GaussSeidel迭代法求解线性方程组.docx
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GaussSeidel迭代法求解线性方程组
一．问题描述
用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
由Jacobi迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值。
使用了两倍的储藏空间，浪
费了储藏空间。
若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第
i个重量xi（k1）
时，
用最新重量x1
，x2
（k1）
（k）
（k1）
（k1）
xi-1代替旧重量x1（k），x2
（k）
xi-1，可以起到节约储藏
空间的作用。
这样就获取所谓解方程组的
Gauss-Seidel迭代法。
二．
算法设计
将A分解成A
L
D
U，则Ax
b等价于（LD
U）x
b
则Gauss-Seidel迭代过程
Dx（k1）bLx（k1）Ux（k）
故
（DL）x（k1）bUx（k）
若设（DL）1存在，则
x（k1）（DL）1Ux（k）（DL）1b
令
G（DL）1U，f（DL）1b
则Gauss-Seidel迭代公式的矩阵形式为
x（k1）Gx（k）f
其迭代格式为
x（0）
（x1（0），x2（0），，xn（0））T
（初始向量），
（i1）1
xi（bi
也许
xi（k1）xi（k）
xi（i1）
i1
i1
aijx（jk1）
aijx（jk））（k0，1，2，；i
0，1，2，n）
j1
ji1
xi
（kk0，1，2，；i
0，1，2，n）
1（bi
i1
i1
aijx（jk1）
aijx（jk））
aii
j1
ji1
三．程序框图
开始
读入数据n，初始向量，增广矩阵
1k
i1
i1
（bi
aijx（jk1）
aijx（jk））/aiiyi
j1
ji1
maxxiyi?
k1k
yixik=N
i1，2,3，n
输出迭代失
败标志
结束
四．结果显示
TestBench
利用Gauss-Seidel迭代法求解以下方程组
5x1
2x2
x3
12
x1
4x2
2x3
20，
其中取x（0）
1。
2x1
3x2
10x3
3
输出
y1,y2yn
运行程序
依次输入：
1．方阵维数
2．增广矩阵系数
3．初始向量
获取：
迭代12次后算出
x[1]=
x[2]=
x[3]=
五．程序
#include<>
#include<>
#include<>
#include<>
#defineMAX_n100
#definePRECISION
#defineMAX_Number1000
voidVectorInput（floatx[],intn）//输入初始向量
{
inti;
for（i=1;i<=n;++i）
{
printf（"x[%d]=",i）;
scanf（"%f",&x[i]）;
}
}
voidMatrixInput（floatA[][MAX_n],intm,intn）//输入增广矩阵
{
inti,j;
printf（"\n输入系数矩阵：
\n"）;
for（i=1;i<=m;++i）
{
printf（"增广矩阵行数%d:
",i）;
for（j=1;j<=n;++j）
scanf（"%f",&A[i][j]）;
}
}
voidVectorOutput（floatx[],intn）
{
//输出向量
inti;
for（i=1;i<=n;++i）
printf（"\nx[%d]=%f",i,x[i]）;
}
intIsSatisfyPricision（floatx1[],floatx2[],intn）//判断可否在规定精度内
{
inti;
for（i=1;i<=n;++i）
if（fabs（x1[i]-x2[i]）>PRECISION）return1;
return0;
}
intJacobi_（floatA[][MAX_n],floatx[],intn）
{
//详尽计算
floatx_former[MAX_n];
inti,j,k;
printf（"\n初始向量x0:
\n"）;
VectorInput（x,n）;
k=0;
do{
for（i=1;i<=n;++i）
{
printf（"\nx[%d]=%f",i,x[i]）;
x_former[i]=x[i];
}
printf（"\n"）;
for（i=1;i<=n;++i）
{
x[i]=A[i][n+1];
for（j=1;j<=n;++j）
if（j!
=i）x[i]-=A[i][j]*x[j];if（fabs（A[i][i]）>PRECISION）
x[i]/=A[i][i];
else
return1;
}
++k;
}while（IsSatisfyPricision（x,x_former,n）&&kif（k>=MAX_Number）
return1;
else
{
printf（"\nGauss-Seidel迭代次数为%d次",k）;
return0;
}
}
intmain（）//主函数
{
intn;
floatA[MAX_n][MAX_n],x[MAX_n];
printf（"\n方阵维数n="）;
scanf（"%d",&n）;
if（n>=MAX_n-1）
{
printf（"\n\007nmust<%d!
",MAX_n）;
exit（0）;
}
MatrixInput（A,n,n+1）;
if（Jacobi_（A,x,n））
printf（"\nGauss-Seidel迭代失败!
"）;
else
{
printf（"\n结果:
"）;
VectorOutput（x,n）;
}
printf（"\n\n\007Pressanykeytoquit!
\n"）;
getch（）;
}
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