）＝g（x）－f（x）在上的零点个数为（　　）

A．5B．6C．7D．8

解析　

（1）由f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，从而可得函数y＝|2x－2|的图象与函数y＝b的图象有两个交点，如图所示．结合函数的图象，可得0＜b＜2，故填（0，2）．

（2）根据题意，函数y＝f（x）是周期为2的偶函数且0≤x≤1时，f（x）＝x3，则当－1≤x≤0时，f（x）＝－x3，且g（x）＝|xcos（πx）|，所以当x＝0时，f（x）＝g（x）．当x≠0时，若0<

x≤，则x3＝xcos（πx），即x2＝cosπx.

再根据函数性质画出上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个交点．所以总共有6个零点．

答案　

（1）（0，2）　

（2）B

探究提高　用图象法讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解（或函数零点）的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解（或函数零点）的个数．

[应用2]　利用数形结合思想解不等式或求参数范围

【例2－2】

（1）若不等式≤k（x＋2）－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________．

（2）若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

解析　

（1）如图

，分别作出直线y＝k（x＋2）－与半圆y＝.由题意，知直线在半圆的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，所以直线y＝k（x＋2）－过点（1，2），则k＝.

（2）作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤.

答案　

（1）　

（2）

探究提高　求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．

[应用3]　利用数形结合思想求最值

【例2－3】

（1）已知P是直线l：

3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，

C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．

（2）已知F是双曲线C：

x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6），当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．

解析　

（1）

从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·

|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；

当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，

此时|PC|＝＝3，

从而|PA|＝＝2.

所以（S四边形PACB）min＝2×

×

|PA|×

|AC|＝2.

（2）设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，根据双曲线的定义可知|PF|＝2＋|PF1|，则△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2，

由于|AF|＋2是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|＋|PF1|最小，即P，A，F1三点共线，如图所示．

由于A（0，6），F1（－3，0），

直线AF1的方程为：

＋＝1，

即x＝－3，

代入双曲线方程整理可得

y2＋6y－96＝0，解得y＝2或y＝－8（舍去），

所以点P的纵坐标为2.

所以S△APF＝S△AFF1－S△PFF1＝×

6×

6－×

2＝12.

答案　

（1）2　

（2）12

探究提高　破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论.

1．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．

2．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．

3．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量．

4．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都是实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．

5．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．

6．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.

一、选择题

1．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于（　　）

A.或－B．－或3

C．－3或D．－3或3

解析　圆的方程（x－1）2＋y2＝3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径＝|＋m|＝2m＝或m＝－3.

答案　C

2．已知函数f（x）满足下面关系：

①f（x＋1）＝f（x－1）；

②当x∈[－1，1]时，f（x）＝x2，则方程f（x）＝lgx解的个数是（　　）

A．5B．7C．9D．10

解析　由题意可知，f（x）是以2为周期，值域为[0，1]的函数．

又f（x）＝lgx，则x∈（0，10]，画出两函数图象，

则交点个数即为解的个数．

由图象可知共9个交点．

3．函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x＋4的解集为（　　）

A．（－1，1）B．（－1，＋∞）

C．（－∞，－1）D．（－∞，＋∞）

解析　f′（x）＞2转化为f′（x）－2＞0，构造函数F（x）＝f（x）－2x，

得F（x）在R上是增函数．

又F（－1）＝f（－1）－2×

（－1）＝4，f（x）＞2x＋4，

即F（x）＞4＝F（－1），所以x＞－1.

答案　B

4．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a－c）·

（b－c）＝0，则|c|的最大值是（　　）

A.B．2C.D．2

解析　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.由题意知⊥，

∴O，A，C，B四点共圆．

∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，||＝.

答案　A

5．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（　　）

A.B.

C．（1，）D．（，2）

解析　利用指数函数和对数函数的性质及图象求解．

∵0＜x≤，∴1＜4x≤2，∴logax＞4x＞1，

∴0＜a＜1，排除答案C，D；

取a＝，x＝，则有4＝2，log＝1，

显然4x＜logax不成立，排除答案A；

故选B.

二、填空题

6．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°

，则E的离心率为________．

解析　如图，

设双曲线E的方程为－＝1（a＞0，b＞0），则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M（x1，y1）在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N（x1，0），

∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°

，

∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°

∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°

＝a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°

＝2a.将点M（x1，y1）的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝.

