最新北师大版高中数学必修二84空间中的垂直关系同步练习精品试题.docx

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最新北师大版高中数学必修二84空间中的垂直关系同步练习精品试题

8-4空间中的垂直关系

基础巩固

一、选择题

1．对于直线m、l和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（　　）

A．m⊥l，m∥α，l∥β　　　　B．m⊥l，α∩β＝m，lα

C．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，mα

[答案]　D

[解析]　本题考查空间线面位置关系的判定．A：

与两相互垂直直线平行的平面的位置关系不能确定；B：

平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：

这两个平面也有可能重合可能平行；D是成立的，故选D.

2．平面α垂直于平面β（α、β为不重合的平面）成立的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β

B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β

C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β

D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β

[分析]　本题主要考查立体几何及简易逻辑的有关知识．由充分条件的含义可知本题就是要从四个选项中寻求使平面α⊥平面β成立的一个条件．

[答案]　D

[解析]　对于选项A，l⊥α，l⊥β⇒α∥β；对于选项B，γ∥α，γ∥β⇒α∥β；对于选项C，当γ⊥α，γ⊥β成立时，平面α，β的关系是不确定的；对于选项D，当l⊥α，l∥β成立时，说明在β内必存在一条直线m，满足m⊥α，从而有α⊥β成立．

3．（文）（教材改编题）“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直的”（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

[答案]　B

[解析]　由直线与平面垂直的定义知，为必要不充分条件．

（理）设平面α⊥β，α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，则a与b（　　）

A．可能垂直，不可能平行

B．可能平行，不可能垂直

C．可能垂直，也可能平行

D．不可能垂直，也不可能平行

[答案]　B

[解析]　当a∥l，b∥l时，a∥b.假设a⊥b，如图，过a上一点作c⊥l，则c⊥β.

∴b⊥c.又b⊥a，∴b⊥α，

∴b⊥l，与已知矛盾．

4．（2012·浙江文，5）设l是直线，α，β是两个不同的平面（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

[答案]　B

[解析]　本题考查了空间中线面的垂直与平行，A中，α和β也可以相交，C中l应平行于β或在β内，D中l也可与β平行．

5．下列命题中错误的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

[答案]　D

[解析]　本题主要考查空间中的线面、面面关系等基础知识．

对于A、α内存在直线平行于α与β的交线，故α内必存在直线平行于β，正确；对于B，由于α不垂直于β，α内一定不存在直线垂直于β，否则α⊥β，正确；对于C，由平面与平面垂直的性质知正确，故D不正确，选D.

6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是（　　）

A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC

[答案]　C

[解析]　∵D、F分别为AB、CA中点，

∴DF∥BC.

∴BC∥面PDF，故A正确．

又∵P－ABC为正四面体，

∴P在底面ABC内的射影O在AE上．

∴PO⊥面ABC.∴PO⊥DF.

又∵E为BC中点，

∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.

又∵PO∩AE＝O，∴DF⊥面PAE，故B正确．

又∵PO面PAE，PO⊥面ABC，

∴面PAE⊥面ABC，故D正确．

∴四个结论中不成立的是C.

二、填空题

7．（2012·太原调研）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

④若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.

其中正确的命题是________（填上所有正确命题的序号）．

[答案]　①④

[解析]　②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.

8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为________．

[答案]　2

[解析]　如图，∵PC⊥平面ABC，

MC面ABC，∴PC⊥MC.

故PM＝

＝

.

又∵MC的最小值为

＝2

，

∴PM的最小值为2

.

三、解答题

9．（2012·北京文，16）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.

（1）求证：

DE∥平面A1CB；

（2）求证：

A1F⊥BE；

（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？

说明理由．

[解析]　

（1）因为D，E分别为AC，AB的中点，

所以DE∥BC.

又因为DE平面A1CB，

所以DE∥平面A1CB.

（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.

所以DE⊥平面A1DC.

而A1F平面A1DC，

所以DE⊥A1F.

又因为A1F⊥CD，

所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.

（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.

理由如下：

如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.

又因为DE∥BC，

所以平面DEQ即为平面DEP.

由

（2）知，DE⊥平面A1DC，

所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点，

所以A1C⊥DP.

所以A1C⊥平面DEP.

从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.

能力提升

一、选择题

1．（2012·安徽理，6）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　本题考查了立体几何中垂直关系及充要条件的问题．

①α⊥β，b⊥m⇒b⊥α⇒b⊥a.②如果a∥m，则a⊥b与b⊥m条件相同．故选A.

2．（文）a、b为不重合的直线，α，β为不重合的平面，给出下列4个命题：

①a∥α且a∥b⇒b∥α；　②a⊥α且a⊥b⇒b∥α；

③a⊥α且a⊥b⇒b⊥α；　④a⊥β且α⊥β⇒a∥α.

其中正确命题的个数为（　　）

A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3

[答案]　A

[解析]　

⇒b∥α或bα，故①错；

⇒b∥α或bα，故②错；

⇒a∥α或aα，故③错；

⇒a∥α或aα，故④错．

（理）棱长都为2的直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAD＝60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为（　　）

A.

　　　B.

　　　C.

　　　D.

