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PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，

∴△PDC≌△EDB（SAS）．

∴∠ADC=∠BDE．

如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．

（1）若AB=AC，∠BAC=90°

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；

②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由；

（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°

，∠BCA=45°

点D在线段BC上运动，试探究CF与BC位置关系．

解析:

（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠BCF=90°

，从而得到CF⊥BD；

②先求出∠CAF=∠BAD，然后与①的思路相同求解即可；

（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE，∠AED=45°

，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°

，从而得到CF⊥BD．

（1）①∵∠BAC=90°

，△ADF是等腰直角三角形，

∴∠CAF+∠CAD=90°

，∠BAD+∠ACD=90°

∴∠CAF=∠BAD，

在△ACF和△ABD中，

AB=AC

∠CAF=∠BAD

AD=AF

∴△ACF≌△ABD（SAS），

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠B=∠ACB=45°

∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°

+45°

=90°

∴CF⊥BD；

②如图2，∵∠CAB=∠DAF=90°

∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠CAF=∠BAD，

（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，

∵∠BCA=45°

∴△ACE是等腰直角三角形，

∴AC=AE，∠AED=45°

∵∠CAF+∠CAD=90°

，∠EAD+∠CAD=90°

∴∠CAF=∠EAD，

在△ACF和△AED中，

AC=AE

∠CAF=∠EAD

∴△ACF≌△AED（SAS），

∴∠ACF=∠AED=45°

∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°

∴CF⊥BD．

一、选择题（共10小题）

1．（2006•宁波）如图所示，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，与△AOD全等的是（　　）

A．△ABC

B．△ADC

C．△BCD

D．△COB

考点：

全等三角形的判定；

平行四边形的性质．

分析：

根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．

解答：

∵ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO，AD=BC

∴△AOD≌△COB（ASA）

故选D．

点评：

主要考查了平行四边形的基本性质及全等三角形的判定方法．

答题：

蓝月梦老师

☆☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏试题下载试题

2．（2005•乌鲁木齐）如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：

（1）AB=DE；

（2）BC=EF；

（3）AC=DF；

（4）∠A=∠D；

（5）∠B=∠E；

（6）∠C=∠F．以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（　　）

A．

（1）（5）

（2）

B．

（1）

（2）（3）

C．（4）（6）

（1）

D．

（2）（3）（4）

全等三角形的判定．

根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案，而具备SSA的不能作为判定三角形全等的依据．

A、正确，符合判定方法SAS；

B、正确，符合判定方法SSS；

C、正确，符合判定方法AAS；

D、不正确，不符合全等三角形的判定方法．

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、SSA、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

wdxwwzy老师

★★☆☆☆隐藏解析体验训练收藏试题下载试题

3．（2008•沈阳）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（　　）

A．1对

B．2对

C．3对

D．4对

正方形的性质．

根据正方形的性质可得出：

正方形的一条对角线平分一组对角，而且四边相等，根据边角边公理可证出△ABD≌△CBD，△ABF≌△CBF，△AFD≌△CFD，有三对全等的三角形，

∵AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°

，DF=DF；

∴△ADF≌△CDF；

同理可得：

△ABF≌△CBF；

∵AD=CD，AB=BC，BD=BD

∴△ABD≌△CBD．

因此本题共有3对全等三角形，

故选C．

本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，是基础知识要熟练掌握．

CJX老师

★★★☆☆隐藏解析体验训练收藏试题下载试题

4．（2005•威海）在△ABC和△FED中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件（　　）

A．AB=ED

B．AB=FD

C．AC=FD

D．∠A=∠F

考查三角形全等的判定定理，有AAS，SSS，SAS，ASA四种．根据题目给出的两个已知条件，要证明△ABC≌△FED，需要已知一对对应边相等即可．

∵∠C=∠D，∠B=∠E，

说明：

点C与D，B与E，A与F是对应顶点，

AB的对应边应是FD，

根据三角形全等的判定，当AC=FD时，有△ABC≌△FED．

本题考查了全等三角形的判断方法；

一般三角形全等判定的条件必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等，要找准对应边是解决本题的关键．