答案　

7．已知e1，e2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b满足|b|＝2，b·

e1＝1，b·

e2＝1，则对于任意x，y∈R，|b－（xe1＋ye2）|的最小值为________．

解析　|b－（xe1＋ye2）|2＝b2＋x2e＋y2e－2xb·

e1－2yb·

e2＋2xye1·

e2＝4＋x2＋y2－2x－2y＝（x－1）2＋（y－1）2＋2≥2，

当且仅当x＝1，y＝1时，|b－（xe1＋ye2）|2取得最小值2，此时|b－（xe1＋ye2）|取得最小值.

8．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：

（x－5）2＋y2＝r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________．

解析　设直线l的方程为x＝ty＋m，A（x1，y1），B（x2，y2），

把直线l的方程代入抛物线方程y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，

则Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝（ty1＋m）＋（ty2＋m）＝4t2＋2m，则线段AB的中点M（2t2＋m，2t）．

由题意可得直线AB与直线MC垂直，且C（5，0）．

当t≠0时，有kMC·

kAB＝－1，

即·

＝－1，整理得m＝3－2t2，

把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，

可得3－t2＞0，即0＜t2＜3.

由于圆心C到直线AB的距离等于半径，

即d＝＝＝2＝r，

所以2＜r＜4，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条．

当t＝0时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±

r，所以0＜r＜5.

综上，可得若这样的直线恰有4条，则2＜r＜4.

答案　（2，4）

三、解答题

9．已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.

（1）求{an}的通项an；

（2）求{an}前n项和Sn的最大值．

解　

（1）设{an}的公差为d，由已知条件，

解得a1＝3，d＝－2.

所以an＝a1＋（n－1）d＝－2n＋5.

（2）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－（n－2）2.

所以n＝2时，Sn取到最大值4.

10．椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求m的取值范围．

解　

（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0），设c＞0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝，＝，

所以a＝1，b＝c＝.

故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.

（2）当直线l的斜率不存在时，由题意求得m＝±

；

当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），

由得（k2＋2）x2＋2kmx＋m2－1＝0，

Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）

＝4（k2－2m2＋2）＞0，（*）

x1＋x2＝，x1x2＝.

因为＝3，所以－x1＝3x2.

所以所以3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0.

所以3·

＋4·

＝0.

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，

即k2（4m2－1）＋（2m2－2）＝0.

当m2＝时，上式不成立；

当m2≠时，k2＝.

由（*）式，得k2＞2m2－2，

又k≠0，所以k2＝＞0.

解得－1＜m＜－或＜m＜1.

综上，所求m的取值范围为∪.

11．设函数f（x）＝ax3－3ax，g（x）＝bx2－lnx（a，b∈R），已知它们在x＝1处的切线互相平行．

（1）求b的值；

（2）若函数F（x）＝且方程F（x）＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

解　函数g（x）＝bx2－lnx的定义域为（0，＋∞），

（1）f′（x）＝3ax2－3af′

（1）＝0，

g′（x）＝2bx－g′

（1）＝2b－1，

依题意得2b－1＝0，所以b＝.

（2）x∈（0，1）时，g′（x）＝x－＜0，

即g（x）在（0，1）上单调递减，

x∈（1，＋∞）时，g′（x）＝x－＞0，即g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以当x＝1时，g（x）取得极小值g

（1）＝；

当a＝0时，方程F（x）＝a2不可能有四个解；

当a＜0，x∈（－∞，－1）时，f′（x）＜0，即f（x）在（－∞，－1）上单调递减，x∈（－1，0）时，f′（x）＞0，

即f（x）在（－1，0）上单调递增，

所以当x＝－1时，f（x）取得极小值f（－1）＝2a，

又f（0）＝0，所以F（x）的图象如图

（1）所示，从图象可以看出F（x）＝a2不可能有四个解．

当a＞0，x∈（－∞，－1）时，f′（x）＞0，

即f（x）在（－∞，－1）上单调递增，x∈（－1，0）时，f′（x）＜0，

即f（x）在（－1，0）上单调递减，

所以当x＝－1时，f（x）取得极大值f（－1）＝2a.

又f（0）＝0，所以F（x）的图象如图

（2）所求，

从图

（2）看出，若方程F（x）＝a2有四个解，则＜a2＜2a，得＜a＜2，所以，实数a的取值范围是.

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；

读太阳，读出了它普照万物的无私；

读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；

幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 

幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；

幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；

幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；

从归雁的行列中，我读出了集体的力量；

从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；

从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；

从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；

朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；

朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；

青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；

青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；

青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献