[答案]　C

[解析]　过点A1作直线A1M⊥D1C1，交C1D1延长线于点M，可得A1M⊥平面DD1C1C，∠A1CM就是直线A1C与面DD1C1C所成的角．由于所有棱长均为2，及∠A1D1C1＝120°，得A1M＝A1D1sin60°＝

，

又A1C＝

＝

＝4，

∴sin∠A1CM＝

＝

，故应选C.

二、填空题

3．已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影

（1）若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的________．

（2）若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________．

（3）若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．

[答案]　

（1）外心　

（2）内心　（3）垂心

4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

[答案]　DM⊥PC（或BM⊥PC）

[解析]　由定理知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，

而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

三、解答题

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、SC和DC的中点，点P在线段FG上．

（1）求证：

平面EFG∥平面SDB；

（2）求证：

PE⊥AC.

[解析]　

（1）∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，

∴EF∥SB，EG∥BD.

∵EF平面SBD，EG平面SBD，

∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD.

∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB.

（2）∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.

又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.

∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD.

又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.

∵PE平面EFG，∴PE⊥AC.

6．（文）（2012·湖北文，19）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.

（1）证明：

直线B1D1⊥平面ACC2A2；

（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13（单位：

cm），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

[解析]　

（1）∵四棱柱ABCD－A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，

∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，

又∵AB∩AD＝A，

∴AA2⊥平面ABCD.

连接BD，因为BD平面ABCD，所以AA2⊥BD.

∵底面ABCD是正方形，

∴AC⊥BD.

根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面．

又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1

∴B1D1∥BD，

∵AA2⊥BD，AC⊥BD，

∴AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，

又∵AA2∩AC＝A，

∴B1D1⊥平面ACC2A2.

（2）因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1＝（A2B2）2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1300（cm2）．

又因为四棱台A1B1C1D1－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的梯形，

所以S2＝（A1B1）2＋4×

（AB＋A1B1）h斜高

＝202＋4×

（10＋20）

＝1120（cm2）．

于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1300＋1120＝2420（cm2），

故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2420＝484（元）．

（理）（2012·浙江文，20）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝

，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．

（1）证明：

①EF∥A1D1；

②BA1⊥平面B1C1EF；

（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．

[解析]　

（1）①∵C1B1∥A1D1，C1B1⃘平面ADD1A1，

∴C1B1∥平面A1D1DA.

又∵平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，

∴C1B1∥EF，∴A1D1∥EF.

②∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1

又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.

∴B1C1⊥BA1.

在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，

tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝

，即∠A1B1F＝∠AA1B，

故BA1⊥B1F.又∵BA1⊥B1C1，

所以BA1⊥平面B1C1EF.

（2）设BA1与B1F交点为H，连接C1H.

由

（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．

在矩形AA1B1B中，AB＝

，AA1＝2，得BH＝

.

在Rt△BHC1中，BC1＝2

，BH＝

，得

sin∠BC1H＝

＝

.

所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是

.

7．（文）如图，在四棱锥S－ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．

（1）求证：

AC⊥平面SBD；

（2）若E为BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试写出动点P的轨迹，并证明你的结论．

[分析]　本题考查了线线垂直和线面垂直关系的判定方法，旨在对推理论证能力、空间想象力和探究能力的考查．第

（1）问要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理，只要证明直线和平面内两条相交直线垂直即可；第

（2）问要探究保持线线垂直的动点的轨迹，只要找出与AC垂直且过E点的平面即可得到动点P的轨迹．

[解析]　

（1）∵底面ABCD是菱形，O为中心．

∴AC⊥BD，

又SA＝SC，

∴AC⊥SO，而SO∩BD＝O，

∴AC⊥平面SBD.

（2）取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.

证明如下：

连接EM、EN，

∵E是BC的中点，M是SC的中点，

∴EM∥SB，同理EN∥BD，

∵AC⊥平面SBD，

∴AC⊥SB，

∴AC⊥EM.

同理AC⊥EN，又EM∩EN＝E，

∴AC⊥平面EMN，

因此，当P点在线段MN上运动时，总有AC⊥PE，P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥PE.

[点评]　由于《考试说明》中对立体几何部分整体要求的下降，故高考对立体几何考查的难度不会太高．但在空间位置关系的证明上，还是会一如既往地重点考查，并且在

方式上会寻求突破和创新，变传统证明为判断型、探究型问题，增加了难度，体现了能力立意，复习中需引起足够重视．

（理）如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使平面ABE⊥平面ADCE，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．

（1）求证：

AE⊥BD；

（2）求证：

平面PEF⊥平面AECD；

（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．

[解析]　

（1）设AE中点为M，

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，

E是BC的中点，

∴△ABE与△ADE都是等边三角形．

∴BM⊥AE，DM⊥AE.

∵BM∩DM＝M，BM、DM平面BDM，

∴AE⊥平面BDM.

∵BD平面BDM，∴AE⊥BD.

（2）连接CM交EF于点N，∵ME綊FC，

∴四边形MECF是平行四边形．

∴N是线段CM的中点．

∵P是BC的中点，

∴PN∥BM.

∵BM⊥平面AECD，

∴PN⊥平面AECD.

又∵PN平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.

（3）DE与平面ABC不垂直．

证明：

假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，

∵BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.

∵AB∩BM＝B，AB、BM平面ABE，

∴DE⊥平面ABE.

∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．

∴DE与平面ABC不垂直．