新定义阅读理解题含答案.docx

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新定义阅读理解题含答案

新定义阅读理解题

（2019·重庆A卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性数进行研究．如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．

定义：

对于自然数n，在计算n＋（n＋1）＋（n＋2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．

例如：

32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；

23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．

（1）判断2019和2020是否是“纯数”？

请说明理由；

（2）求出不大于100的“纯数”的个数．

【分析】

（1）根据纯数的定义逐一判断2019和2020即可；

（2）判断不大于100的“纯数”的个数，可先从个位数字入手，确定个位数字的特点，再确定十位数字的特点，即可得到对应的“纯数”．

【自主解答】

1．（2018·重庆A卷）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．

（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，若四位数m为“极数”，记D（m）＝

.求满足D（m）是完全平方数的所有m.

2．（2020·原创）若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“中2数”，记作F（N），如34的“中2数”为F（34）＝324；若将一个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“尾2数”，记作P（M），如34的“尾2数”为P（34）＝36.对于任意一个两位正整数T，令Q（T）＝

.

（1）判断Q（T）是否为整数，并说明理由；

（2）对于一个两位正整数M，若P（M）的各位数之和是M的各位数之和的一半，求M的值．

3．（2017·重庆A卷）对于任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后，可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位和个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，∴F（123）＝6.

（1）计算：

F（243），F（617）；

（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：

k＝

，当F（s）＋F（t）＝18时，求k的最大值．

4．（2020·原创）事实：

我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除，反之也成立．

定义：

对于一个两位数m和一个三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这样方式产生的所有新的两位数的和我们称之为“二三联合”，用F（m，n）表示．例如数12与345的“二三联合”为F（12，345）＝13＋14＋15＋23＋24＋25＝114.

（1）填空：

F（11，369）＝________；F（16，123）＝________；

（2）若一个两位数s＝21x＋y，一个三位数t＝121x＋y＋199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x，y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值．

5．（2019·九龙坡区模拟）数学不仅是一门科学，也是一种文化，即数学文化．数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面．古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣一个要求．大臣说：

“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒…一直到第64格．”“你真傻！

就要这么一点米粒？

”国王哈哈大笑．大臣说：

“就怕您的国库里没有这么多米！

”国王的国库里有这么多米吗？

题中问题就是求1＋21＋22＋23＋…＋263是多少？

请同学们阅读以下解答过程就知道答案了．

设S＝1＋21＋22＋23＋…＋263，则2S＝2（1＋21＋22＋23＋24＋…＋263）＝2＋22＋23＋24＋…＋263＋264.2S－S＝2（1＋21＋22＋23＋24＋…＋263）－（1＋21＋22＋23＋24＋…＋263），

即：

S＝264－1.事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要1＋21＋22＋23＋…＋263＝（264－1）粒米．那么264－1到底多大呢？

借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个20位数：

18446744073709551615，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求．请用你学到的方法解决以下问题：

（1）我国古代数学名著《算法统宗》中有一问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯？

（2）计算：

1＋3＋9＋27＋…＋3n；

（3）某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知一列数：

1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，…，依此类推．求满足如下条件的所有正整数N：

10＜N＜100，且这一列数前N项和为2的正整数幂．请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数N的值．

参考答案

【例1】解：

（1）当n＝2019时，n＋1＝2020，n＋2＝2021，

∵9＋0＋1＝10，需进位，∴2019不是“纯数”；

当n＝2020时，n＋1＝2021，n＋2＝2022，

个位：

0＋1＋2＝3，不需要进位；

十位：

2＋2＋2＝6，不需要进位；

百位：

0＋0＋0＝0，不需要进位；

千位：

2＋2＋2＝6，不需要进位；

∴2020是“纯数”．

（2）当n＝0时，n＋1＝1，n＋2＝2，则0＋1＋2＝3，不需要进位，∴0是“纯数”；

当n＝1时，n＋1＝2，n＋2＝3，1＋2＋3＝6，不需要进位，∴1是“纯数”；

当n＝2时，n＋1＝3，n＋2＝4，2＋3＋4＝9，不需要进位，∴2是“纯数”；

当n＝3时，n＋1＝4，n＋2＝5，3＋4＋5＝12，需要进位，∴3不是“纯数”，

综上可知，当这个自然数是一位自然数时，只能是0，1，2；

当这个自然数是两位自然数时，这个自然数可以是10，11，12，20，21，22，30，31，32，共9个，

当这个自然数是三位自然数时，100是“纯数”，

∴不大于100的自然数中，“纯数”的个数为3＋9＋1＝13.

跟踪训练

1．解：

（1）1188；2475;9900.（答案不唯一）

猜想：

任意一个“极数”是99的倍数．理由如下：

设任意一个“极数”为xy（9－x）（9－y）（其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x，y均为整数），

则xy（9－x）（9－y）＝1000x＋100y＋10（9－x）＋9－y

＝1000x＋100y＋90－10x＋9－y

＝99（10x＋y＋1）．

∵x，y为整数，∴10x＋y＋1为整数，

∴任意一个“极数”是99的倍数．

（2）设m＝xy（9－x）（9－y），

由题意可知，D（m）＝

＝3（10x＋y＋1），

∵1≤x≤9，0≤y≤9，∴33≤3（10x＋y＋1）≤300，

∵D（m）是完全平方数，

∴D（m）可取的值为36，81，144，225，

当D（m）＝36时，3（10x＋y＋1）＝36，则x＝1，y＝1，m＝1188；

当D（m）＝81时，3（10x＋y＋1）＝81，则x＝2，y＝6，m＝2673；

当D（m）＝144时，3（10x＋y＋1）＝144，则x＝4，y＝7，m＝4752；

当D（m）＝225时，3（10x＋y＋1）＝225，则x＝7，y＝4，m＝7425.