玲老师

★☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏试题下载试题

5．（2006•十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：

①AB=AE；

②BC=ED；

③∠C=∠D；

④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或夹已知角的另一边．

∠1=∠2，AC=AD，

加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；

加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；

加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；

加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．

故选B．

SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．

137-hui老师

6．（2006•聊城）如图，如果平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（　　）

∴AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO

∵∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB

∴△ABO≌△CDO，△ADO≌△CBO

∵BD=BD，AC=AC

∴△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB

∴共有四对．

本题主要考查了平行四边形的性质的运用，记忆平行四边形的性质，应从边、角、对角线三个方面掌握．

zhjh老师

★★★★☆隐藏解析体验训练收藏试题下载试题

7．（2008•成都）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（　　）

A．∠B=∠E，BC=EF

B．BC=EF，AC=DF

C．∠A=∠D，∠B=∠E

D．∠A=∠D，BC=EF

三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等，而SSA是不能判定三角形全等的．

添加A选项中条件可用SAS判定两个三角形全等；

添加B选项中条件可用SSS判定两个三角形全等；

添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；

添加D选项以后是SSA，无法证明三角形全等．

本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．

Linaliu老师

★★★★★隐藏解析体验训练收藏试题下载试题

8．（2009•武汉）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°

，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°

，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：

①△ACD≌△ACE；

②△CDE为等边三角形；

③

EH

BE

＝２.　；

④

S△EBC

AH

S△EHC

CH

其中结论正确的是（　　）

A．只有①②

B．只有①②④

C．只有③④

D．①②③④

等边三角形的判定；

直角梯形．

根据题意，对选项进行一一论证，排除错误答案．

由题意可知△ACD和△ACE全等，故①正确；

又因为∠BCE=15°

，所以∠ACE=45°

-15°

=30°

，所以∠ECD=60°

，所以△CDE是等边三角形，故②正确；

∵AE=AE，△ACD≌△ACE，△CDE是等边三角形，

∴∠EAH=∠ADH=45°

，AD=AE，

∴AH=EH=DH，AH⊥DE，

假设AH=EH=DH=x，

∴AE=

2

x，CE=2x，

∴CH=

3

x，

∴AC=（1+

）x，

∵AB=BC，

∴AB2+BC2=[（1+

）x]2，

解得：

AB=

+

6

BE=

-

∴

=

x

故③错误；

④∵Rt△EBC与Rt△EHC共斜边EC，

∴S△EBC：

S△EHC=（BE×

BC）：

（HE×

HC）

=（EC×

sin15°

×

EC×

cos15°

）：

（EC×

sin30°

cos30°

）

sin60°

=EH：

=AH：

CH，故④正确．

故其中结论正确的是①②④．

本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．

9．（2006•临沂）如图：

在平行四边形ABCD中，AB≠BC，AE、CF分别为∠BAD、∠BCD的平分线，连接BD，分别交AE、CF于点G、H，则图中的全等三角形共有（　　）

A．3对

B．4对

C．5对

D．6对

此题不妨大胆一点，先把所有可能全等的三角形都找出来，再根据已知条件一个个分析全等的依据，得出正确结论．

先从平行四边形的性质入手，得到AD=CB，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠CDA，

再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAE=∠DCF=∠BCF，

从而先得到：

△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，

进而得到△ABG≌△CDH，△ADG≌△CBH，△BGE≌△DHF．

所以全等三角形共5对，分别是：

△ABD≌△CDB（SSS），△ABE≌△CDF（ASA），

△ABG≌△CDH（ASA），△ADG≌△CBH（ASA），△BGE≌△DHF（AAS）．

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．此类题目做题时要由易到难慢慢找寻，做到不重不漏．

lhf3-3老师

10．（2007•天津）下列判断中错误的是（　　）

A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等

B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，那么∠ACB与∠DFE 

的关系是（　B　）

A．互余

B．互补

C．相等

D．不互余、不互补也不相等

多边形内角与外角；

余角和补角．

根据四边形内角和为360°

可算出答案．

∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，

∴∠CEF=∠CDF=90°

∵四边形内角和为360°

∴∠EFD+∠C=180°

故选：

B．

此题主要考查了多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：

（n-2）．180（n≥3）且n为整数）．

（2013•保定一模）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°

，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　D　）

A．90°

B．135°

C．150°

D．270°

直角三角形的性质．

由四边形内角和公式可求∠1+∠2+∠A+∠B=360°

，又在Rt△ABC中，∠C=90°

，可知∠A+∠B=90°

，由此求∠1+∠2．

∵ABED为四边形，

∴∠1+∠2+∠A+∠B=360°

又∵在Rt△ABC中，∠C=90°

∴∠A+∠B=90°

∴∠1+∠2=360°

-（∠A+∠B）=270°

本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，关键是利用三角形的内角和，四边形的内角和求解．