综上所述，满足D（m）为完全平方数的m的值为1188，2673，4752，7425.

2．解：

（1）Q（T）是整数．理由如下：

设两位正整数T为ab，则T＝10a＋b，

∴F（T）＝a2b＝100a＋20＋b，

P（T）＝10a＋b＋2，

∴F（T）－P（T）＝100a＋20＋b－（10a＋b＋2）

＝90a＋18＝9（10a＋2），

∵a为整数，∴10a＋2为整数，

∴Q（T）＝

是整数．

（2）设M＝ab，1≤a≤9，0≤b≤9，

∴M＋2＝10a＋b＋2，

∵M＋2的各数位上的数之和比M各数位上的数之和小，

∴M＋2后，个位发生了进位，

∴b≥8，且M＋2＝10（a＋1）＋（b＋2－10），

∴a＋1＋b＋2－10＝

（a＋b），

整理得a＋b＝14，

∴a＝6，b＝8，或a＝5，b＝9，

∴M为68或59.

3．解：

（1）F（243）＝（423＋342＋234）÷111＝9，

F（617）＝（167＋716＋671）÷111＝14.

（2）∵s，t都是相异数，

∴F（s）＝（302＋10x＋230＋x＋100x＋23）÷111＝x＋5，

F（t）＝（510＋y＋100y＋51＋105＋10y）÷111＝y＋6，

∵F（s）＋F（t）＝18，

∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18，

∴x＋y＝7,

∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，

∴

或

或

或

或

或

，

∵s是相异数，∴x≠2，x≠3，

∵t是相异数，∴y≠1，y≠5，

∴满足条件的有

或

或

，

∴

或

或

，

∴k＝

＝

＝

或k＝

＝

＝1或k＝

＝

＝

，

∵

<1<

，

∴k的最大值为

.

4．解：

（1）F（11，369）＝13＋16＋19＋13＋16＋19＝96；

F（16，123）＝11＋12＋13＋61＋62＋63＝222.

（2）已知s＝21x＋y＝20x＋（x＋y），t＝121x＋y＋199＝100（x＋2）＋20x＋（x＋y－1），

∵1≤x≤4，1≤y≤5，且x，y均为整数，

∴t′＋3（x＋y）＝100（x＋y－1）＋20x＋x＋2＋3（x＋y）＝124x＋103y－98，

∵t′＋3（x＋y）能被11整除，

∴

＝

＋

＝11x＋9y－9＋

为整数，

∴

是整数，∵1≤x≤4，1≤y≤5，

∴8≤3x＋4y＋1≤33，

∴当3x＋4y＋1＝11时，x＝2，y＝1，此时s＝43，t＝442；

当3x＋4y＋1＝22时，得x＝3，y＝3，此时s＝66，t＝565；

当3x＋4y＋1＝33时，x＝4，y＝5，此时s＝89，t＝688.

∴F（s，t）的最大值为F（89，688）＝554.

5．解：

（1）设塔的顶层有x盏灯，依题意得：

x＋21x＋22x＋23x＋24x＋25x＋26x＝381，

解得：

x＝3，

答：

塔的顶层共有3盏灯．

（2）设S＝1＋3＋9＋27＋…＋3n，则3S＝3（1＋3＋9＋27＋…＋3n）＝3＋9＋27＋…＋3n＋3n＋1，

∴3S－S＝（3＋9＋27＋3n＋3n＋1）－（1＋3＋9＋27＋3n），

∴2S＝3n＋1－1，

∴S＝

，

即：

1＋3＋9＋27＋…＋3n＝

.

（3）由题意这列数分n＋1组：

前n组含有的项数分别为：

1，2，3，…，n，最后一组x项，根据材料可知每组和公式，求得前n组每组的和分别为：

21－1，22－1，23－1，…，2n－1，

前n组共有项数为N′＝1＋2＋3＋…＋n＝

，

前n组所有项数的和为Sn＝21－1＋22－1＋23－1＋…＋2n－1＝（21＋22＋23＋…＋2n）－n＝2n＋1－2－n，

由题意可知：

2n＋1为2的整数幂．只需最后一组x项将－2－n消去即可，

则①1＋2＋（－2－n）＝0，解得：

n＝1，总项数为N＝

＋2＝3，不满足10

②1＋2＋4＋（－2－n）＝0，解得：

n＝5，总项数为N＝

＋3＝18，满足10

③1＋2＋4＋8＋（－2－n）＝0，解得：

n＝13，总项数为N＝

＋4＝95，满足10

④1＋2＋4＋8＋16＋（－2－n）＝0，解得：

n＝29，总项数为N＝

＋5＝440，不满足10

∴所有满足条件的软件激活码正整数N的值为：

18或95.